10 破解离心率的取值范围(或最值)问题的技巧方法-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■山东省无棣第一中学 王立强 离心率是一个反映圆锥曲线的形状特征 的几何量,是圆锥曲线统一定义的桥梁与纽 带,也是圆锥曲线的几何性质中的一个重要 参数。而涉及圆锥曲线的离心率的取值范围 (或最值)问题,一直是圆锥曲线模块考查的 一个热点问题。对于离心率的取值范围(或 最值)问题,其综合性强,难度较大,同学们需 要熟练理解并掌握一些解决问题的技巧策 略,这也是全面夯实“四基”,提升“四能”的根 本。本文结合典型实例,就破解离心率的取 值范围(或最值)问题的技巧方法进行归纳与 剖析,以期抛砖引玉。 一、特征法 在求解离心率的取值范围(或最值)时要 注意充分把握对应圆锥曲线的特征,其中椭 圆:e∈(0,1),双曲线:e∈(1,+∞),抛物线: e=1。结合圆锥曲线的基本类型,通过特征 法直接求解或判断对应的离心率的取值范围 (或最值)。 例 1 设θ∈ 0,π4 ,则二次曲线 x 2 tan θ -y2tan θ=1 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为 ( )。 A.0, 1 2 B.12, 2 2 C.1, 2 D. 2,+∞ 分析:先根据题设条件中θ∈ 0, π 4 ,结 合三角函数的相关性质,判断二次曲线的特 征为双曲线,再结合双曲线的离心率公式及 三角函数的基本性质来分析与应用,进而确 定离心率的取值范围。 解:二次曲线 x 2 tan θ-y 2tan θ=1可化为 x2 tan θ- y 1 tan θ =1。由θ∈ 0, π 4 ,可得tan θ ∈(0,1), 1 tan θ∈ (1,+∞),则对应的二次曲 线表示的是双曲线。因为a2=tan θ∈(0, 1),b2= 1 tan θ∈ (1,+∞),所以离心率e= c a= 1+ b2 a2 = 1+ 1 tan2θ > 1+1= 2, 即该双曲线的离心率的取值范围为( 2, +∞)。故选D。 点评:特征法的根本就是利用二次曲线 来正确判断对应圆锥曲线的类型,这里离不 开圆锥曲线自身的特征。在此基础上,进一 步结合所对应的圆锥曲线的类型,以及相应 的离心率公式、基本性质等进行数学运算与 逻辑推理,得以正确确定离心率的取值范围 (或最值)。 二、几何性质法 在求解离心率的取值范围(或最值)时要 注意题设条件中曲线所对应图形的几何性 质,数形结合,综合应用平面几何中的相关知 识与几何性质来合理构建对应的不等式,得 以确定有关参数a,b,c的不等关系,结合离 心率的公式来确定对应离心率的取值范围 (或最值)。 例 2 (2024届浙江大学附中高考数 学模拟试卷)已知F1,F2 分别为椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左焦点和右焦点,P 是 椭圆C 上的一点,直线l:x= a2+b2 a ,且PQ ⊥l,垂足为Q。若四边形QPF1F2 为平行四 边形,则 椭 圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ( )。 A. 2 2 ,1 B. 2-1,1 42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 C.0, 2-1 D.0, 2 2 分析:根据题设条件,设出动点 P 的坐 标,结合平面几何的性质确定点Q 的坐标及 对应线段之间的关系,通过距离公式来构建 关系式,并结合椭圆的几何性质构建关于参 数x0 的取值限制,构建对应的不等式,为进 一步确定离心率的取值范围指明方向。 图1 解:设 P(x0,y0), 则Q a 2+b2 a ,y0 。如图 1 所 示,因 为 四 边 形 QPF1F2 为平行四边形, 所以|PQ|=|F1F2|,所以 a2+b2 a -x0=2c , 即x0= a2+b2 a -2c= 2a2-c2-2ac a ∈ (-a, a)。所以-1< 2a2-c2-2ac a2 <1,所以-1< 2-e2-2e<1。又因为0<e<1,所以 2-1 <e<1。故选B。 点评:在利用几何性质法解决圆锥曲线 的离心率的取值范围(或最值)时,关键在于 把握相关平面几何图形的几何性质,如平面 内线段之间的关系、三角形的边长之间的关 系、曲线中动点的取值限制条件等对应的几 何性质,合理构建相应的不等式(组),转化为 涉及参数a、b、c的不等式,同时结合对应圆 锥曲线的特征,从而确定离心率的取值范围 (或最值)。 三、不等关系法 在求解离心率的取值范围(或最值)时要 注意题设条件中的不等关系,利用对应的不 等关系建立参数a,b,c的不等式,进而求解 离心率的取值范围(或最值)。利用不等关系 法的关键是构造相应的不等式,但解不等式 时要注意相应圆锥曲线的离心率的特征。 图2 例 3 (2024届浙江省 金华一中高三(上)月考数学 试卷(10月份))如图2,已知 双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左焦点和右焦点分别 为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2 为 直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q 两 点,其中点Q 在y 轴右侧,若|AQ|≥2|AP|, 则双曲线C的离心率的取值范围是( )。 A.(1, 3] B.[ 3,+∞) C.1, 21 3 􀭤􀭥 􀪁􀪁 D. 21 3 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 分析:根据题设条件中的不等关系|AQ| ≥2|AP|,将问题转化为求解对应线段的长 度,将双曲线的渐近线方程与圆的方程进行 联立,确定对应的交点,并结合两点间的距离 公式来构建不等关系,通过离心率公式及双 曲线的特征,最终确定离心率的取值范围。 解:由题意知,以F1F2 为直径的圆的方 程为x2+y2=c2,不妨设双曲线的渐近线方 程 为 y = b a x ,联 立 y= b ax , x2+y2=c2, 解 得 x=a, y=b 或 x=-a , y=-b, 所以 Q(a,b),P(-a, -b)。又A 为双曲线的左顶点,则 A(-a, 0),所以|AQ|= (a+a)2+b2,|AP|= (-a+a)2+b2=b。因为|AQ|≥2|AP|, 所以 (a+a)2+b2 ≥2b,即4a2≥3(c2- a2),所以e2≤ 7 3 。又因为e>1,所以e∈ 1, 21 3 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。故选C。 点评:在利用不等关系法解决圆锥曲线的 离心率的取值范围(或最值)时,关键在于通过 一些不等关系得到关于参数a,b,c的不等式, 进而解出离心率的取值范围。同时,一定要注 意题设场景下特定类型的圆锥曲线的特征,结 合其对应离心率的限定条件来加以确定。 其实,圆锥曲线中有关椭圆或双曲线的 离心率的取值范围(或最值)问题,是依托具 体的圆锥曲线场景,合理分析题设条件与关 系,挖掘问题的内涵与实质,抓住椭圆或双曲 线的特征,正确应用曲线的几何性质,巧妙转 化不等关系,往往可以实现问题的突破与求 解。 (责任编辑 王福华) 52 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月