第七章 相交线与平行线（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第7章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．如果两个角相等，那么它们是直角 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．相等的角为对顶角 4．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 9．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，木工师傅用角尺在工件上画出两条平行线段，．请你给出能够使这两条线段，平行的数学原理 ． 12．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 13．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么∠2的度数为 ． 14．如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 15．已知∠A的两边与∠B的两边分别平行，且∠A的度数是78°，则∠B的度数为 . 16．在一次主题灯光秀展演中，有两条笔直且平行的景观道、上放置、两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转 秒时，．    三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，已知，垂足分别为D、F，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：（已知）， （________）， ∴（________）， （________）． 又（已知）， （________）， ∴________（________）， （________）． 18．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 19．（8分）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 20．（8分）如图所示，已知，平分交于点E，，求证：． 21．（8分）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是20，求四边形的面积． 22．（10分）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． 图示 结论       说理 ， （依据） ， ． ． 即． ， ． ， ． ． 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为： 　． (1)情况①说理过程中的“依据”是： ； (2)请补全情况②的发现和说理过程； (3)请补全小颖的结论． 23．（10分）如图，已知点A在上，点P，Q在上，．    (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 24．（12分）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 25．（14分）如图，将一个含的直角三角板放置在直尺上，使直尺与三角板的边BC重合，再将一个含的直角三角板放置在直尺上，使得三角板的最长边在所在直线l上．其中，，． (1)如图1，当点E与点B重合时，与直尺上沿交于点H，求的度数； (2)如图2，与直尺上沿交于点G，连接，在三角板沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，使得与三角板的一条边平行，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由； (3)如图3，小明将直角三角板换成一般三角形卡片，其中．在三角形卡片沿直线l运动的过程中，请直接写出当与满足怎样的数量关系时，与三角板的一条边平行． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 2．如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等，由此可直接得出答案． 【详解】， ． ， ． 故选A． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．如果两个角相等，那么它们是直角 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．相等的角为对顶角 【答案】C 【详解】解：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 4．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质；三角形的内角和得，由对顶角得，由平行线的性质即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ； 故选：C． 5．如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了邻补角、角平分线等知识，根据邻补角求出，由角平分线求出，根据邻补角即可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：D 6．如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，不可以得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、正确作出辅助线是解题关键． 过点P作，结合题意可知，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”证得，，然后根据和的度数计算即可． 【详解】解：过点P作，如下图，    ∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 8．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 9．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，木工师傅用角尺在工件上画出两条平行线段，．请你给出能够使这两条线段，平行的数学原理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据同位角相等，两直线平行求解即可． 【详解】解：由题意可得，这两条垂线平行的理由是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离． 因为， 所以点A到直线的距离是4， 故答案为：． 13．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么∠2的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】如图（见解析），先根据余角的定义可得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 14．如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 15．已知∠A的两边与∠B的两边分别平行，且∠A的度数是78°，则∠B的度数为 . 【答案】78°或102° 【分析】根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当∠B的两边与∠A的两边如图1所示时，∠B=∠A=78°； 当∠B的两边与∠A的两边如图2所示时，∠B=180°-∠A=180°-78°=102°； 故答案为：78°或102°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 16．在一次主题灯光秀展演中，有两条笔直且平行的景观道、上放置、两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转 秒时，．    【答案】6或 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用， 设射线的转动时间为t，由题意得：，当时，则可分：①当射线旋转至过程中时，则有时，②当射线旋转至返回时，即，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可得：光线最长旋转时间为：（秒）， 设射线的转动时间为t，由题意得：， 当时，则可分： ①当射线旋转至过程中时，如图，    ∵，， ∴ ， 即， 解得：； ②当射线旋转至返回时，即，如图，    ∴， ∵，， ∴ ， 即， 解得：； 综上所述：当射线旋转的时间为秒或秒时，； 故答案为：或． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，已知，垂足分别为D、F，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：（已知）， （________）， ∴（________）， （________）． 又（已知）， （________）， ∴________（________）， （________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行 ；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等等知识点，根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识作答即可，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；   ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 18．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【答案】(1)图见解析，平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． (2) 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系． 【详解】（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 19．（8分）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 20．（8分）如图所示，已知，平分交于点E，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，再根据题意得出，即可判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴． 21．（8分）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是20，求四边形的面积． 【答案】(1)125°，7.5 (2)60 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，进行线段的和运算，即可作答． （2）作平行交于点D．根据平移性质，得四边形的面积=三角形的面积， 【详解】（1）解：∵沿着方向平移至， ∴． ∵， ∴． ∵平移的距离是边的1.5倍， ∴， ∴． （2）解：作平行交于点D． ∵平移的距离是边的倍， ∴四边形的面积=三角形的面积， ∴四边形的面积为． 22．（10分）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． 图示 结论       说理 ， （依据） ， ． ． 即． ， ． ， ． ． 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为： 　． (1)情况①说理过程中的“依据”是： ； (2)请补全情况②的发现和说理过程； (3)请补全小颖的结论． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等； (2)，理由见解析； (3)相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． （1）由平行的性质“两直线平行，同位角相等”即可得到答案； （2）由“两直线平行，同位角相等”可得，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，进而得到结论； （3）根据①②③中的结论即可得到结果． 【详解】（1）解：， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， 即． 故答案为：两直线平行，同位角相等； （2）发现： ， ， ， ， ， 即； （3）由①③可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，由②可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角互补． 故答案为：相等或互补． 23．（10分）如图，已知点A在上，点P，Q在上，．    (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查平行线的判定与性质综合，对顶角相等，解题的关键是熟知平行线的判定定理与性质定理． （1）根据，结合对顶角相等可得，推出，得到，根据，得到，由，推出，推出，即可证明结论； （2）根据同旁内角互补可判定，结合可求解的度数，根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 24．（12分）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理可得，； （3）解：如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 25．（14分）如图，将一个含的直角三角板放置在直尺上，使直尺与三角板的边BC重合，再将一个含的直角三角板放置在直尺上，使得三角板的最长边在所在直线l上．其中，，． (1)如图1，当点E与点B重合时，与直尺上沿交于点H，求的度数； (2)如图2，与直尺上沿交于点G，连接，在三角板沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，使得与三角板的一条边平行，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由； (3)如图3，小明将直角三角板换成一般三角形卡片，其中．在三角形卡片沿直线l运动的过程中，请直接写出当与满足怎样的数量关系时，与三角板的一条边平行． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质： （1）利用角的和差关系结合平行线的性质进行求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）同法（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）①当时，如图，过点作， 则：， ∴，， ∴， ∴； ②当时，如图：过点作， 则：， ∴，， ∴， ∴； 综上：或； （3）①当时，如图，过点作， 则：， ∴，， ∴， ∴； ②当时，如图：过点作， 则：， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$