内容正文:
■山东省济南市莱芜第一中学 杨 萍
三角函数关系式的最值(或取值范围)问
题,基于三角函数模块的基础知识、基本性质
与思想方法,合理并巧妙融合函数与方程、不
等式、平面解析几何及导数的应用等其他相
关知识,吻合高考数学试卷中“在交汇处命
题”的基本精神,成为高考命题中一类基本考
点。
一、辅助角公式法
辅助角公式法是处理三角函数最值(或
取值范围)问题的一种基本技巧方法,利用三
角函数的辅助角公式,通过三角函数关系式
的合理配凑或待定系数法的应用,有效实现
三角函数的最值(或取值范围)的确定。
例 1 已 知 x ∈ R,则 代 数 式
4sin
xcos
x+3
cos2x
的最小值为 。
解法1:(配凑法)结合三角函数的辅助
角公式,可得12sin
2x-5cos
2x=13sin(2x
+φ)≥-13,其 中tan
φ=-
5
12
,整 理 得
12sin
2x+18≥5cos
2x+5,即4sin
2x+6≥
5
3
(cos
2x+1)。
因 为
4sin
xcos
x+3
cos2x
=
2sin
2x+3
1+cos
2x
2
=
4sin
2x+6
1+cos
2x≥
5
3
,所以4sin
xcos
x+3
cos2x
的最小
值为
5
3
。故填5
3
。
解法2:(待定系数法)依题意,令y=
4sin
xcos
x+3
cos2x
=
2sin
2x+3
1+cos
2x
2
=
4sin
2x+6
1+cos
2x
,
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年10月
则有4sin
2x+6=y+ycos
2x,整理可得
4sin
2x-ycos
2x=y-6。
结 合 三 角 函 数 的 辅 助 角 公 式,可 得
16+y2sin(2x+φ)=y-6,其中tan
φ=
-y4
,利用三角函数的有界性,可得|y-6|≤
16+y2,解得y≥
5
3
,即4sin
xcos
x+3
cos2x
的
最小值为
5
3
。故填5
3
。
点评:根据三角函数的辅助角公式来转
化与应用,并借助三角函数的有界性来确定
三角函数关系式的最值问题,是解决此类问
题中的一种“通技通法”。具体利用辅助角公
式时,可合理配凑,进而转化为正弦型或余弦
型函数,方便利用三角函数的有界性来确定
最值。
二、方程法
方程法是处理与方程的解有关问题的一
种基本方法,在确定三角函数的最值(或取值
范围)问题时,合理引入参数,巧妙构建方程,
利用方程有解所对应的判别式情景来构建对
应的不等式,利用不等式的求解来确定三角
函数的最值(或取值范围)。
例 2 设 x,y∈ 0,π2 ,则 1cos2x+
1
sin2xsin2ycos2y
的最小值为( )。
A.8 B.9
C.10 D.其他三个选项均不对
解析:依题意, 1
cos2x
+
1
sin2xsin2ycos2y
=
1
cos2x
+
4
sin2xsin22y
≥
1
cos2x
+
4
sin2x
。令t
=
1
cos2x
+
4
sin2x
>1,则t=
1
1-sin2x
+
4
sin2x
,
整理得tsin4x-(t+3)sin2x+4=0。依题意
知,该方程是关于sin2x 的二次方程,且有实
根,由Δ=(t+3)2-16t≥0,解得t≥9或t≤
1(舍去)。所以
1
cos2x
+
1
sin2xsin2ycos2y
的最
小值为9,当且仅当sin22y=1,sin2x=
2
3
,即
y=
π
4
,sin
x=
6
3
时,等号成立。故选B。
点评:根据题设在放缩消参后,合理进行
整体换元处理,结合1=sin2x+cos2x 进行消
元处理,转化为相关的二次方程有解问题,借
助方程的判别式巧妙构建对应的不等式,利
用不等式的求解来确定相应的最值问题。合
理联系三角关系式,巧妙放缩,结合换元及方
程的构建,利用判别式法转化为相应的不等
式问题,实现问题的转化与应用。
三、基本不等式法
基本不等式法是处理代数式的最值(或
取值范围)问题时比较常见的一种技巧方法,
同时对三角关系式中的最值也有效。需要注
意的是,要对涉及的三角函数关系式进行合
理配凑,构建满足应用基本不等式的条件是
解题的关键。
例 3 (2024年晋豫联盟高三年级4
月份大联考数学试题)已知θ∈ 0,
π
4 ,则
sin4θ+cos4θ
sin3θcos
θ-sin
θcos3θ
的最大值为( )。
A.4 B.1 C.- 3 D.-22
解析:依题意,由于θ∈ 0,
π
4 ,则有2θ
∈ 0,
π
2 ,所以tan
2θ>0。结合基本不等
式, 可 得 sin
4θ+cos4θ
sin3θcos
θ-sin
θcos3θ
=
tan4θ+1
tan3θ-tan
θ
= -
2tan
θ
1-tan2θ
·tan
4θ+1
2tan2θ
=
-tan
2θ·
(tan2θ-1)2+2tan2θ
2tan2θ
=-tan
2θ·
2tan
2θ-1
2tan
θ
2
+1 = - tan
2θ ·
2 1tan
2θ
2
+1 = - 2tan 2θ+tan
2θ ≤
-2
2
tan
2θ
·tan
2θ= -2 2,当 且 仅 当
2
tan
2θ=
tan
2θ,即tan
2θ= 2时,等号成立,
所 以
sin4θ+cos4θ
sin3θcos
θ-sin
θcos3θ
的 最 大 值 为
-22。故选D。
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年10月
点评:在利用基本不等式法求解三角函数
式的最值(或取值范围)问题时,有时一次放缩
可以达到目的,有时一次放缩无法达到目的,
而通过两次或多次放缩来处理时,要综合应用
基本不等式与三角函数的有界性等,注意两次
放缩处理时等号成立的条件必须是相同的。
四、导数法
导数法是处理函数中涉及最值(或取值
范围)问题时最为普遍的一种技巧方法,而三
角函数作为一类特殊的函数,导数法也是解
决三角函数的最值(或取值范围)问题的一种
“通性通法”。
例 4 若函数f(x)= 1+sin
x
2cos
x+sin
x
,
x∈ 0,
π
2 ,则函数f(x)的最小值为 。
解析:依 题 意,结 合 函 数 f (x)=
1+sin
x
2cos
x+sin
x
,求 导 可 得 f' (x)=
2sin
x-cos
x+2
(2cos
x+sin
x)2
。因为 x∈ 0,
π
2 ,所以
2sin
x≥0,2-cos
x>0,可得f'(x)>0,所
以函数f(x)在区间 0,
π
2 上单调递增,则
f(x)min=f(0)=
1+sin
0
2cos
0+sin
0=
1
2
,所以函
数f(x)的最小值为
1
2
。故填1
2
。
点评:导数法是解决函数的单调性与最
值等相关问题时比较常用的一种技巧方法。
通过相应函数的求导运算,结合导函数的正
负取值判断,进而确定相应函数的单调性,可
以比较直接地确定相应函数的最值。运用导
数法确定对应函数的最值问题时,虽然方法
比较熟悉,但是数学运算往往比较大,所以同
学们要细致认真。
五、特殊模型法
特殊模型法是处理三角函数的最值(或取
值范围)问题时的一种建模思维,是根据所求三
角函数代数式的结构特征,充分挖掘其实质,合
理创设数学模型的解题意境,通过构建平面几
何图形或平面解析几何图形等来直观处理,抓
住图形的几何特征与性质来数形结合,也是解
决一些三角函数问题的一种“巧技妙法”。
例 5 函数 f(x)=2sinx+π4 +
cos
2x 的最大值为( )。
A.1+ 2 B.
33
2
C.22
D.3
解析:设x+
π
4=α
,则x=α-
π
4
,f(x)
=2sin x+
π
4 + cos
2x = 2sin
α +
cos2α-
π
2 =2sin
α+sin
2α=2sin
α(1+
图1
cos
α)=g(α),α∈R。如图1
所示,在平面直角坐标系中构
造单位圆,其中 A(-1,0),
B(cos
α,sin
α),C(cos
α,
-sin
α),D(cos
α,0),数形
结 合 可 知 S△ABC =
1
2×2sin
α×(1+cos
α)=
|sin
α(1+cos
α)|。由于单位圆的所有内接
三角形中,正三角形的面积最大,则S△ABC=
|sin
α(1+cos
α)|≤
33
4
,故|g(α)|=
|2sin
α(1+cos
α)|=2|sin
α(1+cos
α)|≤
33
2
,即 g(α)∈ -
33
2
,33
2
,所 以 函 数
f(x)的最大值为
33
2
。故选B。
点评:巧妙利用三角函数关系式的结构
特征,构建平面直角坐标系及平面几何图形,
给三角函数最值的求解另辟蹊径,开拓数学
思维与解题技巧。该题借助“单位圆的所有
内接三角形中正三角形的面积最大”来建立
不等式,为三角函数关系式的放缩创设条件。
三角函数关系式的最值(或取值范围)问
题,往往题设条件简捷明了,切入思维方式多
样,问题突破点不尽相同,解题技巧与方法多
变,是全面考查数学“四基”与数学能力的基
本考点之一,备受各方关注。因此,熟练理解
并掌握一些三角函数最值(或取值范围)问题
中常见的解题技巧与策略,就显得非常重要。
(责任编辑 王福华)
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年10月