04 灵活运算巧解圆锥曲线中的定值定点问题-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■湖南省郴州市第二中学 黄常健 在圆锥曲线章节中,诸如动直线过定点, 动直线的斜率(含斜率之和或积)为定值,动 点到已知直线的距离为定值等问题,是各级 各类考试的热门问题,对同学们的逻辑推理、 数学运算等核心素养要求较高。 解题关键是 选定恰当的参数和规范准确的计算。 一、动直线的斜率之积为定值问题 例 1 已知O 为坐标原点,A,B 分别是 椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的右顶点和上顶 点,F 为E 的右焦点,且S△AOB=2S△AFB=3。 (1)求椭圆E 的方程。 (2)若过点F 的直线l与椭圆E 相交于 P,Q 两点(异于点A),试问:在x 轴上是否 存在一点 M(异于点 A),使得直线 MP 与 MQ 的斜率之积为定值? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 解析:(1)由已知 S△AOB S△AFB = a a-c=2 ,S△AOB = 1 2ab= 3 ,即c= a 2 ,b= 23 a ,代入a2= b2+c2,解得a2=4,b2=3,所以椭圆E 的方 程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)假设存在点 M(m,0),使得直线 MP 与MQ 的斜率之积为定值。 由已知可设直线l的方程为x=ty+1, P(x1,y1),Q(x2,y2)。 联立 x=ty+1, 3x2+4y2-12=0, 消去x 整理得 (3t2+4)y2+6ty-9=0,则 y1+y2= -6t 3t2+4 ,y1y2= -9 3t2+4 。 所以kMP·kMQ= y1 x1-m · y2 x2-m = y1y2 (ty1+1-m)(ty2+1-m) = y1y2 t2y1y2+t(1-m)(y1+y2)+(1-m)2 = -9 -9t2-6t2(1-m)+(3t2+4)(1-m)2 = -9 3t2(m2-4)+4(1-m)2 。 令m2-4=0,得m=±2。 当m=2时, M 与A 重合,不合题意;当m=-2时,kMP· kMQ=- 1 4 。故在x 轴上存在一点 M(-2, 0),使得直线 MP 与 MQ 的斜率之积为定 值,该定值为- 1 4 。 小结:设过定点F(1,0)的直线l的方程 为x=ty+1,含一个参数t,与椭圆E 的方程 联立,对点P、Q 的坐标设而不求,再应用韦 达定理、斜率公式求出直线 MP 与MQ 的斜 率之积为定值的条件,以及定值大小。 由于 点 M 的坐标未知,所以用齐次化未见优势。 二、动点到已知直线的距离为定值问题 例 2 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)上一点D(32,1)到左、右焦点的距 离之差为6。 (1)求双曲线C 的方程。 (2)已知A,B 分别是双曲线C 的左顶点 和右顶点,过点(5,0)作直线l与双曲线C 交 于M,N(异于A,B)两点,直线 MA 与NB 交于点P,如图1,试问:点P 到y 轴的距离 是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请 说明理由。 图1 解析:(1)依题意可得 2a=6, 18 a2 - 1 b2 =1, 解得 a=3,b=1, 所 以双曲线C 的方程为 x2 9- 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月 y2=1。 (2)依题意直线l的斜率不为0,设l的 方程为x=my+5,M(x1,y1),N(x2,y2)。 联立 x=my+5, x2-9y2=9, 消去x 整理得(m2- 9)y2+10my+16=0,则 m2-9≠0,y1+y2 = -10m m2-9 ,y1y2= 16 m2-9 。 直线AM 的方程为y= y1 x1+3 (x+3),直 线BN 的方程为y= y2 x2-3 (x-3),将两方程 左右相除得 x+3 x-3= y2(x1+3) y1(x2-3) = y2(my1+8) y1(my2+2) = my1y2+8y2 my1y2+2y1 = my1y2+8(y1+y2)-8y1 my1y2+2y1 = 16m m2-9 - 80m m2-9 -8y1 16m m2-9 +2y1 = - 64m m2-9 -8y1 16m m2-9 +2y1 =-4, 解得 x= 9 5 ,所 以 点 P 在 定 直 线 x= 9 5 上,所以点 P 到y 轴的距离为定值,且定 值为 9 5 。 小结:设直线l的方程为x=my+5,含 一个参数 m,与双曲线C 的方程联立,用 m 表示M 和N 的坐标,再求出直线 AM,BN 的方程,消去y 先求得 x+3 x-3 为定值,从而求 得点P 的轨迹为定直线x= 9 5 ,则点P 到y 轴的距离为定值 9 5 。 求动点到已知直线的距 离为定值,可转化为定直线问题。 三、动直线过定点问题 例 3 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)经过点A(2,1),离心率为 6 2 。 (1)求双曲线C 的方程; (2)作直线l与双曲线C 的左右两支分 别交于点M,N,使得AM⊥AN,求证:直线 l过定点,并求出定点坐标。 解析:(1)设双曲线C 的离心率为e,则 e2=1+ b2 a2 = 6 2 2 ,即b 2 a2 = 1 2 ,又4 a2 - 1 b2 =1, 联立解得a2=2,b2=1,所以双曲线C 的方 程为 x2 2-y 2=1。 (2)解法一:因为 M,N 分别在双曲线的 左右两支上,所以直线l的斜率存在,设方程 为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2)。 联立 y=kx+m, x2-2y2=2, 消去y 整理得(1- 2k2)x2-4kmx-2m2-2=0,1-2k2≠0,则 x1+x2= 4km 1-2k2 ,x1x2= -2m2-2 1-2k2 ,Δ= 8(m2-2k2+1)>0。 因为AM⊥AN,所以AM→·AN→=0,则 (x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,即 (x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m- 1)=0,整理得(1+k2)x1x2+(km-k-2)· (x1+x2)+(m-1)2+4=0,于是(1+k2)· (-2m2-2)+(km-k-2)(4km)+(m2- 2m+5)(1-2k2)=0,整理得(m+2k-1)· (m+6k+3)=0。 若m+2k-1=0,则直线l的方程为y =k(x-2)+1,与点A 不在直线l上矛盾, 故只能m+6k+3=0,则直线l的方程为y =k(x-6)-3,所以直线l过定点(6,-3)。 解法二:因为 M,A 分别在双曲线的左 右两支上,所以直线MA 的斜率k必存在,故 可设 MA 的方程为y=k(x-2)+1,M(x1, y1),N(x2,y2)。 当k=0时,根据对称性得 M(-2,1), N(2,-1),则直线l的方程为x+2y=0。 当k≠0时,联立 y=k(x-2)+1, x2-2y2=2, 消去 y 整理得(1-2k2)x2-4k(1-2k)x-8k2+ 8k-4=0,1-2k2≠0,Δ=16(k-1)2>0,由 韦达定理得xAx1= 8k2-8k+4 2k2-1 ,其中xA= 2,则x1= 4k2-4k+2 2k2-1 =2+ -4k+4 2k2-1 ,y1= k(x1-2)+1= -4k2+4k 2k2-1 +1,即点 M 的坐 标为 2+ -4k+4 2k2-1 ,-4k 2+4k 2k2-1 +1 。 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月 因为AM⊥AN,所以将点 M 的坐标中 的 k 换 成 - 1 k ,可 得 点 N 的 坐 标 为 2+ 4k+4k2 2-k2 ,-4-4k 2-k2 +1 。 故kMN = y1-y2 x1-x2 = -k2+k 2k2-1 + 1+k 2-k2 -k+1 2k2-1 - k+k2 2-k2 = k4+k3+k-1 -2k4-k3-k+2 = (1+k2)(k2+k-1) (1+k2)(-2k2-k+2) = k2+k-1 -2k2-k+2 。所以直线l的方程为y- -4k2+4k 2k2-1 +1 = - k 2+k-1 2k2-k+2 · x- 2+ -4k+4 2k2-1 ①,令k=1,得直线l 的方程为x+y-3=0,结合x+2y=0,解得 x=6,y=-3。将 (6,-3)代入直线l的方 程①,使得左右两边均等于 -4(k2+k-1) 2k2-1 , 故直线l过定点(6,-3)。 解法三(齐次化):当直线AM,AN 的斜 率都存在时,将双曲线C 与直线l及点A 都 向左平移2个单位长度,且向下平移1个单 位长度,得双曲线C'的方程为 (x+2)2 2 - (y +1)2=1,即x2-2y2+4(x-y)=0,直线l' 的方程为 mx+ny=1,A'(0,0),M'(x1, y1),N'(x2,y2)。 联立 mx+ny=1, x2-2y2+4(x-y)=0, 用1的代 换得x2-2y2+4(x-y)(mx+ny)=0,即(1 +4m)x2+4(n-m)xy-(2+4n)y2=0,各 项除以x2 得(2+4n)yx 2 -4(n-m)· y x -(1+4m)=0。 由A'M'⊥A'N',得kA'M'·kA'N'= y1 x1 · y2 x2 = -1-4m 2+4n =-1 ,即4m-4n=1,对比平 移后的直线l'的方程 mx+ny=1,可知直 线l'过点(4,-4),从而原直线l过点(6, -3)。 当直线 AM,AN 中有一条斜率不存在 时,只 能 是 AN 的 斜 率 不 存 在,则 N (2, -1),M(-2,1),直线l的方程为x+2y= 0,也经过点(6,-3)。 综上所述,直线l 过定点,定点坐标为 (6,-3)。 小结:解法一,设目标直线 MN 的斜截 式,其中含两个参数k,m,与双曲线C 的方 程联立,利用韦达定理将 M,N 的坐标用k, m 表示,结合条件AM⊥AN 转化为k,m 的 关系,从而得出直线l的点斜式方程,即可求 出直线l 所过定点。解法二,设相关直线 AM 的点斜式方程,其中含参数k,与双曲线 C 的方程联立,借用韦达定理求点 M 的坐 标,同理得点 N 的坐标,再求目标直线l的 方程,其计算量骤增。 计算技巧之一是降次 处理,如x1= 4k2-4k+2 2k2-1 的分子是二次三项 式,可化为x1=2+ -4k+4 2k2-1 ,以降低求kMN 的计算量;求出kMN = k4+k3+k-1 -2k4-k3-k+2 ,再 约分得 k2+k-1 -2k2-k+2 。 计算技巧之二是求出 直线l的方程①后,特取其中两条直线找定 点再验证一般性。 也可将①作移项、通分、裂 项,化为新的点斜式方程而得定点坐标,即y -1= k2+k-1 -2k2-k+2 (x-2)+ k2+k-1 -2k2-k+2 · 4k-4 2k2-1 + -4k2+4k 2k2-1 = k2+k-1 -2k2-k+2 (x-2) + (4k2-4)(2k2-1) (-2k2-k+2)(2k2-1) = k2+k-1 -2k2-k+2 · (x-2)+ -4(k2+k-1)+(8k2+4k-8) -2k2-k+2 = k2+k-1 -2k2-k+2 (x - 6)- 4,即 l:y = k2+k-1 -2k2-k+2 (x-6)-3,故直线l过定点(6, -3)。解法三,采用齐次化处理,则计算量骤 减,在解决与相交于已知点的两条直线的斜 率之和或积相关的问题时,用齐次化往往有 事半功倍的效果。 (责任编辑 王福华) 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月