13 圆锥曲线中直线与圆的易错点探秘与剖析-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■广东省佛山市顺德区容山中学 李 云 直线与圆是解析几何的开篇之作,是敲 开解析几何大门的金钥匙,直线与圆所含的 思想方法贯通解析几何学习的全过程,然而 直线与圆的学习有很多易错点,如:忽略直线 斜率不存在的情况、使用直线的截距式方程 时忽略截距为零、误用点到直线的距离公式、 使用两平行线间的距离公式时忽略系数相 同、忽略圆的半径大于零等。因此,同学们在 直线与圆的学习中,务必要深谙直线与圆的 概念本质,领悟思想方法的精髓,探寻根治易 错点的方向与方法,完善知识体系,形成结构 化认知。本文结合具体实例,深度剖析直线 与圆中的易错点,为同学们的复习备考指明 方向,从而提高备考效益。 易错点1:忽略直线的斜率不存在的情 况致错 例 1 经过点P(2,3)作直线l,直线l 与圆(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B 两点, 若|AB|=23,则直线l的方程为 。 错解:设直线l的方程为y-3=k(x- 2),即kx-y+3-2k=0。圆心(1,1)到直线 l的距离为d= |2-k| k2+1 ,由圆的弦长公式得 d2+(3) 2 =4,即 (2-k)2 k2+1 =1,解得k= 3 4 , 故直线l的方程为3x-4y+6=0。 错因剖析:利用直线的点斜式方程进行 求直线方程时,首先要考虑直线的斜率是否 存在,即当直线的斜率不存在时是否满足题 意;然后考虑斜率存在的情况并用点斜式设 直线的方程并进行求解,本题就是忽略了斜 率不存在的情况而出错。 正解:当直线l的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,此时圆心(1,1)到直线l的 距离d=1。又因为圆的半径是2,所以|AB| =2 22-d2=23,满足题意。 当直线l 的斜率存在时,设其方程为 y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0。圆 心(1,1)到直线l的距离为d= |2-k| k2+1 ,由 圆的弦长公式得d2+(3)2=4,即 (2-k)2 k2+1 =1,解得k= 3 4 ,所以直线l的方程为3x- 4y+6=0。 综上 可 得,直 线l 的 方 程 为x=2或 3x-4y+6=0。 易错点2:使用直线的截距式方程时忽 略截距为零致错 例 2 若直线l过点(1,2),且在两坐 标轴上的截距相等,则直线l的方程为 。 错解:因为直线l过点(1,2),且在两坐 标轴上的截距相等,所以可设直线l的方程 为 x a+ y a=1 ,则1 a+ 2 a=1 ,所以a=3,故直 线l的方程为 x 3+ y 3=1 ,即x+y-3=0。 错因剖析:上述解法因忽略直线l过原 点,即截距为零的情况导致出错。 正解:当直线l过原点时,满足题意,此 时直线l的方程为y=2x。 当直线l不过原点时,可设直线l的方 程为 x a+ y a=1 ,则1 a+ 2 a=1 ,所以a=3,故 直线l的方程为 x 3+ y 3=1 ,即x+y-3=0。 综上可得,直线l 的方程为y=2x 或 x+y-3=0。 易错点3:误用点到直线的距离公式致错 例 3 “a=b” 是“直线y=x+2与圆 (x-a)2+(y+b)2=2相切”的 ( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月 错解:当a=b时,圆心坐标为(a,-a), 则圆心到直线y=x+2的距离为 |a-a+2| 2 = 2,与半径相等,故a=b是直线和圆相切 的充分条件。当直线与圆相切时,圆心(a, -b)到直线y=x+2的距离为 |a-b+2| 2 = 2,所以a=b,即a=b是直线和圆相切的必 要条件。综上可得,“a=b”是“直线y=x+2 与圆(x-a)2+(y+b)2=2相切”的充分必 要条件。故选C。 错因剖析:在运用点到直线的距离公式 时,y=x+2应先变为x-y+2=0 再计算。 这里y的系数应为-1,而不是未变形前的1。 正解:当a=b 时,圆心(a,-a)到直线 x-y+2=0的距离为 |a+a+2| 2 = 2· |a+1|,不一定等于 2,故不是充分条件。 当直线与圆相切时,圆心(a,-b)到直线x- y+2=0的距离等于半径,即 |a+b+2| 2 = 2, 解得a+b=0或a+b=-4,故不是必 要条件。综上可得,“a=b”是“直线y=x+2 与圆(x-a)2+(y+b)2=2相切”的既不充 分也不必要条件。故选D。 易错点4:使用两平行线间的距离公式 时忽略系数相同致错 例 4 已知直线l1:x+2y-4=0与坐 标轴交于A,B 两点,M 是直线l2:2x+4y+ n=0上一点,若l1∥l2,且△MAB 的面积为 5,则n= 。 错解:因为直线l1:x+2y-4=0与坐标 轴的交点坐标为(4,0),(0,2),所以|AB|= (4-0)2+(0-2)2=25。设点 M 到直线 l1 的距离为d,由题意得 1 2 ·|AB|·d=5, 所以d= 10 |AB|= 5 。因为l1∥l2,所以d= |-4-n| 12+22 = 5,解得n=-9或n=1。 错因剖析:在使用两条平行直线间的距 离公式时,不仅要注意两条直线的方程均为 一般式,而且还要注意x、y 的系数对应相 同,上述解法恰恰忽略了这一点导致出错。 正解:因为直线l1:x+2y-4=0与坐标 轴的交点坐标为(4,0),(0,2),所以|AB|= (4-0)2+(0-2)2=25。设点 M 到直线 l1 的距离为d,由题意得 1 2 ·|AB|·d=5, 所以d= 10 |AB|= 5 。将l2:2x+4y+n=0 化为x+2y+ n 2=0 ,因为l1∥l2,所以d= -4- n 2 12+22 = 5,解得n=-18或n=2。 易错点5:忽略圆的半径大于零致错 例 5 若过点 A(a,a)可作圆x2+ y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实 数a的取值范围是( )。 A.(-∞,-3) B.(-3,1) C.(-∞,-3)∪ 1, 3 2 D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 错解:将x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 转化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点A 有 两条切线,所以点A 在圆外,即a2>3-2a, 解得a>1或a<-3。故选D。 错因剖析:上述解法忽略圆的半径大于 零,即r2=3-2a>0,从而a< 3 2 。 正解:将x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 转化为(x-a)2+y2=3-2a,从而3-2a> 0,即a< 3 2 。因为过点A 有两条切线,所以 点A 在圆外,即a2>3-2a,解得a>1或 a<-3。综上可得,实数a 的取值范围为 (-∞,-3)∪ 1, 3 2 。故选C。 由于直线与圆的内容比较丰富,所以易 错易漏点也会较多。因此,同学们在平时的 复习备考中,要勤于思考,多动手,勤反思,勤 总结,夯实基础,提升数学综合能力,为后续 圆锥曲线的学习打下坚实的基础,最终提高 解析几何的复习效益。(责任编辑 王福华) 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月