02 浅谈直线与圆锥曲线的位置关系-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■江西省金太阳教育研究院 夏华金 直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线 版块的重点和难点,不仅体现在繁杂的计算 上,还体现在灵活的思维上,是高考考查数学 运算、逻辑推理与数学抽象等核心素养的重 要载体。本文根据圆锥曲线的类型,结合例 题探究直线与圆锥曲线的位置关系。 一、直线与椭圆的位置关系 例 1 已知直线l:x=m(y-3)与曲 线C:x= 3 2 · 4-y2 有两个公共点,则 m 的取值范围是( )。 A.- 15 3 ,15 3 B.- 153 ,0 􀭤􀭥 􀪁􀪁 C.- 15 5 ,0 D.- 155 ,0 􀭤􀭥 􀪁􀪁 解析:由x= 3 2 · 4-y2,得x2= 3 4 (4 -y2)(x≥0),即 y2 4+ x2 3=1 (x≥0),所以曲 线C 为椭圆y 2 4+ x2 3=1 的右半部分。当m= 0时,直线l:x=0与曲线C 有两个公共点; 当m ≠ 0时,直线l:y= 1 mx+3 ,令1 m=k , 将y=kx+3代入 y2 4+ x2 3=1 ,得(3k2+4)x2 +18kx+15=0,则Δ=(18k)2-60(3k2+4) 图1 >0,得k2> 5 3 ,则m2< 3 5 ,由图 1 可 知, 1 m <0 ,所 以 m ∈ - 15 5 ,0 。综上可得,m 的取 值范围是 - 15 5 ,0 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。故选D。 评注:直线与椭圆有两个公共点意味着 直线与椭圆相交,本来可以通过联立方程后 借助判别式解决本题,但考虑到曲线C 并不 是一个完整的椭圆,所以借助等价转化知曲 线C 只是椭圆y 2 4+ x2 3=1 的右半部分,由图 可知斜率必然不会大于零,再结合判别式即 可求得m 的取值范围。 二、直线与抛物线的位置关系 例 2 已知A(6,m+2),B(24,m+8) 是抛物线C:y2=2px(p>1)上的两点。 (1)求抛物线C 的准线方程; (2)若直线y=kx+t(k≠0)经过抛物线 C 的焦点,且与抛物线C 交于P,Q 两点,求 |PQ|+k2 的最小值。 解析:(1)因为A(6,m+2),B(24,m+ 8)是抛物线C:y2=2px(p>1)上的两点,所 以 (m+2)2=12p, (m+8)2=48p, 则 (m+8)2 (m+2)2 =4,整理得 m2=16,解得m=±4。 当m=-4时,12p=(m+2)2=4,解得 p= 1 3<1 ,不合题意; 当m=4时,12p=(m+2)2=36,解得 p=3>1。 所以抛物线C 的准线方程为x=- 3 2 。 (2)由(1)知抛物线C 的焦点为 32 ,0 , 联立 y2=6x, y=kx- 3 2 , 消去y 整理得k2x2- (3k2+6)x+ 9 4k 2=0。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= 3k2+6 k2 , 所以|PQ|=x1+x2+p= 3k2+6 k2 + 3=6+ 6 k2 。 所以|PQ|+k2=6+ 6 k2 +k2≥6+26, 当且仅当 6 k2 =k2,即k2= 6时,等号成立。 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月 所以|PQ|+k2 的最小值为6+26。 评注:本题涉及了直线与抛物线的弦长 问题,可 以 套 用 的 弦 长 公 式 有 很 多,例 如: |PQ|= 1+k2|x1 -x2|= 1+k2 · (x1+x2)2-4x1x2,或|PQ|= 1+ 1 k2 · |y1-y2|= 1+ 1 k2 (y1+y2)2-4y1y2。 另外,由于直线经过抛物线的焦点,所以还可 以使用抛物线的焦点弦公式(本题解析使用 的正是此公式)。相对于椭圆与双曲线,抛物 线的焦点弦的弦长问题比较特殊,它有着得 天独厚的优势,焦点弦公式显然比常见的弦 长公式更简单,计算量也小了很多,所以在选 择弦长公式的时候,若遇到直线经过抛物线 的焦点,应该优先使用焦点弦公式。 三、直线与双曲线的位置关系 例 3 已知双曲线 M 过点(2,26), 它的渐近线方程为y=± 3x。 (1)求双曲线 M 的方程,并判定是否存 在直线l,使得直线l与双曲线M 交于A,B 两点,且弦AB 的中点为P(1,2)。若存在, 求直线l的斜率;若不存在,请说明理由。 (2)若直线y=x+m(m>3)与双曲线 M 交于C,D 两点,且|CD|为整数,求m 的 最小值。 解析:(1)因为双曲线 M 的渐近线方程 为y=± 3x,所以可设双曲线 M 的方程为 y2-3x2=λ(λ≠0)。 因为双曲线 M 过点(2,26),所以λ= 12,所以双曲线 M 的方程为y 2 12- x2 4=1 。 方法1:假设存在直线l,设A,B 两点的 坐 标 分 别 为 (x1,y1),(x2,y2),则 有 y21 12- x21 4=1 , y22 12- x22 4=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 两式相减得(y1-y2)(y1+y2) -3(x1-x2)(x1+x2)=0, 依题意可得 x1+x2=2×1=2, y1+y2=2×2=4, 所以kl= y1-y2 x1-x2 = 3 2 。 因为双曲线 M 的渐近线 方 程 为y= ± a bx=± 3x ,又0< 3 2< 3 , 所以直线l 与双曲线M 不相交,故不存在直线l。 方法2:假设存在直线l,则l的斜率一 定存在,设方程为y=k(x-1)+2,A,B 两 点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。 联立 y=kx-k+2, y2-3x2-12=0, 消去y 整理得 (k2-3)x2+2k(2-k)x+(2-k)2-12= 0。 ① 由弦AB 的中点为P(1,2),则x1+x2= 2k(k-2) k2-3 =2,解得k= 3 2 。 此时方程①化简 为- 3 4x 2+ 3 2x- 47 4=0 ,Δ<0,故不存在这 样的直线l。 (2)将y=x+m 代入 y2 12- x2 4=1 ,化简 整理得2x2-2mx+12-m2=0。 设C(x3,y3),D(x4,y4),则x3+x4= m,x3x4= 12-m2 2 ,Δ=4m2-8(12-m2)= 12(m2-8)>0。 由弦 长 公 式 得|CD|= 1+k2 · (x3+x4)2-4x3x4 = 1+k2 Δ |a|= 2 · 12(m2-8) 2 = 6 (m2-8)。 因为m>3,所以6(m2-8)>6,又|CD| 为整数,所以当6(m2-8)=9(m>3),即 m= 38 2 时,|CD|取得最小值3,故 m 的最 小值为 38 2 。 评注:除了珠联璧合法(联立方程、韦达 定理),还可以借助点差法解决直线与圆锥曲 线的问题,尤其是中点弦问题。但是对于非 全封闭的圆锥曲线(双曲线与抛物线),仅仅 依靠点差法还是不够的,还需要再借助联立 方程,根据判别式来一锤定音,或者比较所求 直线的斜率与渐近线的斜率的大小(仅适用 于双曲线)来分析与求解。 (责任编辑 王福华) 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月