内容正文:
同理,可得xN=
2k2-8
k2+4
。
由(1)知,当直线 AM
的斜率为1时,
N -
6
5
,-
4
5 ,所以若存在定点,则此点必
为P -
6
5
,0 。
证 明 如 下:因 为 kMP =
yM
xM+
6
5
=
k
2-8k2
1+4k2
+2
2-8k2
1+4k2
+
6
5
=
5k
4-4k2
,同 理 得 kPN =
5k
4-4k2
,所以直线 MN
过x
轴上的一定点
P -
6
5
,0 。
点评:以上解答中,通过紧扣“同等地位”
的两条直线AM 与AN 的斜率关系,巧妙地
运用“同理”思想,在求出xM=
2-8k2
1+4k2
后,只
要把k 换成-
1
k
,即可得到xN=
2k2-8
k2+4
,使
问题的解答显得干净利落、一气呵成,给人以
简洁优美之感。
基于此,熟练掌握并应用一些解析几何
中的“化繁为简”的技巧策略,关键是抓住解
析几何问题的本质与内涵,依托“通性通法”,
回归解析几何中的定义、基本方程与几何性
质,巧妙利用对应的技巧策略,以更加简捷明
快的方式来分析与处理问题,全面简化解题
过程,化繁为简,进而巧妙优化数学运算,提
升解题效益,提高数学能力,达到事半功倍的
效果。
(责任编辑 王福华)
■江苏省淮安市淮海中学 高 嘉
探索性问题,既是一类古老的题型,也是
一类创新应用的题型,是试卷命题中的一颗
常青树,也是备受各方关注的一类综合应用
问题。而有关圆锥曲线中依托探索性创设情
境的存在性问题,是每年高考数学试卷中的
一类常见题型,其以点的存在性、直线的存在
性及参数的存在性等方式巧妙设置,利用对
应要素的存在性探究来分析与求解,成为全
面考查数学基础知识、数学思想方法及数学
关键能力等方面的综合应用问题之一,常考
常新,创新新颖。
一、点的存在性问题
点的存在性,是基于圆锥曲线问题场景
中相关点是否存在,来合理构建与之对应的
应用场景,从而探究点的存在性。
例 1 (2024年江苏省南通市高考数
学模拟试卷)已知椭圆C:
x2
a2
+y
2
b2
=1(a>
b>0)的离心率为
1
2
,焦距为2。
(1)求椭圆C 的标准方程。
(2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆
C交于相异的A,B 两点,且kOA·kOB=-
3
4
。
①求证:△AOB 的面积为定值。
②试问:在椭圆C 上是否存在一点P,使
得四边形OAPB 为平行四边形? 若存在,求
出点P 横坐标的取值范围;若不存在,请说
明理由。
解析:(1)由题意知,焦距2c=2,则c=1。
又因为e=
c
a=
1
2
,所以a=2,所以b2=a2-
c2=3,故椭圆C的标准方程为
x2
4+
y2
3=1
。
(2)①联立
x2
4+
y2
3=1
,
y=kx+m, 消去y 整理得
41
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年12月
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0。
设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=64k2m2
-4(4k2+3)(4m2-12)
=48(4k2-m2+3)
>0,x1+x2=-
8km
3+4k2
,x1x2=
4m2-12
3+4k2
。
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2
+km(x1+x2)+m2=
3m2-12k2
3+4k2
。
因为kOA·kOB=
y1y2
x1x2
=-
3
4
,所以2m2
=3+4k2。
由弦 长 公 式 可 得|AB|= 1+k2 ·
(x1+x2)2-4x1x2=
24(1+k2)
3+4k2
。
因为坐标原点到直线l
的距离为d=
|m|
1+k2
,所以△AOB 的面积S=
1
2|AB|
·
d
=
1
2
· 24
(1+k2)
3+4k2
· |m|
1+k2
=
1
2
·
24m2
3+4k2
= 3,即△AOB 的面积为定值。
②假设椭圆上存在点 P,使得四边形
OAPB 为平行四边形,则OP→=OA→+OB→。
设点 P(x0,y0),则有 x0=x1+x2=
-
8km
3+4k2
,y0=y1+y2=
6m
3+4k2
。
又因为
x20
4+
y20
3=1
,所以 16k
2m2
(3+4k2)2
+
12m2
(3+4k2)2
=1,化简整理得4m2=3+4k2,与
2m2=3+4k2 矛盾。
故椭 圆 上 不 存 在 点 P,使 得 四 边 形
OAPB 为平行四边形。
点评:在解决圆锥曲线中的点的存在性
问题时,若采用“肯定顺推法”,则相应的解题
步骤为:①假设存在,通过点存在的假设,结
合待定系数法设点;②列出关系,根据题设条
件,合理构建对应的方程(组);③求解判断,
根据方 程(组)的 求 解 加 以 合 理 判 断,方 程
(组)有(或没有)实数解时对应的点存在(或
不存在)。在实际解题过程中,点的存在性问
题有时也可以采用反证法或验证法等来分析
与处理。
二、直线的存在性问题
直线的存在性,是基于圆锥曲线问题场
景中相关直线是否存在,串联起与该直线相
关的位置关系或应用场景,从而探究直线的
存在性。
例 2 (2024年福建省龙岩市高考数
学二模试卷)已知椭圆 K:
x2
a2
+y
2
b2
=1(a>
b>0)的左焦点和右焦点分别为F1(-2,0),
F2(2,0),其中过右焦点F2 的直线l交椭圆
K 于相异的M,N 两点,以线段 MF2 为直径
的圆C 与圆C1:x2+y2=8内切。
(1)求椭圆K 的标准方程。
(2)过点M 作ME⊥x 轴于点E,过点N
作NQ⊥x 轴于点Q,QM 与NE 交于点P,
试问:是否存在直线l,使得△PMN 的面积
等于
6
2
? 若存在,求出直线l的方程;若不存
在,请说明理由。
解析:(1)依题意,设|MF2|=2r,D 为线
段MF2 的中点,则|OD|=22-r,|MF1|=
42-2r。
所以2a=|MF1|+|MF2|=42-2r+
2r=42,即a=22。
又c=2,所以b2=a2-c2=8-4=4。
所以椭圆K 的标准方程为
x2
8+
y2
4=1
。
(2)依题意,当直线l的斜率为0或不存
在时,不符合题意。
当直线l的斜率不为0时,可设直线l
的方程为x=my+2(m≠0)。
联立
x=my+2,
x2
8+
y2
4=1
, 消去x 整理得(m2+
2)y2+4my-4=0。
易知Δ=16m2+16(m2+2)>0。
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
-
4m
m2+2
,y1y2=-
4
m2+2
。
因为 ME ⊥x
轴,NQ ⊥x 轴,所 以
E(x1,0),Q(x2,0),所 以 直 线 QM:y=
y1
x1-x2
(x-x2)。 ①
51
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年12月
同理,可得直线 NE:y=
y2
x2-x1
(x-
x1)。 ②
联立 ① ② 解 得 xP =
x1y2+x2y1
y1+y2
=
(my1+2)y2+(my2+2)y1
y1+y2
=2+
2my1y2
y1+y2
=4。
因为 ME∥NQ,ME 与直线x=4
平行,
所以S△PMN=
1
2|NQ|
·|xP-x1|
=
1
2|y2|
·
|4-x1|=
1
2|2y2-my1y2|
。
因为
my1y2
y1+y2
=1,所以S△PMN=
1
2|2y2-
(y1 +y2)|=
1
2|y1 -y2|=
1
2
·
(y1+y2)2-4y1y2 =
2 2m2+2
m2+2
=
6
2
,解
得m=± 2。
故存在直线l
的方程为x- 2y-2=0
或x+ 2y-2=0,使得△PMN 的面积等于
6
2
。
点评:在解决圆锥曲线中的直线的存在
性问题时,经常采用“肯定顺推法”来处理,使
得不确定的直线存在性问题明朗化。其相应
的解题步骤为:(1)假设存在,通过直线存在
的假设,结合待定系数法设直线;(2)列出关
系,根 据 题 设 条 件,合 理 构 建 对 应 的 方 程
(组);(3)求解判断,根据方程(组)的求解加
以合理判断,方程(组)有(或没有)实数解时
对应的直线存在(或不存在)。
三、参数的存在性问题
参数的存在性,是基于圆锥曲线问题场
景中相关参数是否存在,进而联系与参数相
关的曲线方程、代数式及关系式等对应的应
用场景,从而探究参数的存在性。
图1
例 3 (2024年重庆
十一中高三(上)第一次质
检数学试卷)如图1所示,
抛物线y2=2x 上有四个不
同的点A,B,M,N,其中直
线AB 与直线 MN 相交于
点(1,0),直线AN 过点(2,0)。
(1)记点A,B 的纵坐标分别为yA,yB,
求yAyB 的值。
(2)记直线 AN,BM 的斜率分别为k1,
k2,那么是否存在实数λ,使得关系式k2=
λk1 成立? 若存在,求出实数λ 的值;若不存
在,请说明理由。
解析:(1)设直线 AB
的方程为x=my
+1,联立
x=my+1,
y2=2x,
消去x 整理得y2-
2my-2=0,则yAyB=-2。
(2)设直线 MN
的方程为x=ny+1,同
(1)可求得yMyN=-2。
设直线 AN
的方程为x=ty+2,联立
x=ty+2,
y2=2x,
消去x 整理得y2-2ty-4=0,
所以yAyN=-4。
所以k1=
yN-yA
xN-xA
=
yN-yA
y2N
2-
y2A
2
=
2
yN+yA
,
同理可得k2=
2
yM+yB
,则λ=
k2
k1
=
yA+yN
-2
yA
+
-2
yN
=
yAyN
-2=
-4
-2=2
,所以存在λ=2
使得k2=
2k1。
点评:解决圆锥曲线中的参数的存在性
问题,基本上采用正向思维来分析,先假设满
足条件的参数值存在,再借助逻辑推理或数
学运算来推理分析与计算应用,若不出现矛
盾,并且得到了相应的参数值,即说明满足条
件的参数值存在;若在推理与计算中出现了
矛盾,即说明满足条件的参数值不存在。
其实,解决圆锥曲线中依托探索性创设
情境的存在性问题,对于点、直线或参数的存
在性,大体的解题思维方式类似,都是采用正
向思维,利用“肯定顺推法”来处理,具体根据
点、直线或参数的存在性分别设置对应的元
素信息,进而加以合理的逻辑推理或数学运
算,从而加以分析与判断。特殊情况下,也可
采用反证法或其他合适的方法来转化与应
用,实现问题中存在性的确定。
(责任编辑 王福华)
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年12月