第11讲 一元一次不等式（4大知识点+11大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第11讲 一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解不等式解集表示的方法； 2．知道一元一次不等式的概念； 3. 掌握一元一次不等式的解法； 4. 会解一元一次不等式的应用. 知识点1 不等式的解集（续） 1.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式. 2.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点2 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点3 一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点4 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点： (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 考点一:不等式解集的表示 例1．把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－. 【变式1-1】．下列各数中，能使不等式成立的是（　　） A．1 B．2 C．0 D． 【变式1-2】．不等式的非负整数解的个数是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-3】．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些数能使不等式x－1>－2成立？ 考点二:一元一次不等式的概念 例2．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式2-2】．下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 【变式2-3】．给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 考点三:根据一元一次不等式的概念求参数 例3．若是一元一次不等式，则 ． 【变式3-1】0．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【变式3-2】．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式3-3】．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 考点四:一元一次不等式的解法 例4．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）； （7）； （8）． 【变式4-1】．解下列不等式： (1) (2) 【变式4-2】．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【变式4-3】．解不等式： 考点五:判断数轴上的解集表示、辨析解法步骤 例5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．     D．   【变式5-1】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【变式5-2】．下列解不等式的步骤中，错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项、合并同类项，得 D．系数化为1，得 【变式5-3】．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 考点六:根据解集写出不等式；根据解集求参数 例6．写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【变式6-1】．请写出一个解集为的一元一次不等式 （未知数的系数不能为1）． 【变式6-2】．已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【变式6-3】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 考点七:一元一次不等式的整数解及求参问题 例7．求不等式的正整数解． 【变式7-1】．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【变式7-2】．若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【变式7-3】．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 考点八:一元一次不等式的代数应用 例8．当取何值时，的值不大于？ 【变式8-1】．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】．若关于x的方程的解大于的解，求a的取值范围． 考点九:一元一次不等式在数轴、平面直角坐标系的应用 例9．已知点在第三象限则点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式9-1】．若点到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，则点P的坐标是 ． 【变式9-2】．数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示．那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 考点十:一元一次不等式的实际应用 例10．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【变式10-1】．老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【变式10-2】．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 【变式10-3】．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 考点十一:一元一次不等式的其他应用及难点分析 例11．如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则 ． 【变式11-1】．若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【变式11-2】．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝ 时，n取得最小值 ． 【变式11-3】．已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ． 一、单选题 1．下列不等式中，是一元一次不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 3．与不等式的解集相同的不等式是（    ） A． B． C． D． 4．解不等式时，去分母步骤正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若是关于的一元一次不等式，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（    ） A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2 7．若方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．某商店的老板销售一种商品，他以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价（   ） A．80元 B．100元 C．120元 D．160元 9．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立，则m的取值范围是（    ） A．m＞5 B．m≤5 C．m≥5 D．m＜-5 10．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．不等式的解集为 12．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 13．不等式的非正整数解有 个． 14．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，则a的值为 ． 15．一次函数的图像不经过第二象限，那么m的取值范围是 ． 16．当 时，代数式的值是非负数． 17．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 18．某校食堂为了提升学生的就餐体验，对学生就餐排队情况进行了调查：食堂窗口还未开放时，有a个人已经在排队等候打饭；窗口开放开始打饭时，排队的人数平均每分钟增加b人．假定打饭速度是每个窗口每分钟c个人，当开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，则20分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若食堂想5分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放 个窗口． 三、解答题 19．解下列不等式． (1)； (2)． 20．解下列不等式． (1)； (2)． 21．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 移项，得．…………第二步 合并同类项，得．………………第三步 化系数为1，得．……………………第四步 任务一： （1）去分母的依据是_______； （2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； （3）请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 任务二： 请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 23．电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价，以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过55万元．这批计算机最少有多少台？ 24．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 25．已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求代数式的值． 26．已知：． （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的取值范围． 27．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 28．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是120元，则∶ (1)设学生数为x，甲旅行社收费，乙旅行社收费，分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)就学生人数，分类讨论哪家旅行社更优惠． 29．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解不等式解集表示的方法； 2．知道一元一次不等式的概念； 3. 掌握一元一次不等式的解法； 4. 会解一元一次不等式的应用. 知识点1 不等式的解集（续） 1.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式. 2.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点2 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点3 一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点4 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点： (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 考点一:不等式解集的表示 例1．把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【解析】试题分析： 将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析： （1）将表示在数轴上为： （2）将表示在数轴上为： （3）将表示在数轴上为： （4）将表示在数轴上为： 点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”，“（或）时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”. 【变式1-1】．下列各数中，能使不等式成立的是（　　） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据不等式解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，把x的值代入检验就可以作出判断． 【解析】详解：当时，，故不正确； 当时，，故正确； 当时，，故不正确； 当时，，故不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式解的定义，是一个基础的题目，利用代入法即可求解． 【变式1-2】．不等式的非负整数解的个数是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先根据x＜4不等式，写出非负整数解，注意：非负整数是指正整数和零，不要把零忘记了． 【解析】不等式x＜4的非负整数解有3，2，1，0，共4个．故选A． 【点睛】本题是一道有关非负整数的题目，解题的关键掌握非负整数的概念； 【变式1-3】．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些数能使不等式x－1>－2成立？ 【答案】0，，1.5，2能使不等式x－1>－2成立． 【分析】（1）解法一：将各数分别代入不等式即可得解.解法二：利用不等式的基本性质解不等式得x>－1，已知中的数有0，，1.5，2均大于-1 【解析】将各数分别代入不等式，可知0，，1.5，2能使不等式x－1>－2成立． 【点睛】此题考查了不等式的解，熟练掌握不等式解的意义是解本题的关键． 考点二:一元一次不等式的概念 例2．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【解析】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【解析】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【变式2-2】．下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．利用一元一次不等式的定义进行判断即可． 【解析】解：是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是等式，不是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 故是一元一次不等式的有个， 故答案为：． 【变式2-3】．给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【解析】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 考点三:根据一元一次不等式的概念求参数 例3．若是一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义可知，从而可求出n的值． 【解析】解：是一元一次不等式， ， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 【变式3-1】．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 【变式3-2】．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案． 【解析】解：是关于的一元一次不等式， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键． 考点四:一元一次不等式的解法 例4．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；数轴表示见详解 【分析】（1）-（8）根据解不等式的步骤：先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解析】解： （1）， 解得：；解集在数轴上表示如下： （2）， 移项得：， 化简得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （3）， 去分母得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （4）， 移项得：， 合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （5）， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （6）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （7）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （8）， 移项合并同类项得：， 系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下： 【点睛】题目主要考查解不等式的步骤及解法、在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 【变式4-1】．解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 【解析】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式4-2】．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1)，在数轴上表示解集见解析； (2)，在数轴上表示解集见解析； (3)，在数轴上表示解集见解析； (4)，在数轴上表示解集见解析； (5)，在数轴上表示解集见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （2）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （3）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （4）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （5）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可． 【解析】（1）解： ， ， 解得：； 在数轴上表示解集为： （2）解： ， ， 解得：； 在数轴上表示解集为： （3）解： 解得：， 在数轴上表示解集为： （4）解： 解得：， 在数轴上表示解集为： （5）解： ， 解得：， 在数轴上表示解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 【变式4-3】．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．先把不等式的分母化为整数，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解析】解：， 整理，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 考点五:判断数轴上的解集表示、辨析解法步骤 例5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．  B．  C．    D．   【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键．先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集，进行判断即可． 【解析】解：， 解得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示：    故选：B． 【变式5-1】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】先解出一元一次不等式，再把解集表示在数轴上． 【解析】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∴； 解集在数轴上表示如下：    故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式以及数轴上的表示，解题的关键是准确的计算，求出不等式的解集． 【变式5-2】．下列解不等式的步骤中，错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项、合并同类项，得 D．系数化为1，得 【答案】D 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，然后与各选项比较即可． 【解析】 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 【变式5-3】．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【解析】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 考点六:根据解集写出不等式；根据解集求参数 例6．写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义．根据题意写出符合要求的不等式即可． 【解析】解集为的一元一次不等式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-1】．请写出一个解集为的一元一次不等式 （未知数的系数不能为1）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知解集写出不等式即可． 【解析】解：根据题意得， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元一次不等式解的定义，熟练掌握运算步骤是解本题的关键． 【变式6-2】．已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【解析】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 【变式6-3】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【解析】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 考点七:一元一次不等式的整数解及求参问题 例7．求不等式的正整数解． 【答案】不等式的正整数解为1，2 【解析】解：， ， ， ， 所以此不等式的正整数解为1，2． 【变式7-1】．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解析】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 【变式7-2】．若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【解析】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 【变式7-3】．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围． 【解析】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴这三个正整数解分别是1，2，3， ∴， 故答案为：． 考点八:一元一次不等式的代数应用 例8．当取何值时，的值不大于？ 【答案】当的值时，的值不大于． 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据题意，列出不等式，进行求解即可．解题的关键是正确的列出不等式． 【解析】解：由题意得， 去分母得 解得， 所以当的值时，的值不大于． 【变式8-1】．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次不等式，解方程得，由解为正数知，解之即可得出答案． 【解析】解：解方程得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， 解得， 故选：D． 【变式8-2】．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得 关于x的方程的解是非负数 解得: 故选:B 【变式8-3】．若关于x的方程的解大于的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先求出一元一次方程以及一元一次不等式，然后再根据题意列出不等式，求解不等式即可得出答案． 【解析】解： ， ， ∵的解大于的解， ∴， 解得：． 考点九:一元一次不等式在数轴、平面直角坐标系的应用 例9．已知点在第三象限则点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．根据点在第三象限，得到，，即可得到点所在的象限． 【解析】解：点在第三象限内， ，， ，， 点在第四象限． 故选：D． 【变式9-1】．若点到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离,点在坐标系中的分布及解一元一次不等式，根据点到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，可得，且，即可解答． 【解析】解：根据题意得：，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】．数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示．那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、解不等式，先根据数轴上，原点左侧的数都小于0列不等式，然后解不等式即可求解． 【解析】解：∵数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示， ∴，解得， 故选：D． 【变式9-3】．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和点A表示的数即可求出m的值； （2）首先根据题意表示出，然后根据三等分点的特点表示出，最后利用求不等式即可． 【解析】（1）∵， ∴， 即m的值为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握以上知识点 考点十:一元一次不等式的实际应用 例10．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．设答对道题，答错或不答的题目为道，根据选手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得： ， 解得， ∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 故选：A． 【变式10-1】．老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【解析】解：设老师买了x副圆规， 由题意得：， 故答案为：． 【变式10-2】．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 【答案】至多可以去17人 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可以去人，根据计费规则以及总费用不高于500元列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【解析】解：设可以去人， 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最大值为17． 答：至多可以去17人． 【变式10-3】．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解析】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 考点十一:一元一次不等式的其他应用及难点分析 例11．如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程，先分别解一元一次不等式，再根据不等式的解集相同可得，即可求解． 【解析】解：， 解得， ， 解得， ∵关于x的不等式的解集与的解集相同， ∴， 解得， 故答案为：2． 【变式11-1】．若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次不等式，先解方程得，即可得，再求解即可． 【解析】解：， 去分母得，， 去括号得，， ∴， ∵原方程的解是负数， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式11-2】．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝ 时，n取得最小值 ． 【答案】 72 5 【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值． 【解析】解：移项得，， ∵m、n为正整数， ∴， ∴m≥67.5， 若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数， ∴当m＝72时，n最小＝5， 故答案为：72；5． 【点睛】本题考查了二元一次方程分正整数解，解一元一次不等式等知识，根据题意得到关于m的不等式并根据正整数解的定义确定m的值是解题关键． 【变式11-3】．已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，不等式的解集，解不等式，掌握绝对值与算术平方根的非负性，求出，且是解题的关键． 先根据非负数的性质，得出，，解得：，，再根据不等式的解集为，得到，，把，代入，得，然后由，则，解得，所以，最后解不等式，即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∴，， ∵关于的不等式的解集为， ∴，， ∴， 把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 即不等式的解集是． 故答案为：． 一、单选题 1．下列不等式中，是一元一次不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义作出判断． 【解析】解：①；③；④三个不等式中，未知数只有1个，且未知数的最高次数为1次，所以3个都是一元一次不等式； ②，未知数的次数为-1，不是1，所以不是一元一次不等式； ⑤是一个不含未知数的不等式，所以不是一元一次不等式． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式，正确理解一元一次不等式的意义是解题关键． 2．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】D 【分析】根据不等式的解集表示方法即可求解． 【解析】解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示﹣2的点是空心圆点 ∴x＞﹣2 故选：D． 【点睛】此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法． 3．与不等式的解集相同的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断． 【解析】由，解得：， A、由，解得：，故符合题意； B、由，解得：，故不符合题意； C、由，解得：，故不符合题意； D、由，解得：，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键． 4．解不等式时，去分母步骤正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边都乘以6即可得解. 【解析】解:不等式两边都乘以6得， 故选: D. 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; . (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 5．若是关于的一元一次不等式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义得出a＋1≠0，|a|＝1，求解即可． 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴a＋1≠0，|a|＝1， 解得：a＝1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出a＋1≠0，|a|＝1． 6．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（    ） A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2 【答案】C 【分析】先解不等式求出其解集，然后由数轴可得不等式的解集为x≤﹣1，进而可得关于a的方程，解方程即得答案． 【解析】解：解不等式2x﹣a≤﹣1，得， 由不等式的解集在数轴上的表示可得不等式的解集是x≤﹣1， 所以，解得：a=﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和不等式的解集在数轴上的表示，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键． 7．若方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是正数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围． 【解析】原方程可整理为：3mx＋3m＋1＝3m−mx−5x，（3m＋m＋5）x＝−1，两边同时除以（4m＋5）得，x＝， ∵方程3m（x＋1）＋1＝m（3−x）−5x的解是正数， ∴＞0， ∴4m＋5＜0， 解得：． 故选：D 【点睛】本题考查一次方程与不等式，解关于x的不等式是解题的关键． 8．某商店的老板销售一种商品，他以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价（   ） A．80元 B．100元 C．120元 D．160元 【答案】C 【分析】设这件商品的进价为x元，首先根据题意列出方程求出商品的进价，然后求出盈利的最低价格，从而用两个价格作差即可得出答案． 【解析】设这件商品的进价为x元，根据题意得， ， 解得 ， 盈利的最低价格为（元）， ∴商店老板最多会降价（元）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，能够求出商品的进价及盈利的最低价格是解题的关键． 9．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立，则m的取值范围是（    ） A．m＞5 B．m≤5 C．m≥5 D．m＜-5 【答案】B 【分析】求出不等式2x+5＜1的解集，再求出不等式4x+1＜x-m的解集，得出关于m的不等式，求出m即可． 【解析】解：解不等式2x+5＜1得：x＜-2， 解关于x的不等式4x+1＜x-m得， ∵不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立， ∴≥-2， 解得：m≤5， 故选：B． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键． 10．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式，根据已知条件求出m，n的式子计算即可；； 【解析】解不等式得， ， ∵， ∴， 得到：， 解得：， 整理不等式， 得， 解得：． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，准确计算是解题的关键． 二、填空题 11．不等式的解集为 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．解不等式即可求解． 【解析】解：由原不等式得：， 解得， 故答案为：． 12．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【解析】解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是关于x的一元一次不等式， ∴|m|-1=1，且m+2≠0， 解得：m=-2（舍去）或m=2， 则m的值为2， 故答案为2. 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 13．不等式的非正整数解有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再求出满足要求的非正整数解即可． 【解析】解： ， ， ∴不等式的非正整数解有：，，0一共3个． 故答案为：3． 14．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，则a的值为 ． 【答案】- 【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以a，不等号的方向改变了．得到不等式的解集为：x≥，又因为它的解集是x≥-4，所以=-4，即可解得a的值． 【解析】∵不等式ax≤2的解集是x≥-4， ∴a＜0； 解不等式得：x≥， ∴=-4， 解得a=−， 故答案为−． 【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算． 15．一次函数的图像不经过第二象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图像和性质：①当，若，则图像经过一、二、三象限；若，则图像经过一、三、四象限．根据一次函数的图像不经过第二象限，得到，解不等式求解即可． 【解析】解：一次函数的图像不经过第二象限， ， ， 故答案为：． 16．当 时，代数式的值是非负数． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可． 【解析】依题意 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 化系数为1，得： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 17．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式． 首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围． 【解析】解：， 得， 则， ∵ ∴， 解得． 故答案是：． 18．某校食堂为了提升学生的就餐体验，对学生就餐排队情况进行了调查：食堂窗口还未开放时，有a个人已经在排队等候打饭；窗口开放开始打饭时，排队的人数平均每分钟增加b人．假定打饭速度是每个窗口每分钟c个人，当开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，则20分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若食堂想5分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放 个窗口． 【答案】9 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，得到题目中的数量关系是关键； 根据题意，构造关于a，b的方程组，表示a，b，c的关系，进而由5分钟后不出现排队现象，可得不等式，由此可得结论． 【解析】解： 根据题意得 ， 解得：， 若食堂想5分钟后不会出现排队现象，设要同时开放x个窗口才能满足要求， 将，，代入得 ， 解得：， 至少需要同时开放9个窗口． 故答案为：9． 三、解答题 19．解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【解析】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法，正确求出不等式的解集． （1）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【解析】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 (3)；数轴见解析 (4)；数轴见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式， （1）按照解一元一次不等式的一般步骤进行解答，并把解集规范的表示在数轴上即可； （2）按解一元一次不等式组的一般步骤进行解答，并把解集规范的表示在数轴上即可． （3）按照解一元一次不等式的一般步骤进行解答，并把解集规范的表示在数轴上即可； （4）按解一元一次不等式组的一般步骤进行解答，并把解集规范的表示在数轴上即可． 【解析】（1）， ． 数轴表示如下： （2）， 数轴表示如下： （3）， ． 数轴表示如下： （4）， ． 数轴表示如下： 22．下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 移项，得．…………第二步 合并同类项，得．………………第三步 化系数为1，得．……………………第四步 任务一： （1）去分母的依据是_______； （2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； （3）请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 任务二： 请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 【答案】任务一：（1）不等式的性质2；（2）三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变；（3）见解析；任务二：移项要变号 【分析】本题考查解不等式，并用数轴表示不等式的解集： 任务一：（1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行判断即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，进而在数轴上表示出解集即可． 任务二：根据解不等式的常见错误，提出合理建议即可． 【解析】解：任务一：（1）去分母的依据是：不等式的性质2； 故答案为：不等式的性质2； （2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现三次错误，分别是第一步，第二步，第四步，最后一次出现在步骤四，原因是不等式的两边同除以时不等号方向未改变； 故答案为：三，四， 不等式的两边同除以时不等号方向未改变； （3）去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 化系数为1，得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下图： 任务二： （1）移项要变号；（2）去分母时，不能漏乘常数项（答案不唯一，只要合理即可）． 23．电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价，以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过55万元．这批计算机最少有多少台？ 【答案】最少有105台 【分析】设这批计算机有x台，根据题意可得，第一个月和第二个月销售款总额超过55万元，列不等式求解． 【解析】解：设这批计算机有x台， 由题意得，5500×60+5000（x-60）＞550000， 解得：x＞104． 答：这批计算机最少有105台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列出不等式求解． 24．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先解方程得到，再根据题意得到，解不等式即可得到答案； （2）先按照去括号，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，进而求出不等式的最小整数解，再结合（1）列出方程求解即可． 【解析】（1）解：解方程得：， ∵该方程的解满足， ∴， ∴； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解为4， ∴， 解得． 25．已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】24 【分析】根据题意先解一元一次不等式，再根据不等式的解集求得最小整数解，将其代入关于的方程中求得的值，进而求得代数式的值． 【解析】 去括号得：， 化简得：， 解得， 故的最小整数解为， 将代入方程， 解得， 当时，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求最小整数解，根据方程的解求参数，根据字母的值求代数式的值，正确的计算是解题的关键． 26．已知：． （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据任何数的绝对值与偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则这两个数都是0，即可得到关于、的方程组，求解代入即可得到一个关于的不等式，从而即可得出答案． 【解析】解： 解得： （1）当时，即 解得： 的取值范围为； （2）当时，即 解得： 的取值范围为． 【点睛】本题考查了非负数的性质及解一元一次不等式，根据题意列出方程组是解题的关键． 27．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】1 【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值． 【解析】解：不等式的解集，则最大整数解； 不等式的解集，则最小整数解； 则． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键． 28．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是120元，则∶ (1)设学生数为x，甲旅行社收费，乙旅行社收费，分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)就学生人数，分类讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)； (2)学生人数为人，两旅行社一样优惠；学生人数大于人，甲旅行社优惠；学生人数小于人，乙旅行社优惠 【分析】（1）根据收费总额学生人数单价校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费； （2）利用时，得出，进而求出即可，再分两种情况讨论，当、时，求出哪种情况更优惠． 本题考查了一次函数的应用，运用一次函数的解析式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个解析式建立方程或不等式是关键． 【解析】（1）解：设学生人数为人，由题意，得 ， ； （2）解：由（1）得； 设学生人数为， 则； 当时， ， 解得：， 即学生人数为人，两旅行社一样优惠； 当时， ， 解得：， 学生人数大于人，甲旅行社优惠； 时， ， 解得： 故学生人数小于人，乙旅行社优惠． 29．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【解析】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$