05 解析几何中“化繁为简”的技巧-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■泗洪姜堰高级中学 顾雪强 中学解析几何是将几何图形置于平面直 角坐标系中,用方程思想来研究曲线,体现了 用代数的方法解决几何问题的优越性,但有 时运算量过大,或需繁杂的讨论,这些都会影 响解题的速度,甚至会中止解题的过程,只能 “望题兴叹”。因此,本文从以下几个方面探 索减少运算量的方法和技巧,合理简化解题 过程,优化思维方式。 一、回归定义,化繁为简 回归定义的实质是重新审视概念,并用 相应的概念解决问题,是一种朴素而又重要 的策略和思想方法。圆锥曲线的定义既是有 关圆锥曲线问题的出发点,又是新知识、新应 用、新拓展的生长点。回归定义本质,可以直 接利用圆锥曲线中的相关信息,解题更加直 接灵活,往往能收到事半功倍的效果。 例 1 设F1,F2 分别为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 = 1(a>0,b>0)的左焦点和右焦点,O 为坐标原 点,过左焦点F1 作直线F1P 与圆x2+y2=a2 切于点E,与双曲线的右支交于点P,且|OP|= 1 2|F1F2| ,则双曲线的离心率为( )。 A. 5 B.2 C. 3 D. 2 解析:依题意,因为|OP|= 1 2|F1F2| , 所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以点P 在以 F1F2 为直径的圆上,故有PF1⊥PF2。又因 为直线F1P 与圆x2+y2=a2 切于点E,所以 OE⊥F1P,于 是 OE∥PF2,且|PF2|= 2|OE|=2a,结合双曲线的定义有|PF1|= |PF2|+2a=4a。令双曲线的焦距为2c,由 |PF2|2 +|PF1|2 =|F1F2|2,得 (2a)2 + (4a)2=(2c)2,即c2=5a2,所以e2=5,所以 双曲线的离心率e= 5。故选A。 点评:本题巧妙运用圆的定义、直线与圆 相切的性质及双曲线的定义,建立|PF1|, |PF2|,|F1F2|的等量关系,从而快速求出双 曲线的实半轴长a 与半焦距c的关系,进而 求出双曲线的离心率,大大减少了运算量。 二、设而不求,整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点 弦问题,求解中点弦所在直线的方程,或弦的 中点的轨迹方程等问题,常常可以采用“点差 法”,通过设而不求,综合整体代换来分析与 求解。 例 2 已知直线l与抛物线C:y=2x2 相交于A,B 两点,若线段AB 的中点坐标为 (1,4),则直线l的方程为( )。 A.4x-y=0 B.2x-y=0 C.8x-y-6=0 D.x-2y+3=0 解析:依题意,设A(x1,y1),B(x2,y2)。 由 y1=2x21, y2=2x22, 得y1-y2=2(x21-x22)=2(x1 +x2)(x1-x2)。因为线段AB 的中点为(1, 4),所 以 x1-x2 ≠0,x1+x2=2。所 以 y1-y2 x1-x2 =2(x1+x2)=4,即直线l的斜率为 4,所以直线l的方程为y-4=4(x-1),即 4x-y=0。故选A。 点评:本题设出 A,B 两点的坐标,却不 具体求出A,B 两点的坐标,而是通过弦AB 的中点坐标巧妙地表达出直线AB 的斜率, 通过整体思维快速解决问题。 三、直观想象,数形结合 著名数学家华罗庚说过:“数与形,本是相 倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直观,形 少数时难入微。”在圆锥曲线的一些问题中,许 多对应的长度、代数式等都具有一定的几何意 义,挖掘题目中隐含的几何意义,采用数形结 合的思想方法,可解决一些相应的问题。 例 3 已知抛物线C:y2=4x 的焦点 为F,准线为l,与x 轴平行的直线与l和抛 21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 物线C 分别交于A,B 两点,且∠AFB=60°, 则|AB|=( )。 A.2 B.22 C.23 D.4 解析:依题意,由抛物线定义可知|BF| 图1 =|AB|,因为∠AFB=60°,所 以△ABF 为等边三角形,如图1 所示。所 以|AF|=|AB|= |BF|,∠BAF = 60°,所 以 ∠AFO=60°,其中准线l与x 轴 的交 点 为 P,则|PF|=2,故 |AF|= |PF| cos 60°=4 ,所以|AB| =4。故选D。 点评:由抛物线的性质可知△ABF 为等 边三角形,进而利用直观想象思维,通过数形 结合,从图形中的边角关系可推得|AB|= |AF|=2|PF|,并利用图形直观与三角形的 性质求得|AB|的值。 四、妙借向量,转化思维 由于解析几何自身具备代数与几何的特 征,而平面向量更是代数与几何的完美统一 体,因此借助平面向量“数”与“形”兼备的特 征,成为解决解析几何问题的一种重要技巧方 法,可以更加直接有效地解答解析几何问题。 例 4 已知直线l与抛物线y2=2px (p>0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点,OA ⊥OB,OH⊥AB 于点 H,若点 H 的坐标为 (2,2),则p 的值为( )。 A. 3 2 B.2 C. 5 2 D.3 解析:因为 H(2,2),所以kOH= 2-0 2-0= 1。又因为OH⊥AB,所以kAB·kOH=-1, 所以kAB=-1,所以直线AB 的方程为y-2 =-(x-2),即y=-x+4。设A(x1,y1), B(x2,y2),联立 y=-x+4, y2=2px, 消去x 整理得 1 2py 2+y-4=0,Δ=1+ 8 p >0,y1y2= -8p。所以 x1x2= 1 2py 2 1· 1 2py 2 2= 1 4p2 · (y1y2)2= 1 4p2 ·(-8p)2=16。又因为 OA ⊥OB,所以OA→·OB→=0,所以x1x2+y1y2 =16-8p=0,所以p=2。故选B。 点评:本题通过相关向量坐标的确定,把 条件OA⊥OB 转化为OA→·OB→=0,从而实 现“形”与“数”之间的巧妙转化,引入平面向 量加以合理运算,从而解决圆锥曲线中的相 关应用问题,依托“数”与“形”的巧妙联系,合 理转化,简化数学运算。 五、巧用同理,合理推理 在数学解题中,接触到“同等地位”的两 者关系时,就不必费力费时地去推理、去运 算。若能巧妙地运用好“同理”思想,合理加 以类比与推理,常会对问题的解决起到意想 不到的效果。 例 5 已知椭圆C:x 2 4+y 2=1的左顶 点为 A,过 A 作两条 互 相 垂 直 的 弦 AM, AN,交椭圆C 于相异的两点M,N。 (1)当直线AM 的斜率为1时,试确定点 M 的坐标。 (2)当 直 线 AM 的 斜 率 变 化 时,直 线 MN 是否过x 轴上的一定点? 若定点存在, 求出该定点的坐标;若定点不存在,请说明理 由。 解析:(1)依题意可知,点A(-2,0),而 直线AM 的斜率为1,则直线AM 的方程为 y=x+2。 联立 y=x+2, x2 4+y 2=1, 消去y 整理得5x2+ 16x+12=0,解得x1=-2,x2=- 6 5 ,所以 点 M - 6 5 ,4 5 。 (2)设直线AM 的斜率为k,则直线AM 的方程为y=k(x+2)。 联立 y=k(x+2), x2 4+y 2=1, 消去y 整理得(1+ 4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,则xA+xM= - 16k2 1+4k2 ,又xA=-2,则xM=- 16k2 1+4k2 - xA=2- 16k2 1+4k2 = 2-8k2 1+4k2 。 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 同理,可得xN= 2k2-8 k2+4 。 由(1)知,当直线 AM 的斜率为1时, N - 6 5 ,- 4 5 ,所以若存在定点,则此点必 为P - 6 5 ,0 。 证 明 如 下:因 为 kMP = yM xM+ 6 5 = k 2-8k2 1+4k2 +2 2-8k2 1+4k2 + 6 5 = 5k 4-4k2 ,同 理 得 kPN = 5k 4-4k2 ,所以直线 MN 过x 轴上的一定点 P - 6 5 ,0 。 点评:以上解答中,通过紧扣“同等地位” 的两条直线AM 与AN 的斜率关系,巧妙地 运用“同理”思想,在求出xM= 2-8k2 1+4k2 后,只 要把k 换成- 1 k ,即可得到xN= 2k2-8 k2+4 ,使 问题的解答显得干净利落、一气呵成,给人以 简洁优美之感。 基于此,熟练掌握并应用一些解析几何 中的“化繁为简”的技巧策略,关键是抓住解 析几何问题的本质与内涵,依托“通性通法”, 回归解析几何中的定义、基本方程与几何性 质,巧妙利用对应的技巧策略,以更加简捷明 快的方式来分析与处理问题,全面简化解题 过程,化繁为简,进而巧妙优化数学运算,提 升解题效益,提高数学能力,达到事半功倍的 效果。 (责任编辑 王福华) ■江苏省淮安市淮海中学 高 嘉 探索性问题,既是一类古老的题型,也是 一类创新应用的题型,是试卷命题中的一颗 常青树,也是备受各方关注的一类综合应用 问题。而有关圆锥曲线中依托探索性创设情 境的存在性问题,是每年高考数学试卷中的 一类常见题型,其以点的存在性、直线的存在 性及参数的存在性等方式巧妙设置,利用对 应要素的存在性探究来分析与求解,成为全 面考查数学基础知识、数学思想方法及数学 关键能力等方面的综合应用问题之一,常考 常新,创新新颖。 一、点的存在性问题 点的存在性,是基于圆锥曲线问题场景 中相关点是否存在,来合理构建与之对应的 应用场景,从而探究点的存在性。 例 1 (2024年江苏省南通市高考数 学模拟试卷)已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的离心率为 1 2 ,焦距为2。 (1)求椭圆C 的标准方程。 (2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆 C交于相异的A,B 两点,且kOA·kOB=- 3 4 。 ①求证:△AOB 的面积为定值。 ②试问:在椭圆C 上是否存在一点P,使 得四边形OAPB 为平行四边形? 若存在,求 出点P 横坐标的取值范围;若不存在,请说 明理由。 解析:(1)由题意知,焦距2c=2,则c=1。 又因为e= c a= 1 2 ,所以a=2,所以b2=a2- c2=3,故椭圆C的标准方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)①联立 x2 4+ y2 3=1 , y=kx+m, 消去y 整理得 41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月