内容正文:
点评:解决圆锥曲线中的定线问题,主要
是涉及因图形变化或点的移动而产生的动点
在定直线上的问题。证明动点在定直线上是
圆锥曲线中的常规题型,解决这类问题的核
心在于确定动点的轨迹,其解题的一般步骤:
(1)联立方程消去参数;(2)挖掘图形的对称
性,解出动点的横坐标或纵坐标;(3)将横纵
坐标分别用参数表示,再消参;(4)设点,对方
程变形后求解,从而得定直线。
总之,探索圆锥曲线中的“三定”问题,
巧妙联系起平面解析几何中众多的基本要
素,可以发现圆锥曲线中的点、直线、曲线
等几何元素间的内在规律与联系,借助定
值、定点、定线等定量关系,实现几何与代
数的联系,“动”“静”结合,和谐统一。同时
要注意的是,此类圆锥曲线中的“三定”问
题的数学运算量一般较大,同学们要注重
函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方
法的灵活运用,并且加强对相关内容的正
确理解与掌握,从而实现提高数学解题能
力与应用能力的目的。
(责任编辑 王福华)
■江苏省沭阳高级中学 唐中建
在圆锥曲线综合应用的问题中,常出现
需要证明非对称式为定值的情形,此时式子
并不能完全整理为x1+x2,x1x2 或y1+y2,
y1y2 的形式,这就是圆锥曲线问题中比较常
见的非对称式问题。本文结合实例,就圆锥
曲线综合应用问题中有关非对称式的应对策
略加以剖析,以期抛砖引玉。
一、部分代换法
在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式
问题时,需结合代数式的结构特征,将其中符
合韦达定理的部分整理为x1+x2,x1x2 或
y1+y2,y1y2 的形式,并加以代入。而不符
合韦达定理的部分暂时保留,通过逻辑推理
与数学运算来实现化简或求值的目的。
例 1 设椭圆C:x
2
a2
+y
2
b2
=1(a>b>
0)的右焦点为F,点 M 1,
3
2 在椭圆C 上,
且 MF⊥x 轴。
(1)求椭圆C 的方程。
(2)过点P(4,0)的直线交椭圆C 于A,
B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直
线 MF 于点Q。证明:AQ⊥y 轴。
解析:(1)依题意可得
c=1,
1
a2
+
9
4b2
=1,
a2=b2+c2,
解得
a=2,
b= 3,
c=1,
故椭圆C 的方程为
x2
4+
y2
3=1
。
(2)依题意知,直线 MF 的方程为x=1,
又因为点P(4,0),N 为线段FP 的中点,所
以N 52
,0 。
图1
如图1所示,设直线
AB 的方程为x=my+4,
联立
x=my+4,
x2
4+
y2
3=1
, 消去 x
整理 得 (3m2 +4)y2 +
24my+36=0,由Δ=(24m)2-4×36(3m2
+4)=144m2-576>0,可得m2>4。
设A(x1,y1),B(x2,y2),结合韦达定理
可得y1+y2=-
24m
3m2+4
,y1y2=
36
3m2+4
。
而直 线 NB 的 方 程 为 y=
y2
x2-
5
2
·
12
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年12月
x-
5
2 ,令x=1,可得yQ= y2my2+4-52
·
1-
5
2 =- 3y22my2+3。
所以yQ-y1=-
3y2
2my2+3
-y1
=-
2my1y2+3(y1+y2)
2my2+3
=-
2m×
36
3m2+4
+3 -
24m
3m2+4
2my2+3
=-
72m
3m2+4
-
72m
3m2+4
2my2+3
=0。
故yQ=y1,即AQ⊥y 轴。
点评:在解决代数式的差值恒为0的问
题时,通过部分代换法进行处理,确定对应差
式的分子部分为0,则对应的差式恒为0,而
分母中部分不易代换的关系式,对代数式的
结果并不产生影响。在利用部分代换法处理
圆锥曲线综合应用中的非对称式问题时,需
根据所要证明的结论加以合理比较,瞻前顾
后,合理变形与转化。
二、和积转换法
在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式
问题时,结合代数式的结构特征与形式,通过
对应参数的和式x1+x2 与积式x1x2(或和
式y1+y2 与积式y1y2)之间的相互转换,实
现代数式的化简或求值。
例 2 已知椭圆C:x
2
a2
+y
2
b2
=1(a>
b>0)的离心率为
3
2
,左顶点和右顶点分别
为A,B,点P,Q 为椭圆C 上异于A,B 的两
点,△PAB 面积的最大值为2。
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线 AP,QB 的斜率分别为k1,
k2,且3k1=5k2,求证:直线PQ 经过定点。
解析:(1)由题意知,当P 为椭圆C 的短
轴顶点时,△PAB 的面积取得最大值,且最
大值为
1
2|AB|
·b=
1
2×2ab=ab=2
。
由
c
a=
3
2
,
ab=2,
a2=b2+c2,
解得
a=2,
b=1,
c= 3,
所以椭圆
C 的方程为
x2
4+y
2=1。
(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2)。
若直线PQ 的斜率为零,则点P,Q 关于
y 轴对称,又3k1=5k2,则k1=k2=0,不合题
意,所以直线PQ 的斜率不为零。
设直线PQ 的方程为x=ty+n,由于直
线PQ 不过椭圆C 的左、右顶点,则n≠±2。
联立
x=ty+n,
x2+4y2=4, 消去x 整理得(t2+
4)y2+2tny+n2-4=0,由Δ=4t2n2-4(t2
+4)(n2-4)=16(t2+4-n2)>0,可得n2<
t2+4。
结合韦达定理可得y1+y2=-
2tn
t2+4
,
y1y2=
n2-4
t2+4
,则ty1y2=
4-n2
2n
(y1+y2)。
所 以
k1
k2
=
y1
x1+2
· x2-2
y2
=
(ty2+n-2)y1
(ty1+n+2)y2
=
ty1y2+(n-2)y1
ty1y2+(n+2)y2
=
4-n2
2n
(y1+y2)+(n-2)y1
4-n2
2n
(y1+y2)+(n+2)y2
=
2-n
2+n
·
(2+n)(y1+y2)-2ny1
(2-n)(y1+y2)+2ny2
=
2-n
2+n=
5
3
,解 得
n=-
1
2
。
所以直线 PQ 的方程为x=ty-
1
2
,故
直线PQ 过定点M -
1
2
,0 。
点评:在解决代数式的比值恒为非零常
数的问题时,抓住分式中对应参数的关系,
借助和式(或积式)的转换与变形来处理,可
以巧妙消参,实现问题的突破与求解。和积
转换法是处理圆锥曲线综合应用中的非对
称式问题常用的一种技巧方法,也是解决此
类问题的首选方法,同学们要加以熟练理解
与掌握。
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年12月
三、配凑半代换法
在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式
问题时,需结合代数式的结构特征,以及韦达
定理的应用,合理进行配凑处理,使得参数
x1,x2 中保留x1(或x2),或参数y1,y2 中保
留y1(或y2),借助半代换处理,实现代数式
的化简或求值。
例 3 设F 为椭圆C:x
2
2+y
2=1的右
焦点,过点(2,0)的直线l与椭圆C 交于A,
B 两点。
(1)若B 为椭圆C 的上顶点,求直线AF
的方程;
(2)设直线AF,BF 的斜率分别为k1,k2
(k2≠0),求证:
k1
k2
为定值。
解析:(1)由题意可知,直线 AB 的方程
为
x
2+y=1
,即y=-
x
2+1
。
联立
y=-
x
2+1
,
x2
2+y
2=1,
消去y 整理得3x
2-
4x=0,解得x=0或x=
4
3
。
所以A 43
,1
3 ,而F(1,0),则kAF=1,
故直线AF 的方程为y=x-1。
(2)易知直线AB 的斜率存在且不为零,
所以可设直线 AB 的方程为x=my+2,
A(x1,y1),B(x2,y2)。
联立
x=my+2,
x2
2+y
2=1, 消去x 整理得(m2+
2)y2+4my+2=0,则Δ=8(m2-2)>0。
所以
y1+y2=-
4m
m2+2
, ①
y1y2=
2
m2+2
。 ②
所 以
k1
k2
=
y1
x1-1
y2
x2-1
=
y1(x2-1)
y2(x1-1)
=
my1y2+y1
my1y2+y2
,由于代数式中参数y1,y2 的系
数出现了不对称,可有如下三种处理方法:
方法一(和积转换法:y1y2 转化为y1+
y2):由①÷②整理得y1+y2=-2my1y2,所
以my1y2=-
y1+y2
2
,所以k1
k2
=
my1y2+y1
my1y2+y2
=
-
y1+y2
2 +y1
-
y1+y2
2 +y2
=
y1-y2
y2-y1
=-1,故
k1
k2
为定
值-1。
方法二(配凑半代换法:y1,y2 中 保 留
y1):
k1
k2
=
my1y2+y1
my1y2+y2
=
my1y2+y1
my1y2+(y1+y2)-y1
=
2m
m2+2
+y1
2m
m2+2
-
4m
m2+2
-y1
=
2m
m2+2
+y1
-2m
m2+2
-y1
=-1,故
k1
k2
为定值-1。
方法三(配凑半代换法:y1,y2 中保留
y2):
k1
k2
=
my1y2+y1
my1y2+y2
=
my1y2+(y1+y2)-y2
my1y2+y2
=
2m
m2+2
-
4m
m2+2
-y2
2m
m2+2
+y2
=
-2m
m2+2
-y2
2m
m2+2
+y2
=-1,故
k1
k2
为定值-1。
点评:在解决代数式的值恒为定值的问
题时,结合代数式的结构特征,和积转换法是
处理该类问题的首选方法。而结合代数式的
形式与所要证明的定值,可以通过关系式的
合理配凑,进行半代换处理,用一个参数表示
另一个参数来消参,借助代数式的化简与变
形,可以实现定值的逻辑推理与运算。
其实,在处理圆锥曲线综合应用中的非
对称式问题时,除了本文所提到的部分代换
法、和积转换法及配凑半代换法,还有整体代
换法、特殊值验证法、设而不求法及引入参数
法等,解题的关键是剖析问题的应用场景,正
确把握题目内涵与实质,抓住问题的精髓,借
助相应的技巧方法加以分析与应用,养成良
好的解题习惯,全面优化解题品质,提升解题
能力。
(责任编辑 王福华)
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年12月