09 圆锥曲线问题中非对称式的应对策略-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

2024-12-30
| 3页
| 123人阅读
| 5人下载
教辅
中学生数理化高中版编辑部
进店逛逛

资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 教案-讲义
知识点 圆锥曲线
使用场景 高考复习
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 632 KB
发布时间 2024-12-30
更新时间 2024-12-30
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高考数学
审核时间 2024-12-30
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/49669729.html
价格 2.00储值(1储值=1元)
来源 学科网

内容正文:

􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯 点评:解决圆锥曲线中的定线问题,主要 是涉及因图形变化或点的移动而产生的动点 在定直线上的问题。证明动点在定直线上是 圆锥曲线中的常规题型,解决这类问题的核 心在于确定动点的轨迹,其解题的一般步骤: (1)联立方程消去参数;(2)挖掘图形的对称 性,解出动点的横坐标或纵坐标;(3)将横纵 坐标分别用参数表示,再消参;(4)设点,对方 程变形后求解,从而得定直线。 总之,探索圆锥曲线中的“三定”问题, 巧妙联系起平面解析几何中众多的基本要 素,可以发现圆锥曲线中的点、直线、曲线 等几何元素间的内在规律与联系,借助定 值、定点、定线等定量关系,实现几何与代 数的联系,“动”“静”结合,和谐统一。同时 要注意的是,此类圆锥曲线中的“三定”问 题的数学运算量一般较大,同学们要注重 函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方 法的灵活运用,并且加强对相关内容的正 确理解与掌握,从而实现提高数学解题能 力与应用能力的目的。 (责任编辑 王福华) ■江苏省沭阳高级中学 唐中建 在圆锥曲线综合应用的问题中,常出现 需要证明非对称式为定值的情形,此时式子 并不能完全整理为x1+x2,x1x2 或y1+y2, y1y2 的形式,这就是圆锥曲线问题中比较常 见的非对称式问题。本文结合实例,就圆锥 曲线综合应用问题中有关非对称式的应对策 略加以剖析,以期抛砖引玉。 一、部分代换法 在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式 问题时,需结合代数式的结构特征,将其中符 合韦达定理的部分整理为x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的形式,并加以代入。而不符 合韦达定理的部分暂时保留,通过逻辑推理 与数学运算来实现化简或求值的目的。 例 1 设椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的右焦点为F,点 M 1, 3 2 在椭圆C 上, 且 MF⊥x 轴。 (1)求椭圆C 的方程。 (2)过点P(4,0)的直线交椭圆C 于A, B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直 线 MF 于点Q。证明:AQ⊥y 轴。 解析:(1)依题意可得 c=1, 1 a2 + 9 4b2 =1, a2=b2+c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=2, b= 3, c=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故椭圆C 的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)依题意知,直线 MF 的方程为x=1, 又因为点P(4,0),N 为线段FP 的中点,所 以N 52 ,0 。 图1 如图1所示,设直线 AB 的方程为x=my+4, 联立 x=my+4, x2 4+ y2 3=1 , 消去 x 整理 得 (3m2 +4)y2 + 24my+36=0,由Δ=(24m)2-4×36(3m2 +4)=144m2-576>0,可得m2>4。 设A(x1,y1),B(x2,y2),结合韦达定理 可得y1+y2=- 24m 3m2+4 ,y1y2= 36 3m2+4 。 而直 线 NB 的 方 程 为 y= y2 x2- 5 2 · 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 x- 5 2 ,令x=1,可得yQ= y2my2+4-52 · 1- 5 2 =- 3y22my2+3。 所以yQ-y1=- 3y2 2my2+3 -y1 =- 2my1y2+3(y1+y2) 2my2+3 =- 2m× 36 3m2+4 +3 - 24m 3m2+4 2my2+3 =- 72m 3m2+4 - 72m 3m2+4 2my2+3 =0。 故yQ=y1,即AQ⊥y 轴。 点评:在解决代数式的差值恒为0的问 题时,通过部分代换法进行处理,确定对应差 式的分子部分为0,则对应的差式恒为0,而 分母中部分不易代换的关系式,对代数式的 结果并不产生影响。在利用部分代换法处理 圆锥曲线综合应用中的非对称式问题时,需 根据所要证明的结论加以合理比较,瞻前顾 后,合理变形与转化。 二、和积转换法 在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式 问题时,结合代数式的结构特征与形式,通过 对应参数的和式x1+x2 与积式x1x2(或和 式y1+y2 与积式y1y2)之间的相互转换,实 现代数式的化简或求值。 例 2 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的离心率为 3 2 ,左顶点和右顶点分别 为A,B,点P,Q 为椭圆C 上异于A,B 的两 点,△PAB 面积的最大值为2。 (1)求椭圆C 的方程; (2)设直线 AP,QB 的斜率分别为k1, k2,且3k1=5k2,求证:直线PQ 经过定点。 解析:(1)由题意知,当P 为椭圆C 的短 轴顶点时,△PAB 的面积取得最大值,且最 大值为 1 2|AB| ·b= 1 2×2ab=ab=2 。 由 c a= 3 2 , ab=2, a2=b2+c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=2, b=1, c= 3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以椭圆 C 的方程为 x2 4+y 2=1。 (2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2)。 若直线PQ 的斜率为零,则点P,Q 关于 y 轴对称,又3k1=5k2,则k1=k2=0,不合题 意,所以直线PQ 的斜率不为零。 设直线PQ 的方程为x=ty+n,由于直 线PQ 不过椭圆C 的左、右顶点,则n≠±2。 联立 x=ty+n, x2+4y2=4, 消去x 整理得(t2+ 4)y2+2tny+n2-4=0,由Δ=4t2n2-4(t2 +4)(n2-4)=16(t2+4-n2)>0,可得n2< t2+4。 结合韦达定理可得y1+y2=- 2tn t2+4 , y1y2= n2-4 t2+4 ,则ty1y2= 4-n2 2n (y1+y2)。 所 以 k1 k2 = y1 x1+2 · x2-2 y2 = (ty2+n-2)y1 (ty1+n+2)y2 = ty1y2+(n-2)y1 ty1y2+(n+2)y2 = 4-n2 2n (y1+y2)+(n-2)y1 4-n2 2n (y1+y2)+(n+2)y2 = 2-n 2+n · (2+n)(y1+y2)-2ny1 (2-n)(y1+y2)+2ny2 = 2-n 2+n= 5 3 ,解 得 n=- 1 2 。 所以直线 PQ 的方程为x=ty- 1 2 ,故 直线PQ 过定点M - 1 2 ,0 。 点评:在解决代数式的比值恒为非零常 数的问题时,抓住分式中对应参数的关系, 借助和式(或积式)的转换与变形来处理,可 以巧妙消参,实现问题的突破与求解。和积 转换法是处理圆锥曲线综合应用中的非对 称式问题常用的一种技巧方法,也是解决此 类问题的首选方法,同学们要加以熟练理解 与掌握。 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 三、配凑半代换法 在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式 问题时,需结合代数式的结构特征,以及韦达 定理的应用,合理进行配凑处理,使得参数 x1,x2 中保留x1(或x2),或参数y1,y2 中保 留y1(或y2),借助半代换处理,实现代数式 的化简或求值。 例 3 设F 为椭圆C:x 2 2+y 2=1的右 焦点,过点(2,0)的直线l与椭圆C 交于A, B 两点。 (1)若B 为椭圆C 的上顶点,求直线AF 的方程; (2)设直线AF,BF 的斜率分别为k1,k2 (k2≠0),求证: k1 k2 为定值。 解析:(1)由题意可知,直线 AB 的方程 为 x 2+y=1 ,即y=- x 2+1 。 联立 y=- x 2+1 , x2 2+y 2=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 整理得3x 2- 4x=0,解得x=0或x= 4 3 。 所以A 43 ,1 3 ,而F(1,0),则kAF=1, 故直线AF 的方程为y=x-1。 (2)易知直线AB 的斜率存在且不为零, 所以可设直线 AB 的方程为x=my+2, A(x1,y1),B(x2,y2)。 联立 x=my+2, x2 2+y 2=1, 消去x 整理得(m2+ 2)y2+4my+2=0,则Δ=8(m2-2)>0。 所以 y1+y2=- 4m m2+2 , ① y1y2= 2 m2+2 。 ② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所 以 k1 k2 = y1 x1-1 y2 x2-1 = y1(x2-1) y2(x1-1) = my1y2+y1 my1y2+y2 ,由于代数式中参数y1,y2 的系 数出现了不对称,可有如下三种处理方法: 方法一(和积转换法:y1y2 转化为y1+ y2):由①÷②整理得y1+y2=-2my1y2,所 以my1y2=- y1+y2 2 ,所以k1 k2 = my1y2+y1 my1y2+y2 = - y1+y2 2 +y1 - y1+y2 2 +y2 = y1-y2 y2-y1 =-1,故 k1 k2 为定 值-1。 方法二(配凑半代换法:y1,y2 中 保 留 y1): k1 k2 = my1y2+y1 my1y2+y2 = my1y2+y1 my1y2+(y1+y2)-y1 = 2m m2+2 +y1 2m m2+2 - 4m m2+2 -y1 = 2m m2+2 +y1 -2m m2+2 -y1 =-1,故 k1 k2 为定值-1。 方法三(配凑半代换法:y1,y2 中保留 y2): k1 k2 = my1y2+y1 my1y2+y2 = my1y2+(y1+y2)-y2 my1y2+y2 = 2m m2+2 - 4m m2+2 -y2 2m m2+2 +y2 = -2m m2+2 -y2 2m m2+2 +y2 =-1,故 k1 k2 为定值-1。 点评:在解决代数式的值恒为定值的问 题时,结合代数式的结构特征,和积转换法是 处理该类问题的首选方法。而结合代数式的 形式与所要证明的定值,可以通过关系式的 合理配凑,进行半代换处理,用一个参数表示 另一个参数来消参,借助代数式的化简与变 形,可以实现定值的逻辑推理与运算。 其实,在处理圆锥曲线综合应用中的非 对称式问题时,除了本文所提到的部分代换 法、和积转换法及配凑半代换法,还有整体代 换法、特殊值验证法、设而不求法及引入参数 法等,解题的关键是剖析问题的应用场景,正 确把握题目内涵与实质,抓住问题的精髓,借 助相应的技巧方法加以分析与应用,养成良 好的解题习惯,全面优化解题品质,提升解题 能力。 (责任编辑 王福华) 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月

资源预览图

09 圆锥曲线问题中非对称式的应对策略-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊
1
所属专辑
相关资源
由于学科网是一个信息分享及获取的平台,不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系学科网,我们核实后将及时进行处理。