12 椭圆中的易错易漏点探秘与剖析-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■广东省佛山市顺德区容山中学 黄宗勤 椭圆是解析几何中的核心内容,也是每 年高考必考的内容,椭圆内容的重要性不言 而喻。有些同学在解答有关椭圆的问题时频 繁出错,诸如忽视椭圆焦点所在位置、忽视椭 圆长短轴的关系、忽视变量的取值范围、设直 线方程时漏掉了直线斜率不存在的情形、利 用基本不等式求面积最值时忽视了等号成立 的条件等,导致最后答案错误。为帮助同学 们尽可能地规避上述易错点,本文结合具体 实例,剖析错解原因,以此助力同学们提高备 考效率。 易错点1:忽视椭圆焦点所在位置致错 例 1 已知椭圆x 2 3+ y2 m2 =1(m>0)的 焦点在y 轴上,且离心率为 1 2 ,则m= 。 错解:依题意知,a2=3,b2=m2,所以 3-m2 3 = 1 2 ,解得m2= 9 4 。因为m>0,所 以m= 3 2 。 错因剖析:同学们由于定势思维,习惯性 地认为焦点在x 轴上,所以得出a2=3,b2= m2 的错误结论,忽视了题目已经告知椭圆的 焦点在y 轴上,这种错误完全可以通过多做 多看多积累来杜绝。 正解:因为椭圆的焦点在y 轴上,所以 b2=3,a2=m2,所以 m2-3 m2 = 1 2 ,解得 m2 =4。因为m>0,所以m=2。 易错点2:忽视椭圆长短轴的关系致错 例 2 已知直线y=k(x-1)与椭圆 x2 a2 +y 2 9=1 (a>0)至少有一个交点,则a 的 取值范围为 。 错解:因为直线y=k(x-1)经过定点 (1,0),所以当a≥1时,直线y=k(x-1)与 椭圆 x2 a2 +y 2 9=1 (a>0)至少有一个交点,故a 的取值范围为[1,+∞)。 错因剖析:由于忽视了椭圆的长轴长与 短轴长不相等,所以2a≠6,即a≠3,因此要 将a≠3的情形去掉。 正解:因为直线y=k(x-1)经过定点 (1,0),所以当a≥1时,直线y=k(x-1)与 椭圆 x2 a2 +y 2 9=1 (a>0)至少有一个交点。又 因为2a≠6,即a≠3,所以a 的取值范围为 [1,3)∪(3,+∞)。 易错点3:忽视变量的取值范围致错 例 3 已知椭圆x 2 2+y 2=1。 (1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线, 求截得的弦的中点P 的轨迹方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨 迹方程。 错解:(1)设P(x,y),弦与椭圆的两个 交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)。 当x1=x2 时,P(-1,0)。 当x1≠x2 时,由 x2 2+y 2=1,即x2+2y2 =2,得 x21+2y21=2, x22+2y22=2, 两式相减得(x1+x2)· (x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即1+ 2· (y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =0。 (*) 因为 y1-y2 x1-x2 =kFP= y x+1 ,x1+x2=2x, y1+y2=2y,代入(*)式并化简得x2+x+ 2y2=0,显然P(-1,0)满足方程。 所以点P 的轨迹方程为x2+x+2y2=0。 (2)设 Q(x,y),由(1)可 知,1+2· 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月 (y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =0,将 y1-y2 x1-x2 =2,x1+ x2=2x,y1+y2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x+4y=0。 错因剖析:两个小题解答的最后一步,都是 因为忽视了变量的取值范围而导致结果出错。 正解:由错解得到点P 的轨迹方程为x2 +x+2y2=0,点Q 的轨迹方程为x+4y= 0。由于中点P、Q 都位于椭圆的内部,因此 - 2<x< 2,故最终结果应该为:点P 的 轨迹方程为x2+x+2y2=0(- 2<x< 2),点Q 的轨迹方程为x+4y=0(- 2< x< 2)。 易错点4:设直线方程时漏掉了直线斜 率不存在的情形 例 4 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b >0)的左焦点和右焦点分别为F1(-2,0), F2(2,0),D 为椭圆C 的右顶点,且 DF1→· DF2→=4。 (1)求椭圆C 的方程; (2)设M(-4,2),过点Q(-4,0)的直线 与椭圆 C 交于A,B 两点(A 点在B 点左 侧),直线AM 与直线x=-2交于点 N,设 直线 NA,NB 的斜率分别为k1,k2,求证: k2-k1 为定值。 错解:(1)椭圆C 的方程为 x2 8+ y2 4=1 。 (过程略) (2)设直线 QA 的方程为x=my-4, A(x1,y1),B(x2,y2)。 联立 x=my-4, x2+2y2-8=0, 消 去 x 整 理 得 (m2+2)y2-8my+8=0,由 Δ=64m2- 32(m2+2)=32m2-64>0,解得 m2∈(2, +∞)。 由韦达定理得y1+y2= 8m m2+2 ,y1y2= 8 m2+2 ,所以y1+y2=my1y2。 因为AM:y-2=k1(x+4),令x=-2, 得y=2k1+2,所以N(-2,2k1+2)。 所以k2= y2-2k1-2 x2+2 = y2-2k1-2 my2-2 。 又因为k1= y1-2 x1+4 = y1-2 my1 ,所以k2- k1= y2-2k1-2 my2-2 - y1-2 my1 = my1(y2-2k1-2)-(y1-2)(my2-2) my1(my2-2) = -2mk1y1-2my1+2my2+2y1-4 m2y1y2-2my1 。 因为k1= y1-2 my1 ,即k1my1=y1-2,所以 k2-k1= -2y1+4-2my1+2my2+2y1-4 m(y1+y2)-2my1 = 2m(y2-y1) m(y2-y1) =2。 综上可得,k2-k1 为定值2。 错因剖析:第(1)问求解正确。第(2)问 在设直线方程时,需要考虑直线的斜率是否 为0,而上面错解就是漏掉讨论直线的斜率 为0时的情形。 正解:(1)略。 (2)当QA 的斜率为0时,A,B 分别为 椭圆的左顶点和右顶点,则 A(-2 2,0), B(22,0)。 所以 k1= 2 22-4 = 1 2-2 ,AM:y= 1 2-2 (x+22),令x=-2,则y= 1 2-2 · (22-2)=- 2,所以N(-2,- 2)。 所以k2= 2 22+2 = 1 2+ 2 。 所 以 k2 -k1 = 1 2+ 2 - 1 2-2 = 2- 2+2+ 2 2 =2 。 当QA 的斜率不为0时,设直线QA 的 方程为x=my-4,A(x1,y1),B(x2,y2)。 联立 x=my-4, x2+2y2-8=0, 消去x 整理得(m2 +2)y2-8my+8=0,由Δ=64m2-32(m2+ 2)=32m2-64>0,解得m2∈(2,+∞)。 由韦达定理得y1+y2= 8m m2+2 ,y1y2= 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月 8 m2+2 ,所以y1+y2=my1y2。 因为AM:y-2=k1(x+4),令x=-2, 得y=2k1+2,所以N(-2,2k1+2)。 所以k2= y2-2k1-2 x2+2 = y2-2k1-2 my2-2 。 又因为k1= y1-2 x1+4 = y1-2 my1 ,所以k2- k1= y2-2k1-2 my2-2 - y1-2 my1 = my1(y2-2k1-2)-(y1-2)(my2-2) my1(my2-2) = -2mk1y1-2my1+2my2+2y1-4 m2y1y2-2my1 。 因为k1= y1-2 my1 ,即k1my1=y1-2,所以 k2-k1= -2y1+4-2my1+2my2+2y1-4 m(y1+y2)-2my1 = 2m(y2-y1) m(y2-y1) =2。 综上可得,k2-k1 为定值2。 易错点5:利用基本不等式求面积最值 时忽视了等号成立的条件致错 例 5 已知椭圆C:x 2 4+ y2 3=1 的左焦点 和右焦点分别为F1,F2,S 为椭圆C 上任意一 点,过F2 的直线l与椭圆C交于A,B 两点。 (1)当AF2→=F2B→ 时,求SA→·SB→ 的最 大值; (2)点 M 在线段AB 上,且AM→=2MB→, B 关于原点对称的点为P,求△BPM 的面积 的取值范围。 错解:(1)当AF2→=F2B→ 时,F2 为线段AB 的中点,根据椭圆的对称性,可知AB⊥x 轴, 所以|AB|= 2b2 a =3 ,所以SA→·SB→=(SF2→+ F2A→)·(SF2→+F2B→)=|SF2→|2-|F2A→|2≤ 32- 32 2 = 27 4 ,当点S为椭圆的左顶点时,等 号成立,故SA→·SB→ 的最大值为274。 (2)由题意知F2(1,0),设l:x=my+1, A(x1,y1),B(x2,y2),则P(-x2,-y2)。 由题意知,S△BPM= 1 3S△ABP= 2 3S△AOB= 2 3× 1 2|OF2| ·|y1-y2|= 1 3|y1-y2| 。 联立 x=my+1, x2 4+ y2 3=1 , 消去x 整理得(3m2+ 4)y2+6my-9=0,则y1+y2= -6m 4+3m2 , y1y2= -9 4+3m2 。 所 以 |y1 -y2| = (y1-y2)2 = (y1+y2)2-4y1y2 = 36m2 (4+3m2)2 -4× -9 4+3m2 = 12 1+m2 4+3m2 。 令t= 1+m2 (t≥1),则 S△BPM = 4 m2+1 3m2+4 = 4t 3t2+1 = 4 3t+ 1 t 。 因为3t+ 1 3≥ 3t× 1 t = 3 ,所以0< S△BPM≤ 4 3 ,所以△BPM 的面积的取值范围 为 0, 43 3 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。 错因剖析:第(1)问求解正确。第(2)问 在用基本不等式求最值时,忽视了等号成立 的条件,即当且仅当3t= 1 t ,即t= 3 3 时等号 成立,但t≥1,因此等号取不到,故用基本不 等式求面积最值是错误的,因此只能借助导 数工具,利用函数的单调性来解决问题。 正解:(1)略。 (2)前面同错解。令f(t)=3t+ 1 t (t≥ 1),因为f(t)=3t+ 1 t 在[1,+∞)上是增函 数,所以f(t)≥f(1)=4,所以△BPM 的面 积的取值范围为(0,1]。 同学们在解析几何的复习备考中,需要 多动笔,多思考,多积累。首先在把握概念本 质的同时,明晰易错易漏点,然后勤于动手实 践和反思总结,不断积累解题经验,就能够规 避上述易错易漏点,从而提升备考效益。 (责任编辑 王福华) 03 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月