第七章 相交线与平行线（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第7章 相交线与平行线（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，下列说法错误的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 2．如图，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是假命题的是（ ） A．不在同一直线上的三点确定一个圆 B．正六边形的内角和是720° C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 4．如图，下列不能判定DF∥AC的条件是（　　）    A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠A+∠ADF＝180° 5．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 7．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 8．如图，，垂足为是线段上一点，连接的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 12．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，若，则点到直线的距离为 ． 13．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 14．如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角的4倍少30度，则角α的度数为 ． 15．已知，平分，，，则 ． 16．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，已知，，，求的度数． 18．（8分）（1）①过点P作OB的平行线MN； ②过点P作OA的垂线PQ，垂足为Q. （2）如图，在每个小正方形边长为1的方格之中，三角形ABC的顶点在方格纸格点上，将三角形ABC的点A平移到点M处， ①请在图中画出三角形ABC平移后的三角形MNP． ②在图中过点C作出线段AB的垂线段CD，试求三角形ABC的面积. 19．（8分）如图，点在直线上，射线、分别平分、． (1)试判断、的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求证：． 20．（8分）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 21．（8分）如图，已知，．现有3个条件：①；②；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 ；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 22．（10分）阅读下列材料，回答问题． 学校购进一批篮球架，篮球架安装要求如下：支架平行地面；支架． 任务：通过测量验证篮球架安装是否合格． 工具：一把梯子（足够长）、量角器． 素材1：如图1是篮球架的示意图，小敏借助梯子以及量角器测量验证篮球架安装是合格的，其测量数据及验证过程如下： 测量数据：，，． 验证过程：如图2，过点作． 根据“两直线平行，同旁错角互补”， 所以 ① ． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以（ ② ）． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以 ③ ④ ． 因为． 所以． 所以篮球架安装是合格的．    素材2：如图1，小明测得：，，． (1)补全小敏求解过程中①②③④所缺的内容； (2)根据素材2，请写出当满足什么关系时，篮球架安装合格？并说明理由． 23．（10分）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板一周，试探究等于多少度时，？并简要说明理由． 24．（12分）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 25．（14分）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 相交线与平行线（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，下列说法错误的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【详解】A．与是同旁内角，说法正确，不符合题意； B．与是内错角，说法正确，不符合题意； C．与不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误，符合题意； D．与是同位角，说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由邻补角的定义，可求得的度数，又根据两直线平行，同位角相等即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，邻补角的定义．掌握平行线的性质是解题的关键． 3．下列命题是假命题的是（ ） A．不在同一直线上的三点确定一个圆 B．正六边形的内角和是720° C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【详解】试题分析：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，所以A选项为真命题； B、正六边形的内角和=（6-2）×180°=720°，所以B选项为真命题； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项为假命题； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项为真命题． 故选C． 考点：命题与定理． 4．如图，下列不能判定DF∥AC的条件是（　　）    A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠A+∠ADF＝180° 【答案】B 【分析】根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断． 【详解】解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，两直线平行，可判断DF∥AC； B．∠2＝∠4，不能判断DF∥AC； C．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF∥AC； D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF∥AC； 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 5．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 6．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=10， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=12． 故选C． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键． 7．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 【答案】A 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【详解】如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2． 故选A． 8．如图，，垂足为是线段上一点，连接的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考点垂线段最短，关键是由垂线段最短得到． 作于，由三角形面积公式得到的面积，而，即可求出，又，即可得到答案． 【详解】解：作于， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， ∵， ∴的长不可能4． 故选：A． 9．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解． 【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当在下方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 12．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，若，则点到直线的距离为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，点到直线的距离，如图，先根据题意得出，得出，求出，即可作答． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到直线的距离为的长， ∵， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． 13．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得到阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形， ∴阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 14．如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角的4倍少30度，则角α的度数为 ． 【答案】10度或138度 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用． 由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设另一个角的度数为，由其中一个角α比另一个角的4倍少30度，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程即可求得这两个角的度数． 【详解】解：∵两个角的两边分别平行，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 如图2，∵，， ∴，， ∴， ∴这两个角相等或互补，设另一个角的度数为 ∵其中一个角α比另一个角的4倍少30度， ∴ ①若这两个角相等，则， 解得：， ∴； ②若这两个角互补，则， 解得：， ∴ 综上，角α的度数为10度或138度． 故答案为：10度或138度． 15．已知，平分，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 16．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据得到，可得，据此可判断①；先证明，进而得到，则，再证明，即可判断②；根据题意得到，则，可得，据此可判断③；由平行线的性质得到，则，据此可判断④；根据，，即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时有， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 18．（8分）（1）①过点P作OB的平行线MN； ②过点P作OA的垂线PQ，垂足为Q. （2）如图，在每个小正方形边长为1的方格之中，三角形ABC的顶点在方格纸格点上，将三角形ABC的点A平移到点M处， ①请在图中画出三角形ABC平移后的三角形MNP． ②在图中过点C作出线段AB的垂线段CD，试求三角形ABC的面积. 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②10. 【分析】（1）①用直尺和三角板作出即可；②用三角板的两条直角边作图即可； （2）①先根据点A的平移判断出平移的方式，再根据图形平移的性质画出平移后的△MNP即可； ②利用三角板的两条直角边作出CD，然后利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）①如图MN即为所求；②PQ即为所求； （2）①如图所示； ②S△ABC=. 【点睛】本题考查了平行线的做法、垂线的做法、平移的性质及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握基本概念及平移的性质. 19．（8分）如图，点在直线上，射线、分别平分、． (1)试判断、的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证； （2）由等角的余角相等可证得，进而可得，再由内错角相等两直线平行即可证得． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ， ∴， ∴； （2）证明：∵（已证），（已知）， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键． 20．（8分）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 21．（8分）如图，已知，．现有3个条件：①；②；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 ；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 【答案】(1)①，③（或③，①） (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质． （1）根据题意即可解答； （2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③； 或：选择的条件是③，结论是①． 故答案为：①，③（或③，①） （2）解：选择的条件是①，结论是③，则证明如下： 证明：（已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）． （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 选择的条件是③，结论是①，则证明如下： 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （已知）， ∴（等角的余角性质）． 22．（10分）阅读下列材料，回答问题． 学校购进一批篮球架，篮球架安装要求如下：支架平行地面；支架． 任务：通过测量验证篮球架安装是否合格． 工具：一把梯子（足够长）、量角器． 素材1：如图1是篮球架的示意图，小敏借助梯子以及量角器测量验证篮球架安装是合格的，其测量数据及验证过程如下： 测量数据：，，． 验证过程：如图2，过点作． 根据“两直线平行，同旁错角互补”， 所以 ① ． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以（ ② ）． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以 ③ ④ ． 因为． 所以． 所以篮球架安装是合格的．    素材2：如图1，小明测得：，，． (1)补全小敏求解过程中①②③④所缺的内容； (2)根据素材2，请写出当满足什么关系时，篮球架安装合格？并说明理由． 【答案】(1)①；②等式性质；③④， (2)，理由见解析. 【分析】本题考查了平行线的性质和判定．过拐点作平行线是解题关键． （1）根据平行线性质推理即可； （2）同理（1）的思路，由题意可知，进而可得，在根据平行线性质解答即可． 【详解】（1）如图2，过点作． 根据“两直线平行，同旁错角互补”， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以（ 等式性质 ）． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以． 因为． 所以． 故答案为：①；②等式性质；③④， （2）满足时，篮球架安装合格. 如图2，过点作．由题意可知， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以．即． 23．（10分）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板一周，试探究等于多少度时，？并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行线的判定和性质定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）由，得出，即可得出结果； （2）由，，即可得出结论； （3）当时，，根据求出即可； 当时，，再求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ， ∴； （3）解：当或时，． 如下图，根据同旁内角互补，两直线平行， 当时，， ， ， ； 如图，根据内错角相等，两直线平行， 当时，． ． 24．（12分）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； (3)不会变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 25．（14分）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是： （1）过G作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，即可求解； （2）过P作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，由（1）可得：，则可得出，根据角平分线的定义得出，，则可求出，然后把代入求解即可； （3）设，，则，根据角平分线定义求出，由（2）知：，，，过E作，设与相交于O，由（2）同理可求，代入求解即可． 【详解】（1）解：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， 由（2）知：，，， 过E作，设与相交于O， 由（2）同理可求， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∴的度数为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$