专题02 整式的乘除（考点串讲，12个常考点+7种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 串讲02 整式的乘除 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 十二大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 【清单01】同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 考点透视 【清单02】幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 【清单03】积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【清单04】单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.   （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.   （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.   （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【清单05】单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【清单06】整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： . 【清单07】平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【清单08】完全平方公式  完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【清单09】同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 【要点归纳】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.          （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.          （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.          （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 【清单10】零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 即（a≠0） 【清单11】单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【要点归纳】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除； ③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的 组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 【清单12】整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【要点归纳】（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式 来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.  考点1 幂的运算 例1. 计算－10，以下结果正确的是(　A　) A. －10＝－1 C. －10＝1 B. －10＝0 D. －10无意义 A 考点透视 【变式1-1】[2024保定高碑店模拟]计算( m3)2· m4的过程如下： ①( m3)2· m4＝ m6· m4，② m6· m4＝ m10.步骤①，②分别表示的运算是(　A　) A. 幂的乘方，同底数幂相乘 B. 积的乘方，同底数幂相乘 C. 幂的乘方，乘法结合律 D. 乘法交换律，合并同类项 A 【变式1-2】 下列计算正确的是(　D　) A. ( a2 b )2＝ a2 b2 B. a6÷ a2＝ a3 C. (3 xy2)2＝6 x2 y4 D. (－ m )7÷(－ m )2＝－ m5 D 考点2 幂的运算的逆向运用 例2. 若 x ＋2 y －4＝0，则4 y ·2 x－2的值为(　A　) A. 4 C. 6 B. －4 D. 8 A 【变式2-1】 已知 a ＝3231， b ＝1641， c ＝821，则 a ， b ， c 的大小关系是(　D　) A. a ＞ b ＞ c C. c ＞ b ＞ a B. a ＞ c ＞ b D. b ＞ a ＞ c ∵ a ＝3231＝(25)31＝2155， b ＝1641＝(24)41＝2164， c ＝821＝(23)21＝263，263＜2155＜2164，∴ c ＜ a ＜ b .故选D. D 【解题技巧】 解答本题需要把 a ， b ， c 化成以2为底数的幂的形式，再进行大小比较. 【变式2-2】已知 a ， b ， c 为正整数，且满足2 a ×3 b ×4 c ＝384，则 a ＋ b ＋ c 的值不可能是(　D　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 D 【解题技巧】根据题意得2 a＋2 c ×3 b ＝27×3，∴ a ＋2 c ＝7， b ＝1.∵ a ， b ， c 为正整数，∴当 c ＝1时， a ＝5； 当 c ＝2时， a ＝3；当 c ＝3时， a ＝1.∴ a ＋ b ＋ c 的值不可能 为8. 考点3 整式的乘法 例3. [2024梧州月考]计算(－ m )·( m2－ mn )的结果，正确的是(　D　) A. m2＋ mn C. m2－ mn2 B. m3＋ m2 n D. － m3＋ m2 n D 【变式3-1】 [2024长沙雨花区月考]已知(2 x ＋1)( x －3)＝2 x2＋ px ＋ q ，则 p ， q 的值分别为(　D　) A. 5，3 C. －5，3 B. 5，－3 D. －5，－3 D 【解题技巧】(2 x ＋1)( x －3)＝2 x2－6 x ＋ x －3＝2 x2－5 x －3. ∵(2 x ＋1)( x －3)＝2 x2＋ px ＋ q ，∴ p ＝－5， q ＝－3，故选D. 【变式3-2】 [2023北京大兴区期末]若 x ＋ m 与 x2＋2 x －1的乘积中不含 x 的二次项，则实数 m 的值为 ⁠. 【解题技巧】( x ＋ m )( x2＋2 x －1)＝ x3＋2 x2－ x ＋ mx2＋2 mx － m ＝ x3＋(2＋ m ) x2－(1－2 m ) x － m .∵ x ＋ m 与 x2＋2 x －1的乘积中不 含 x 的二次项，∴2＋ m ＝0，解得 m ＝－2. －2　 【变式3-3】小刚同学计算一道整式乘法：(3 x ＋ a )·(2 x ＋3)，由于他抄错了多项式中 a 前面的符号，把“＋”写成“－”，得到的结果为6 x2＋ bx －6，则 a ＋ b ＝ ⁠. 7　 【解题技巧】由题意得(3 x － a )(2 x ＋3)＝6 x2＋ bx －6，∴6 x2－2 ax ＋9 x －3 a ＝6 x2＋ bx －6.∴6 x2＋(9－2 a ) x －3 a ＝6 x2＋ bx －6.∴－3 a ＝－6，9－2 a ＝ b . ∴ a ＝2， b ＝5. ∴ a ＋ b ＝7. 考点4 整式的除法 例4. [2024揭阳揭东区一模]计算－( a － b )3÷2( b － a )2的结果是(　A　) A. － ( a － b ) C. －2( a － b ) B. 2( a － b ) D. ( a － b ) 【解题技巧】－( a － b )3÷2( b － a )2＝－( a － b )3÷2( a － b )2 ＝－ ( a － b )，故选A. A 【变式4-1】. [2024达州月考]已知 A ＝2 x ， B 是多项式，在计算 B ＋ A 时，小 马虎同学把 B ＋ A 看成了 B ÷ A ，结果得 x2＋ x ，则 B ＋ A＝ ⁠. 【解题技巧】由题意得 B ÷ A ＝ x2＋ x ， ∴ B ＝2 x ( x2＋ x )＝2 x3＋2 x2.∴ B ＋ A ＝2 x3＋2 x2＋2 x . 2 x3＋2 x2＋2 x 　 【变式4-2】. 化简求值：[( x － y )2－ x (3 x －2 y )＋( x ＋ y )( x － y )]÷2 x ，其 中 x ＝1， y ＝－2. 【解】原式＝( x2－2 xy ＋ y2－3 x2＋2 xy ＋ x2－ y2)÷2 x ＝(－ x2)÷2 x ＝－ x . 当 x ＝1时，原式＝－ . 考点5 乘法公式 例5. 下列各式中，与(1－ a )(－ a －1)相等的是(　A　) A. a2－1 C. a2－2 a －1 B. a2－2 a ＋1 D. a2＋1 A 【变式5-1】已知 m ＋ n ＝5， mn ＝3，则 m2－ mn ＋ n2的值为(　A　) A. 16 C. 28 B. 22 D. 36 A 【变式5-2】先化简，再求值：(2 x ＋ y )2－(2 x ＋ y )(2 x － y )－2 y ( x ＋ y )，其中 x ＝ ， y ＝22 024. 【解】(2 x ＋ y )2－(2 x ＋ y )(2 x － y )－2 y ( x ＋ y )＝4 x2＋4 xy ＋ y2－(4 x2－ y2)－2 xy －2 y2＝4 x2＋4 xy ＋ y2－4 x2＋ y2－2 xy －2 y2＝2 xy . 当 x ＝ ， y ＝22 024时， 原式＝2× ×22 024＝1. 类型1 “数形结合”问题 1. 阅读材料：若 x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，求 x ， y 的值. 解：∵ x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，∴( x2－2 xy ＋ y2)＋( y2－8 y ＋16)＝0. ∴( x － y )2＋( y －4)2＝0.∴( x － y )2＝0，( y －4)2＝0.∴ y ＝4， x ＝4. 根据你的观察，探究下列问题： 题型剖析 已知△ ABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且满足 a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，求 c 的值. 【解】∵ a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，∴( a2－4 a ＋4)＋( b2－6 b ＋9)＝0. ∴( a －2)2＋( b －3)2＝0.∴ a －2＝0， b －3＝0. ∴ a ＝2， b ＝3.∴1＜ c ＜5.∵ c 为正整数，∴ c ＝2或3或4. 2. 数学课上，老师用如图①中的1张边长为 a 的正方形纸片 A ，1张边长为 b 的正方形纸片 B 和2张宽与长分别为 a 与 b 的长方形纸片 C ，拼成了如图②所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： (1)由图①和图②可以得到的等式为 ⁠ (用含 a ， b 的等式表示)； ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab＋ b2 (2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为(2 a ＋ b )( a ＋2 b )的大长方形，求需 A ， B ， C 三种纸片各多少张； 【解】(2 a ＋ b )( a ＋2 b )＝2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2＝2 a2＋5 ab ＋2 b2. ∴需纸片 A 2张，纸片 B 2张，纸片 C 5张. (3)如图③， S1， S2分别表示边长为 p ， q 的正方形的面积，且 A ， B ， C 三点在一条直线上， S1＋ S2＝20， p ＋ q ＝6，求图中阴影部分的面积. 【解】由题意得 p2＋ q2＝20， p ＋ q ＝6.∵( p ＋ q )2＝ p2＋ q2＋2 pq ＝62，∴2 pq ＝62－20＝16. ∴ pq ＝8.∴ S阴影＝ pq ×2＝ pq ＝8. 类型2 “将错就错”问题 3. 甲、乙两人共同计算一道整式：( x ＋ a )(2 x ＋ b )，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是 2 x2－7 x ＋3，乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果是 x2＋2 x －3. (1)求(－2 a ＋ b )( a ＋ b )的值； 【解】甲抄错了 a 的符号得到的计算结果为 ( x － a )·(2 x＋ b )＝2 x2＋(－2 a ＋ b ) x － ab ＝2 x2－7 x ＋3. ∴－2 a ＋ b ＝－7， ab ＝－3. 乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数得到的计算结果为 ( x ＋ a )·( x ＋ b )＝ x2＋( a ＋ b ) x ＋ ab ＝ x2＋2 x －3. ∴ a ＋ b ＝2， ab ＝－3. ∴解得 ∴(－2 a ＋ b )( a ＋ b )＝[(－2)×3－1](3－1)＝－7×2＝－14. (2)若整式中的 a 的符号不抄错，且 a ＝3，请计算这道题的正确结果. 【解】由(1)可知 b ＝－1.∴正确的计算结果为( x ＋3)(2x －1)＝2 x2＋5 x －3. 4. [2024长春宽城区模拟]两名同学将一个关于 x 的二次三项式 ax2＋ bx ＋ c 分解因式时，其中一名同学因看错了一次项系数而分解成2( x －1)( x －9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2( x －2)( x －4). (1)求原来的二次三项式； 【解】∵2( x －1)( x －9)＝2 x2－20 x ＋18， 2( x －2)( x －4)＝2 x2－12 x ＋16， ∴原来的二次三项式为2 x2－12 x ＋18. (2)将原来的二次三项式分解因式. 【解】2 x2－12 x ＋18＝2( x2－6 x ＋9)＝2( x －3)2. 类型3 “无关求值”问题 5. 已知将( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4)展开的结果不含 x3和 x2项.( m ， n 为常数) (1)求 m ， n 的值； 【解】( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4) ＝ x5－3 x4＋4 x3＋ mx3－3 mx2＋4 mx ＋ nx2－3 nx ＋4 n ＝ x5－3 x4＋(4＋m ) x3＋( n －3 m ) x2＋(4 m －3 n ) x ＋4 n . 由题意得解得 (2)在(1)的条件下，求( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)的值. 【解】( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)＝ m3＋ n3. 当 m ＝－4， n ＝－12时，原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792. 6. 已知代数式 A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2. (1)求3 A －(2 A ＋3 B )的值； 【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2， ∴3 A －(2 A ＋3 B )＝3 A －2 A －3 B ＝ A －3 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－3( x2－ xy ＋2) ＝2 x2＋5 xy －7 y －3－3 x2＋3 xy －6 ＝－ x2＋8 xy －7 y －9. (2)若 A －2 B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值. 【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2， ∴ A －2 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－2( x2－ xy ＋2) ＝2 x2＋5 xy －7 y －3－2 x2＋2 xy －4 ＝7 xy －7 y －7. ∵ A －2 B 的值与 x 的取值无关，∴7 y ＝0.∴ y ＝0. 类型4 “论证说理”问题 7. [2024厦门思明区月考]认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题. ①32－12＝8＝8×1， ②52－32＝16＝8×2， ③72－52＝24＝8×3，④92－72＝32＝8×4， … (1)请写出算式⑤： ⁠， 算式⑥： ⁠； 112－92＝40＝8×5　 132－112＝48＝8×6　 (2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的； 【解】两个连续奇数的平方差可表示为(2 n ＋3)2－(2 n＋1)2. ∴(2 n ＋3)2－(2 n ＋1)2＝(2 n ＋3－2 n －1)(2 n ＋3＋2 n ＋1) ＝2(4 n ＋4)＝8( n ＋1). ∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”这个规律是成立的. (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由. 【解】这个说法不成立，理由：两个连续偶数的平方差可表示为(2 n ＋2)2－(2 n )2. ∴(2 n ＋2)2－(2 n )2＝(2 n ＋2＋2 n )(2 n ＋2－2 n )＝(4 n ＋2)×2＝4(2 n ＋1). ∴两个连续偶数的平方差能被4整除，但不一定能被8整除.∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是不成立的. 8. 观察下列各式： 4×1×2＋1＝(1＋2)2； 4×2×3＋1＝(2＋3)2； 4×3×4＋1＝(3＋4)2； … (1)根据你发现的规律，写出4×2 024×2 025＋1可以是哪个数的平方？ 【解】4×2 024×2 025＋1＝(2 024＋2 025)2＝4 0492，即4×2 024×2 025＋1可以是4 049的平方. (2)试猜想第 n 个等式，并通过计算验证它是否成立. 【解】猜想第 n 个等式为4 n ( n ＋1)＋1＝(2 n ＋1)2. ∵4 n ( n ＋1)＋1＝4 n2＋4 n ＋1＝(2 n ＋1)2， ∴猜想的等式是成立的. 类型5 分类讨论思想 9. [2024杭州滨江区模拟]若 x2－4 xy － y2＝0( y ＞0)，则 ＝ ⁠. 2＋ 或2－ 　 类型6 数形结合思想 10. [2023北京石景山区期末]著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为 a ，宽为 b 的长方形拼成的正方形，其中 a ＞ b ＞0.根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 ⁠ ⁠. ( a ＋ b )2－4 ab ＝( a －b )2(答案不唯一)　  类型7 整体思想 11. [2024北京海淀区一模]已知2 x2＋ x －1＝0，求代数式(2 x＋1)2－2( x －3)的值. 【解】(2 x ＋1)2－2( x －3)＝4 x2＋4 x ＋1－2 x ＋6 ＝4 x2＋2 x ＋7. ∵2 x2＋ x －1＝0，∴2 x2＋ x ＝1. ∴4 x2＋2 x ＝2(2 x2＋ x )＝2. ∴原式＝2＋7＝9. 易错易混 易错点一：忽略指数为1的幂或弄错符号导致错误 易错点二：把底数互为相反数的幂化为同底数幂时出错 易错点三：计算多项式的乘法时漏乘 易错点四：进行乘除运算时弄错运算顺序 1.（2023秋•浦东新区期末）若(x+2)(x-3)=x2+px+q,则p的值为( ____ ) A.-5 B.-1 C.5 D.1 【解析】解：∵(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6， (x+2)(x-3)=x2+px+q, ∴p=-1，故选：B． B 押题预测 2.（2023秋•浦东新区校级期末）计算：(3a6x3-6ax5)÷(-3ax3)=　　． 【解析】解：(3a6x3-6ax5)÷(-3ax3)=3a6x3÷(-3ax3)-6ax5÷(-3ax3)=-a5+2x2． 故答案为：-a5+2x2 3.（2023秋•杨浦区期末）计算： = ____ 【解析】解：原式=-22023×( )2020=-22020×( )2020×23 =-1×8=-8． 故答案为：-8． -8 4.（2023秋•浦东新区期末）计算：(2x+3y-z)(2x-3y+z) 【解析】解：原式=4x2-(3y-z)2=4x3-9y2+6yz-z2． 5.（2023秋•普陀区期末）计算：(a+1)2-(a+4)(a-4)． 【解析】解：原式=a2+2a+1-a2+16=2a+17． 6.（2023秋•杨浦区期末）将完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值． 解：因为a+b=3，ab=1， 所以(a+b)2=9，2ab=2． 所以a2+2ab+b2=9，2ab=2． 得a2+b2=7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x+y=8，x2+y2=50，则xy的值为 ____ ； (2)①若(9-x)x=14，则(9-x)2+x2= ____ ； ②若(5-x)(7+x)=10，则(5-x)2+(7+x)2= _____ ； 7 53 124 (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，两正方形的面积和S1+S2=21，求图中阴影部分的面积． (3)设AC=x,BC=y, ∵ ， ∴x2+y2=21， ∵AB=AC+BC=6，∴x+y=3，∴(x+y)2=36， x2+y2+2xy=36， 21+2xy=36， 2xy=36-21， 2xy=15， ， ∴阴影部分的面积为： ．