11 双曲线中的易错点分析-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■广东省佛山市顺德区容山中学 沈 健 近年来,高考解析几何题常以双曲线为 载体,考查圆锥曲线的基本概念和基本性质。 然而,同学们在解题的过程中总会出现一些 错误,例如:忽视讨论双曲线的焦点所在的位 置、忽视给定的条件、忽视直线与双曲线相交 的情形、用点差法时忽视直线是否与双曲线 相交等。本文结合实例,对同学们在解题过 程中出现的错误进行分析,为解析几何备考 指明方向,从而提高备考效率。 易错点1:忽视讨论双曲线的焦点所在 的位置致错 例 1 已知双曲线x 2 m- y2 n=1 的一条 渐进线方程为y= 4 3x ,则该双曲线的离心率 e= 。 错解:由已知得b a= 4 3 ,故双曲线的离心 率e=1+ ba 2 = 5 3 。 错因分析:当m>0,n>0时, x2 m- y2 n=1 就表示双曲线。错解中误认为双曲线的焦点 在x 轴上。事实上,当 m<0,n<0时,若焦 点在y 轴上,则有 a b= 4 3 。 正解:当m>0,n>0时, x2 m- y2 n=1 表示焦 点在x轴上的双曲线,所以 b a= 4 3 ,所以双曲线 的离心率e= 1+ ba 2 = 1+ 16 9= 5 3 ; 当m<0,n<0时, x2 m- y2 n=1 表示焦点 在y 轴上的双曲线,所以 a b= 4 3 ,即b a= 3 4 , 所以 双 曲 线 的 离 心 率 e= 1+ ba 2 = 1+ 9 16= 5 4 。 综上可得,e= 5 3 或 5 4 。 易错点2:忽视给定的条件致错 例 2 设双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>b>0) 的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点, 若原点到直线l的距离为 3 4c ,则双曲线的离 心率e= 。 错解:设直线l的方程为 x a+ y b=1 ,即 bx+ay-ab=0,由题意知 ab a2+b2 = 3 4c , 整理得4ab= 3c2,所以16a2b2=3c4,所以 3e4-16e2+16=0,解得e= 23 3 或2。 错因分析:错解中未注意到条件a>b> 0对离心率范围的限制,从而产生了增根,这 种错误的出现说明读题与审题环节出现严重 问题,同学们应当引起重视。 正解:前面同错解,得到e= 23 3 或2。 又a>b>0,则e= c a = 1+ b a 2 < 2,所以1<e< 2,故e= 23 3 。 易错点3:忽视直线与双曲线相交的情 形致错 例 3 已知双曲线Γ:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月 0,b>0)的离心率为 6 2 ,焦距为23。 (1)求双曲线Γ 的标准方程; (2)若过点(0,-b)作直线l分别交Γ 的 左、右两支于A、B 两点,交Γ 的渐近线于C、 D 两点,求 |AB| |CD| 的取值范围。 错解:(1)双曲线Γ 的标准方程为 x2 2- y2=1。(过程略) (2)由题意可知直线l的斜率存在,设直 线l的方程为y=kx-1。 由(1)知双曲线Γ的渐近线方程为y=± x 2 , 不妨设C,D分别在双曲线的左右两支上。 联立 y= x 2 , y=kx-1, 得xC= 22k-1; 联立 y=- x 2 , y=kx-1, 得xD= 22k+1。 所 以|CD|= 1+k2|xC -xD|= 1+k2× 2 2k-1 - 2 2k+1 = 22 1+k2 |2k2-1| 。 联立 x2 2-y 2=1, y=kx-1, 消去 y 整理得(1- 2k2)x2+4kx-4=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= - 4k 1-2k2 ,x1x2= -4 1-2k2 。由1-2k2 ≠0, Δ=16k2-4×(1-2k2)×(-4)=16(1-k2) >0,得0<k2<1,且k2≠ 1 2 。 故|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2× (x1+x2)2-4x1x2= 4 1-k4 |1-2k2| 。 所以 |AB| |CD|= |x1-x2| |xC-xD| = 2(1-k2)。 又因为k2≠ 1 2 ,所以 2(1-k2)∈(0, 1)∪(1,2],故 |AB| |CD| 的取值范围为(0,1)∪ (1,2]。 错因分析:第(1)问求解正确。第(2)问 由于漏掉考虑直线l交双曲线Γ 的左右两 支,故x1x2<0,即k2< 1 2 。 正解:(2)前面同错解。因为直线l交双 曲线Γ 的左右两支,所以x1x2<0,即0<k2 < 1 2 ,所以 2(1-k2)∈(0,1),所以 |AB| |CD| 的 取值范围为(0,1)。 易错点4:用点差法时忽视检验直线是 否与双曲线相交致错 例 4 已知双曲线C:x2-y 2 5=1 ,是 否存在被点 M(1,1)平分的弦 ? 若存在, 求弦所在的直 线 方 程;若 不 存 在,请 说 明 理由。 错解:假设双曲线存在被点 M(1,1)平 分的 弦,设 弦 的 两 个 端 点 为 A(x1,y1), B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2。 因为A,B 在双曲线上,所以x21- y21 5= 1,x22- y22 5=1 ,两式相减得(x1+x2)(x1- x2)= (y1+y2)(y1-y2) 5 。 所以kAB= y1-y2 x1-x2 = 5(x1+x2) y1+y2 =5,所 以弦AB 所在直线方程为y-1=5(x-1), 即y=5x-4。 所以存在被点 M(1,1)平分的弦,且弦 所在的直线方程为y=5x-4。 错因分析:最后漏掉了检验直线是否与 双曲线相交。 正解:前面同错解。把直线y=5x-4 代入双曲线方程得20x2-40x+21=0,因为 Δ=402-4×20×21=-80<0,所以直线 AB 与双曲线无交点,假设不成立,故不存在 被点 M(1,1)平分的弦。 总之,同学们在学习解析几何时,不仅需 要深谙基本概念与基本性质的本质,还要常 练习,多积累,养成良好习惯,提高运算能力, 助力高三备考。 (责任编辑 王福华) 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年12月