01 适当拓展结论 优化解题过程-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■湖南省郴州市第二中学 刘 超 速度与信度是同学们解题追求的两项重 要指标,要想达成快速准确的解题目标,需要 平时多积累解题方法与记忆重要结论,争取 在解答小题时获得优势,在解答大题时,也可 利用这些结论开阔思路和验证结果。 一、椭圆与双曲线的离心率的求法 例 1 已知 F 是椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)的右焦点,A 是椭圆C 的上顶点, 射线AF 交椭圆C 于点B,且AF→=2FB→,则 椭圆C 的离心率为 。 图1 解法1:几何法。 如图1, 过B 分别作x 轴,y 轴的垂 线,垂足分别为 E,D。因为 AF→=2FB→,所以|OF||BD|= 2 3 , |BE| |AO|= 1 2 。又因为|OF|= c,|OA|=b,所以|BD|= 3 2c ,|BE|= 1 2b , 故点B 的坐标为 32c ,- 1 2b ,代入x 2 a2 +y 2 b2 =1,得 9c2 4a2 + 1 4=1 ,即c 2 a2 = 1 3 ,所以椭圆C 的离心率e= 3 3 。 解法2:公式法。 因为AB 是椭圆C 的焦 点弦,斜率k=-tan∠AFO=- b c ,AF→= 2FB→,所以椭圆 C 的离心率e= 1+k2 · λ-1 λ+1 = 1+ - b c 2 · 2-1 2+1 = 1 3e ,解得 椭圆C 的离心率e= 3 3 。 小结:借助平面几何中相似三角形对应 边成比例、三角形中的正弦定理和余弦定理、 圆锥曲线的概念等构造关于a,b,c的方程, 这是求圆锥曲线的离心率的重要途径。 椭圆 与双曲线的离心率的定义、变形表达式和特 定条件下的公式也可以直接应用。椭圆的离 心率e= c a= 1- b a 2 。 若焦点F 在x 轴 上,斜率为k 的弦AB 满足AF→=λFB→(λ>0 且λ≠1),则椭圆的离心率e= 1+k2 · λ-1 λ+1 。双 曲 线 的 离 心 率 e = c a = 1+ ba 2 。 若焦点F 在x 轴上,斜率为k 的弦AB 满足AF→=λFB→(λ>0且λ≠1),则 双曲线的离心率e= 1+k2· λ-1λ+1 。 二、椭圆与双曲线中的焦点三角形的性 质与应用 例 2 我们将焦点相同且离心率互为 倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”。 已知F1,F2 分别是一对“相关曲线”的左焦 点和右焦点,P 是这对“相关曲线”在第一象 限的交点,且∠F1PF2=60°,e1,e2 分别是椭 圆和双曲线的离心率,则双曲线的离心率 e2= ,∠PF2F1= 。 解析:设∠F1PF2=γ,椭圆的长轴长为 2a,短轴长为2b,双曲线的实轴长为2a',虚 图2 轴 长 为 2b'。如 图 2, 在 △PF1F2 中,由余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 -2|PF1||PF2|cos γ,配方 得|F1F2|2 = (|PF1|+ |PF2|)2-2|PF1||PF2|(1 +cos γ),即|2c|2=(2a)2-2|PF1||PF2|· (1+cos γ),故|PF1||PF2|= 2(a2-c2) 1+cos γ = 2b2 1+cos γ ,△PF1F2 的面积S= 1 2|PF1| · |PF2|sin γ== b2sin γ 1+cos γ=b 2tan γ 2 。 同理, 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月 利用双曲线的相关知识可得S= b'2 tan γ 2 。 将 γ=60°代入b2tan γ 2= b'2 tan γ 2 ,得b2=3b'2,则 a2-c2=3(c2-a'2),即a2+3a'2=4c2,所以 1 e21 + 3 e22 = 4,又e1e2=1,解得e1= 3 3 ,e2= 3。在 △PF1F2 中,设 ∠PF1F2 = α, ∠PF2F1=β,则β>α。由正弦定理得 |PF2| sin α = |PF1| sin β = |F1F2| sin γ ,由 比 例 性 质 可 得 |PF1|+|PF2| sin α+sin β = |F1F2| sin γ ,即 2a sin α+sin β = 2c sin γ ,所 以 e1 = sin γ sin α+sin β ,同 理 e2 = sin γ sin β-sin α 。 联 立 sin 60° sin α+sin β = 3 3 , sin 60° sin β-sin α= 3 ,解 得 sin β=1,所 以 ∠PF2F1=β=90°。 小结:设F1,F2 分别是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左焦点和右焦点,P 是C 上 的 一 点,∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β, ∠F1PF2 =γ,则 △PF1F2 的 面 积 S = b2tan γ 2 ,离心率e= sin(α+β) sin α+sin β 。设F1,F2 分别是双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的 左焦点和右焦点,P 是C 上的一点,∠PF1F2 =α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,则△PF1F2 的 面 积 S = b2 tan γ 2 ,离 心 率 e = sin(α+β) |sin α-sin β| 。推证上述两个结论后,便可 直接用于解题实践,从而达到“弯道超车”的 功效。 三、抛物线的焦点弦的性质与应用 例 3 (多 选 题)已 知 A(x1,y1), B(x2,y2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上两 个不同的点,且直线AB 过抛物线C 的焦点 F,|AB|的最小值为8,则下列结论正确的是 ( )。 A.x1x2=8 B.y1y2=-16 C. 1 |AF|+ 1 |BF|= 1 2 D.若 D 是 抛 物 线 的 准 线 上 一 点,则 ∠ADB 的最大值为90° 解析:设直线AB 的方程为x=my+ p 2 , 联立 x=my+ p 2 , y2=2px, 消去x 整理得y2-2pmy -p2=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-p2。由 弦长公式可得|AB|= 1+ 1 k2 |y1-y2|= (1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]=2p(m2+ 1),当m=0时,|AB|取最小值2p。又因为 |AB|的最小值为8,所以2p=8,y1y2= -p2=-16,故B正确。因为y21=8x1,y22= 8x2,所以y21y22=64x1x2,得x1x2=4,故 A 错误。于是 1 |AF|+ 1 |BF|= 1 x1+2 + 1 x2+2 = x1+x2+4 x1x2+2(x1+x2)+4 = x1+x2+4 4+2(x1+x2)+4 = 1 2 ,故C正确。因为以AB 为直径的圆与 抛物线的准线相切,所以点D 在以AB 为直 径的圆上或圆外,则∠ADB≤ 90°,故 D正 确。 故选BCD。 小结:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物 线C:y2=2px(p>0)上两个不同的点(A 在 第一象限),直线AB 的倾斜角为θ,且过抛物 线C 的焦点F,则有:①弦长|AB|=x1+x2 +p= 2p sin2θ ;②x1x2= p2 4 (定 值),y1y2= -p2(定值);③焦 半 径|AF|=x1+ p 2= p 1-cos θ ,|BF|=x2+ p 2= p 1+cos θ , 1 |AF| + 1 |BF|= 2 p (定值);④以AB 为直径的圆与 抛物线的准线相切。 (责任编辑 王福华) 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年12月