甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期一模诊断考试数学试题

绝密★启用前 2024年甘肃省西北师大附中高三一模诊断考试试卷 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数是方程的一个根，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 2．设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．2024年的五一劳动节小长假，某公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，天水麻辣烫火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（　　） A．1800 B．1080 C．720 D．360 5．设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 6．以下四个命题，其中正确的个数有（ ） ①经验回归直线必过样本中心点； ②在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位； ③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀； ④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）． A．2个 B．4个 C．3个 D．1个 7．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9．为深人学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：，.则下列说法正确的有（    ） A．中位数为90，平均数为89 B．分位数为93 C．极差为30，标准差为58 D．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 10．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 11．已知直线及圆，则（    ） A．直线过定点 B．直线截圆所得弦长最小值为2 C．存在，使得直线与圆相切 D．存在，使得圆关于直线对称 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数，则不等式的解集为 . 13．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为 立方尺（注：1丈尺） 14．已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的值可能是3；    ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减；    ④图象的对称轴可能是. 其中所有正确结论的序号是 . 四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 已知函数的最小正周期为． (1)求的值，并写出的对称轴方程； (2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围． 16． （本小题满分15分） 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积是，，求的周长． 17． （本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面，，.    (1)求点到平面的距离； (2)设点为线段的中点，求二面角的正弦值. 18． （本小题满分17分） 已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 19． （本小题满分17分） 设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司【师大附中一模诊断考试·数学·第 1 页】 学科网（北京）股份有限公司 2024年甘肃省西北师大附中高三一模诊断考试参考答案 数 学 一、二、选择题（共 58 分,1-8题为单选,每题 5 分;9-11 题为多选,全对 6 分,选对但不全得3分，不选或错选得0分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D B D A C B ABD AC ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.【答案】 【解析】因为，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 13.【答案】3892 【解析】按如图所示方式取截正四棱锥， 分别为上、下底面正方形的中心，分别为的中点， 正四棱锥的下底边长为二丈，即尺， 高三丈，即尺； 截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺， 所以， 所以由可知，有， 解得， 所以该正四棱台的体积是（立方尺）． 故答案为：3892. 14.【答案】①②③ 【解析】函数， ， ， 函数在区间上有且仅有3个对称中心， 则， ，即的取值范围是， 而，故①正确； 周期，由， 得， ， 的最小正周期可能是，故②正确； ， ， ， ， 又， 在区间上单调递减，故③正确； 当，即， 又， ， 当时，， 当时，，故④不正确. 故答案为：①②③. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】（1） ． ，． 故 令，解得， 故对称轴方程为： （2）由得， ． ，，,． ，， ， 16.【解析】（1）由，可得到， 即． 因为，所以，故． （2）由，可得， 因为，所以，则． 由余弦定理得，即， 所以，故的周长是． 17.【解析】（1）因为平面，又平面，平面， 所以， 又，由勾股定理得， 又， 所以，故， 因为，平面， 所以平面，则为点到平面的距离， 故点到平面的距离为2. （2）在平面内过点作的平行线，则， 以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由勾股定理得：， 则， ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 所以， 记二面角的大小为，则， 故二面角的正弦值为. 18.【解析】（1）因为的离心率为，所以， 所以，渐近线方程， 因为点到一条渐近线距离为，所以，解得， 所以的方程为. （2）直线与圆相交，理由如下： 设，则， 因为点在以为直径的圆上，所以， 所以， 即， 由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立， 消去得，，因为直线与都有除以外的公共点， 所以，所以，即， 同理当，. ， 所以直线方程为：， 令得，， 即直线经过定点. 因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交. 19.【解析】（1）一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且， 所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需， 而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$