07 多策略应对，妙技巧应用——基于圆锥曲线中的最值(或范围)问题-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■江苏省靖江市刘国钧中学 李大伟 圆锥曲线中的基本元素、关系式或代数 式等的最值(或范围)问题,一直是高考数学 试卷中的一个重点题型,也是考查数学“四 基”与“四能”的一个重要场景,具有较好的选 拔性与区分度,备受各方关注。本文就巧用 几何图形、妙构函数模型、构造基本不等式等 常用技巧与方法,结合典型实例来剖析解决 圆锥曲线中的最值(或范围)问题的应对策 略,以期抛砖引玉。 一、巧用几何图形求最值(或范围)问题 巧用几何图形,依托几何图形的几何性 质、几何意义、图形直观、位置关系等来处理 圆锥曲线中的最值(或范围)问题。 例 1 已知过椭圆x 2 m+ y2 m-9=1 (m> 9)的右焦点F 的圆与圆O:x2+y2=4外切, 该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C, 若P 为曲线C 上的一动点,则|FP|的最小 值为( )。 A.0 B. 1 2 C.1 D.2 解析:由椭圆x 2 m+ y2 m-9=1 (m>9),可 图1 得c= m-(m-9)= 3,所以F(3,0)。设椭圆 的左 焦 点 为 F1,以 FQ 为直径的圆的圆心为C, 如图1所示。因为圆 O 与圆C 外切,所以|OC| -|CF|=2。 因为|QF1|=2|OC|,|QF|=2|CF|,所 以|QF1|-|QF|=2(|OC|-|CF|)=4< |F1F|,所以点Q 的轨迹是以F1,F 为焦点 的双曲线的右支,且2a=4,即a=2。又c= 3,则b= 9-4= 5,所以曲线C: x2 4- y2 5= 1(x≥2)。因为P 为曲线C 上的一动点,所 以|FP|的最小值为c-a=1。故选C。 点评:在解决圆锥曲线的综合应用问题 时,若题目的条件和结论能明显体现解析几 何的特征和意义,则考虑利用直线与曲线的 定义、图形、几何性质来解决。依托几何图形 与几何意义,使得解题更加简单快捷。 二、妙构函数模型求最值(或范围)问题 妙构函数模型,结合二次函数的图像与 性质、函数与导数的综合应用等来处理圆锥 曲线中的最值(或范围)问题。 例 2 已知动圆过点F 12,0 ,且与直 线x+ 1 2=0 相切,设动圆圆心的轨迹为曲线 C,过点F 的直线l与曲线C 交于A,B 两 点,曲线C 在A,B 两点处的切线交于点E。 (1)证明:EF⊥AB; (2)设|AF|=λ|FB|,当 λ ∈ 1 3 ,1 2 时,求△ABE 的面积S 的最小值。 解析:(1)由题意得,圆心到点F 的距离 和到直线x+ 1 2=0 的距离相等,结合抛物线 的定义知曲线C 为抛物线。 由焦点F 12 ,0 和准线方程x+12=0, 可得曲线C 的方程为y2=2x。 设直线l 的方程为x=my+ 1 2 ,代入 y2=2x,得y2-2my-1=0。 设A y 2 1 2 ,y1 ,B y 2 2 2 ,y2 ,则y1+y2= 2m ①,y1y2=-1 ②。 由切线AE 的方程为y1y=x+ y21 2 ③ , 切线BE 的方程为y2y=x+ y22 2 ④ ,可得 y2 x+ y21 2 = y1 x+y 2 2 2 ,所 以 x = 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 y21y2-y22y1 2(y1-y2) = y1y2 2 =- 1 2 。 由③-④,可得(y1-y2)y= 1 2 (y21- y22),即y= y1+y2 2 =m ,所以E - 1 2 ,m 。 当m=0 时,显然有EF⊥AB。 当m≠0 时,kEF·kAB= m-0 - 1 2- 1 2 × 1 m =-1,所以EF⊥AB。 综上可得,EF⊥AB。 (2)由题意得AF→=λFB→,得y1=-λy2, 结合①②得y2= 2m 1-λ ,-λ 2m1-λ 2 =-1,从 而m2= (1-λ)2 4λ 。 因为|AB|= 1+m2|y1 -y2|= 1+m2· 4m2+4=2(1+m2),|EF|= 1+m2,所以S△ABE= 1 2|AB| ·|EF|= (1+m2)3。 设y=m2= 1 4 λ+ 1 λ-2 ,求导得y'= 1 4 1- 1 λ2 ,当λ∈ 13,12 时,y'<0,所以y 在 1 3 ,1 2 上单调递减,所以当λ=12 时,m2 取得最小值 1 8 ,从而可得Smin= 272 32 。 点评:在解决圆锥曲线的综合应用问题 时,函数法求最值(范围)问题就是构建关于 变量的目标函数,或通过函数的图像与性质, 或结合函数与导数的综合应用等,将问题转 化为求函数的最值(或值域),同学们在解决 此类问题时要注意自变量的取值范围。 三、构造基本不等式求最值(或范围)问题 构造基本不等式,合理配凑变量之和或 积为定值的条件,结合基本不等式的合理放 缩来处理圆锥曲线中的最值(或范围)问题。 例 3 已知双曲线C 的一条渐近线方 程是x-2y=0,且双曲线C 过点(22,1)。 (1)求双曲线C 的方程; (2)设双曲线C 的左、右顶点分别是A1、 A2,P 为C 上任意一点,直线PA1,PA2 分别 与直线l:x=1交于 M,N 两点,求|MN|的 最小值。 解析:(1)由渐近线方程可设双曲线 C 的方程为x2-4y2=k(k≠0),把点(22,1) 代入C:x2-4y2=k(k≠0),可得k=4。 所以双曲线C 的方程为 x2 4-y 2=1。 (2)由题意易知,当点P 在C 的右支上 时,|MN|取最小值。 由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),设P(x, y),根据双曲线的方程得 y x-2 · y x+2= 1 4 。 设直线PA1,PA2 的斜率分别为k1,k2 (k1,k2>0),则k1k2= 1 4 ,直线PA1 的方程 为y=k1(x+2),令x=1,得 M(1,3k1)。 直线 PA2 的方程为y=k2(x-2),令 x=1,得N(1,-k2)。 所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+ k2≥2 3k1k2= 3,当且仅当3k1=k2,即 k1= 3 6 ,k2= 3 2 时,等号成立。 所以|MN| 的最小值为 3。 点评:在解决圆锥曲线的综合应用问题 时,构造基本不等式求解此类问题的基本步 骤:第一步,把所求问题用代数方法转化为关 于某个变量的函数;第二步,变形,分离常数 转化为x+ a x (a>0)的形式,或分子分母同 除以某个式子后转化为x+ a x (a>0)的形 式,或先换元再转化为x+ a x (a>0)的形式; 第三步,运用基本不等式进行放缩与求解。 总之,解决圆锥曲线的综合应用问题的 关键在于挖掘题目条件与实质,从函数与方 程视角、不等式视角及平面几何视角等切 入,合理掌握多类技巧方法,或单一应用,或 多方法综合,实现最值(或范围)问题的求解 与突破,有效提升数学能力与培养数学核心 素养。 (责任编辑 王福华) 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月