精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

闽侯一中2024-2025学年度第一学期高三数学12月月考卷 命题：周受萍 黄美琴 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，，，可以是（ ） A. ，，是空间中三个不同的平面 B. ，，是空间中三条不同的直线 C. ，是空间中两条不同的直线，是空间的平面 D. ，是空间中两条不同的直线，是空间的平面 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 10. 已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有两个零点 B. 函数有且仅有三个零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 在上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为，则的值为______． 13. 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 14. 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知分别为三角形三个内角的对边，且有. （1）求角A； （2）若为边上一点，且，求. 17. 某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 18. 已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程； （2）直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 19. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为，证明：的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闽侯一中2024-2025学年度第一学期高三数学12月月考卷 命题：周受萍 黄美琴 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】由，得，即，解得或， 所以或，所以， ， 所以. 故选：A. 2. 已知，若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，再根据纯虚数的定义，即实部为且虚部不为列式求解即可. 【详解】， 因为，且为纯虚数， 所以，解得. 故选：D 3. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 5. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，代入函数，得到，再利用不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为函数，所以， 即，解得， 所以， 当且仅当时取等号. 故选：A 6. 对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，，，可以是（ ） A. ，，是空间中三个不同的平面 B. ，，是空间中三条不同的直线 C. ，是空间中两条不同的直线，是空间的平面 D. ，是空间中两条不同的直线，是空间的平面 【答案】D 【解析】 【分析】由平面与平面，平面与直线，直线与直线的位置关系，分别判断每个选项即可． 【详解】对于A：若，，是空间中三个不同的平面，且，，则平面和平面的位置不确定，故A错误； 对于B：若，，是空间中三条不同的直线，且，，则直线和直线的位置不确定，故B错误； 对于C：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则直线和平面的关系为直线平面或直线平面，故C错误； 对于D：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则，故D正确， 故选：D． 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，， 可得，即， 所以，则，， 所以，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象可看出函数的周期，并由，可将函数方程求出，方程为，再求在闭区间上的值域，以及图形的变换“左加右减”即可知选项C是错误的，最后再求对称点. 【详解】对于A：由图可知：，故A正确， 由，知，因为，所以， 所以，即， 又因为，所以，所以函数为， 对于B：当时，，所以，故B错误， 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误， 对于D：将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 因为当时，， 可得到的图象关于点对称，D正确. 故选：AD. 10. 已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为等差数列，先求出，可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断; 对于选项C，先得出，从而得出，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和. 【详解】∵数列是等差数列，，公差为，，， . 当时，，故选项A错误； 当为偶数时，；当为奇数时，， 故，选项B正确； ，， ∴当为偶数时，； 当为奇数时，， ，选项C正确； ，， ，选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：此题考查等差数列的求和与分组并项求和法，解题的关键是对分奇数、偶数讨论求出，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有两个零点 B. 函数有且仅有三个零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：构造函数，根据题意求得，令即可求解后判断；对B：对求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断；对C：对x的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断；对D：根据B中所求函数单调性，即可求得函数值域. 【详解】令，则，故（为常数），，， . 令，解得或， 故函数有且仅有两个零点，选项A正确； ， ∴令得；令得， 在和上单调递增，在上单调递减. ，，， ∴存在，使得； 又，∴存在，使得； 当时，，∴不存在使得. 综上所述，有且仅有两个根，即有两个零点，故选项B错误； ，∴. 当时，，. 令，则， 故在上单调递增，，满足题意； 当时，也满足不等式. 综上所述，当时，不等式恒成立，故选项C正确； 由B知在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数在上的值域为，故选项D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题；其中解决问题的关键是能够构造函数，准确求出的解析式，属难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，依题意，解得. 故答案为： 13. 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 【答案】 ①. 0.24## ②. 0.36## 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得0分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 14. 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义可分别用和表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可. 【详解】，∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取BC中点为，连接， 在底面内的射影恰好是BC中点，平面ABC， 又平面， ， 又，， 平面 ，，平面， 又平面，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）BC中点为，连接，由且，证得平面，可证平面平面. （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， ，斜棱柱的高为， ， ， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知分别为三角形三个内角的对边，且有. （1）求角A； （2）若为边上一点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边化角、和角公式及辅助角公式求解即可. （2）解法一：运用正弦定理求解即可；解法二：运用向量线性表示证得即可. 【小问1详解】 由，有，. 即， 所以，因为,所以， 即:， 又因为，故. 【小问2详解】 解法一：设，则， 在△中，由正弦定理知，， 即， 化简得，，则， 即. 解法二：如图所示， 取中点，延长与的延长线交于点，连接， 由有，由， 设，则，即， 故，所以，即为中点. 又为中点，所以， 又，所以△为正三角形， 又平分，所以，所以. 17. 某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】（1） （2） （3）分布列为： 【解析】 【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解； （2）将代入回归方程即可得解； （3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 ， 则， 所以， 所以； 【小问2详解】 当时，， 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次； 【小问3详解】 可取， ，， ，， ， 所以分布列为 所以. 18. 已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程； （2）直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，12 【解析】 【分析】（1）设点，由题意列出等式，化简即可求得答案； （2）分别设直线的方程，求出点的坐标，即可得出直线的方程，继而求出H点坐标，从而求出的表达式，结合二次函数知识，即可得结论，并求得最大值. 【小问1详解】 由题意设点，由于， 故，整理得， 即的轨迹方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的斜率分别为，，且满足， 设直线的方程为，令，则可得，即， 直线，同理求得， 又直线的方程为， 令，得，即， 故 ， 当时，取到最大值12， 即存在最大值，最大值为12. 【点睛】易错点点睛：本题考查轨迹方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的探究最值是否存在问题，解答思路不困难，即表示出直线方程，求得坐标，进而求出的表达式，结合二次函数知识即可求解，但很容易出错，易错点在于计算较为复杂，计算量较大，。并且基本都是字母参数的运算，需要十分细心. 19. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为，证明：的前项和. 【答案】（1）由，得， 则在区间上单调递减，又， 当且时，，则的值域为， 所以，令，可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在数列. （2） （3）令，则， 可得在上单调递增，得到， 则，即， 可得，故， 而，可得，解得， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 【解析】 【分析】（1）由函数单调性和值域结合“数列”定义即可证明； （2）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （3）由已知得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，， 则，当且仅当时取等号， 则在区间上单调递减， 得到，即，故在区间上单调递增， 可得，得到，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $