第12讲 一元一次不等式与一次函数（5大知识点+9大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第12讲 一元一次不等式与一次函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 通过观察函数图象、求方程的解和不等式的解集，从中体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系. 2. 通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系. 3. 感知不等式、方程、函数的不同作用与内在联系. 知识点1 知识引入（数形结合） 函数y=2x-5的图象如图2-6所示，观察图象 回答下列问题： (1)x取何值时，2x-5=0? (2)x取哪些值时，2x-5>0? (3)x取哪些值时，2x-5<0? (4)x取哪些值时，2x-5>1? 知识点2 一次函数与一元一次不等式 　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 知识点3 从一次函数的角度求一元一次不等式的解集 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 知识点4 如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点5 从一次函数的角度解决一元一次不等式问题 例 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少? 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y元，选择乙旅行社时，所需的费用为y₂元，则 y₁=200×0.75x,即y=150x; y₂=200×0.8(x-1),即y₂=160x-160. 由y₁=y₂,得150x=160x-160,解得x=16; 由y₁>y₂,得150x>160x-160,解得x<16; 由y₁<y₂,得150x<160x-160,解得x>16. 因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17<x<25时，选择甲旅行社费用较少；当10<x<15时，选择乙旅行社费用较少 在本节问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题. 考点一:一元一次方程与一次函数 例1．如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【变式1-1】．如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式1-3】．一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 考点二:一元一次不等式与一次函数 例2．如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    【变式2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【变式2-3】．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 考点三:二元一次方程组与一次函数 例3．如图，直线与相交于点，则方程组的解为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 考点四:从一次函数的角度求一元一次不等式的解集 例4．“数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点五：一元一次不等式组与一次函数 例5．函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 【变式5-1】．如图，直线与交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．如图所示，已知函数和的图象交点为，若，则函数中的取值范围是 ． 考点六：一元一次不等式与一次函数的应用 例6．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【变式6-1】．在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． (1)求m与k的值； (2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 考点七：一元一次不等式、方程（组）、一次函数综合 例7．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有 ． ①；②；③；④当时， 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【变式7-2】．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有 ． 【变式7-3】．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A．个 B．个 C．个 D．个 考点八：利用一次函数解决一元一次不等式的实际问题 例8．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 【变式8-1】．2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． (1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ (2)购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 【变式8-2】．无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式8-3】．五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额元最少？ (3)在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的为正整数捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 考点九：解答综合题 例9．已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【变式9-1】．如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 【变式9-2】．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠”若全票价是1200元，则：设学生数为，甲旅行社收费，乙旅行社收费，求： (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？ (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【变式9-3】．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和点B（0，-3），则不等式kx+b≥-3的解集为（    ） A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2 3．直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）． A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分 4．直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝k2x的图象如图所示．则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜3 D．x＞3 5．如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝kx＋b与x轴交于点B(－2，0)，与y轴交于点C，则“不等式kx＋b≥0的解集”对应的图形是（    ）    A．射线BD上的点的横坐标的取值范围 B．射线BA上的点的横坐标的取值范围 C．射线CD上的点的横坐标的取值范围 D．线段BC上的点的横坐标的取值范围 6．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．函数与的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y -1 -2 -3 -4 x -4 -3 -2 -1 y -9 -6 -3 0 当时，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是(       ) A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 9．如图所示，函数和的图像相交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 10．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，若，则y ．    12．如图，已知一次函数y＝kx+b经过A（2，0），B（0，﹣1），当y＞0时，则x的取值范围是 ． 13．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 ． 14．一次函数与的图象如图所示，则当x 时，；当x 时，；当x 时，． 15．如图所示，次函数与的图像相交于点，则不等式 的解集是 ． 16．已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为 ． 17．如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为 ． 18．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 19．已知函数和相交于点． （1）求k、b的值； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用图象求当x取何值时有：①；②且． 20．如图，直线与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）根据图象，写出当 时，的取值范围． 21．在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程和的图象．利用图象求：   方程的解；     不等式的解集； 根据图像写出方程组的解． 22．如图，根据图中信息解答下列问题： （1）关于x的不等式ax+b>0的解集是 ； （2）关于x的不等式mx+n<1的解集是 ； （3）当x满足 的条件时，y1⩽y2； （4）当x满足 的条件时，0<y2<y1． 23．泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 24．如图，直线：与直线：交于点，直线分别交轴、轴于点、，直线交轴于点． （1）求、的值． （2）请直接写出使得不等式成立的的取值范围． （3）在直线上找点，使得，求点的坐标． 25．如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 26．已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点． (1)求函数表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数图象交于点，求，的值； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为______． 27．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 28．把一次函数（k、b为常数，）．在y轴右侧的图像沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右侧的图像组合，得到一个新的函数图像，这个新函数的解析式为（k、b为常数，）．例如：的图像如图①所示． (1)请在图②中画出函数的图像，并直接写出该图像与y轴交点A的坐标_________； (2)若函数的图像与y轴交于点C，与函数的图像交于B，D两点（点B在点D的右侧），求四边形的面积； (3)已知函数与函数，若对于，都有，直接写出k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一元一次不等式与一次函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 通过观察函数图象、求方程的解和不等式的解集，从中体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系. 2. 通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系. 3. 感知不等式、方程、函数的不同作用与内在联系. 知识点1 知识引入（数形结合） 函数y=2x-5的图象如图2-6所示，观察图象 回答下列问题： (1)x取何值时，2x-5=0? (2)x取哪些值时，2x-5>0? (3)x取哪些值时，2x-5<0? (4)x取哪些值时，2x-5>1? 知识点2 一次函数与一元一次不等式 　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 知识点3 从一次函数的角度求一元一次不等式的解集 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 知识点4 如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点5 从一次函数的角度解决一元一次不等式问题 例 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少? 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y元，选择乙旅行社时，所需的费用为y₂元，则 y₁=200×0.75x,即y=150x; y₂=200×0.8(x-1),即y₂=160x-160. 由y₁=y₂,得150x=160x-160,解得x=16; 由y₁>y₂,得150x>160x-160,解得x<16; 由y₁<y₂,得150x<160x-160,解得x>16. 因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17<x<25时，选择甲旅行社费用较少；当10<x<15时，选择乙旅行社费用较少 在本节问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题. 考点一:一元一次方程与一次函数 例1．如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【解析】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 【变式1-1】．如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【解析】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 【变式1-2】．如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【解析】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式1-3】．一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解的关系．一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案． 【解析】解：∵由一次函数的图象交x轴于点， ∴关于的一元一次方程的解就是． 故答案为：． 考点二:一元一次不等式与一次函数 例2．如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【解析】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 【变式2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，只需要找出函数图象在点的对应的自变量的取值范围即可． 【解析】解：∵直线经过两点，函数图象y随x的增大而增大， ∴的解集是， 故选：A． 【变式2-2】．直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集． 【解析】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 【变式2-3】．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知，随着的增大而减小，且时，，进而得到当时，，即可． 【解析】解：根据表格可知，随着的增大而减小，且时，， ∴当时，， 故答案为：． 考点三:二元一次方程组与一次函数 例3．如图，直线与相交于点，则方程组的解为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求得点的坐标；根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标．根据图象交点坐标直接判断即可． 【解析】解：∵直线与相交于点， ∴， 解得： ∴ ∴方程组的解为， 故选：A 【变式3-1】．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的综合，理解图示，掌握两直线交点的含义是解题的关键． 把代入直线得交点坐标为，根据两直线的交点即为直线组成的方程组的解即可求解． 【解析】解：把代入直线得，， ∴直线与交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将点点代入得出，即可求解． 【解析】解：∵直线与直线交于点， 当时， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故选：A． 【变式3-3】．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【解析】解：关于，的方程组， 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：A． 考点四:从一次函数的角度求一元一次不等式的解集 例4．“数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到当一次函数的函数图象在正比例函数的函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【解析】解：由函数图象可知当一次函数的函数图象在正比例函数的函数图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， ∴关于的不等式的解集是， 故选：C． 【变式4-1】．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是直线位于直线的上方，结合函数图象求解即可得． 【解析】解：关于的不等式表示的是直线位于直线的上方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解为， 故选：C． 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象，写出直线在的上方所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：∵直线和相交于点， ∴直线在的上方解集为， ∴不等式的解集为， 故选：D． 【变式4-3】．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．根据点在直线上，求出a的值，求的解集，即求直线在直线上方时（包括交点），x的取值范围，结合图象即可求解． 【解析】解：点在直线上， ， 解得：， 由图可知当时，直线在直线上方（包括交点）， ∴的解集为． 故选：D． 考点五：一元一次不等式组与一次函数 例5．函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可． 【解析】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-1】．如图，直线与交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元一次不等式． 【解析】解：∵直线与的交点的横坐标为， ∴由图象可知，当时， ； 当时， 的图象在直线的上方， 此时，； 当时， 的图象在直线的下方， 此时，， ∴的解集为： ． 故选：A． 【变式5-2】．如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合运用.首先根据题意可知不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围，据此进一步分析求解即可. 【解析】解：由题意可得：直线与直线相交于点A， ∴不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围， 观察图象可知，当时，直线在直线的下方且都在轴的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A. 【变式5-3】．如图所示，已知函数和的图象交点为，若，则函数中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用函数图象解不等式，涉及待定系数法确定函数解析式，先根据函数和的图象交点为，进而求出，再利用待定系数法确定的解析式，数形结合，利用函数图象解不等式即可得到答案，根据题意求出函数解析式是解决问题的关键． 【解析】解：函数和的图象交点为，由图可知点的横坐标为， ，即， 将代入得到，解得， ， 若，则函数中的取值范围是， 故答案为：． 考点六：一元一次不等式与一次函数的应用 例6．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【解析】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 【变式6-1】．在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． (1)求m与k的值； (2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键． （1）将点代入函数求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值； （2）联立与求出交点横坐标为，再结合题意和一次函数性质得到，求解，即可解题． 【解析】（1）解：将点代入函数有：， 解得， ， ， 解得； （2）解：由（1）知，， 联立与有：， 解得， 当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值， 又时，直线与直线平行， ，， 当时，解得， 即n的取值范围为． 考点七：一元一次不等式、方程（组）、一次函数综合 例7．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有 ． ①；②；③；④当时， 【答案】③ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【解析】解： 由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，则，故①错误； 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，则，则，故②错误； 由函数图象可知：一次函数与的图象交于点P，且点P的横坐标为1， ∴，故③正确； 根据图象可知，当时，，故④错误 故答案为：③． 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【解析】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式7-2】．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象和性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【解析】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，，所以①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，，所以③正确； 当时，的图像在图像的上方， ∴，所以④错误． 故答案为①③． 【变式7-3】．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，根据函数图象直接得到结论；根据、的符号即可判断；当时，；当时，根据图象得不等式，利用数形结合是解题的关键． 【解析】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确； 由于，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，即，故正确； 当时，，，由图象可知， ∴，故错误； 综上都正确，故选：． 考点八：利用一次函数解决一元一次不等式的实际问题 例8．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，最大利润为4500元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据商场获利（甲种服装每件售价甲种服装每件进价）甲种服装购进数量（乙种服装每件售价乙种服装每件进价）乙种服装购进数量解答即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的性质即可得解． 【解析】（1）解：根据题意，得， 答：y与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y值最大，． 答：若购进100件服装的总费用不超过15000元，最大利润为4500元． 【变式8-1】．2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． (1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ (2)购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 【答案】(1)A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元 (2)购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用， （1）设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设购买，两种龙年吉祥物共花费元，写出关于的函数，根据它的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【解析】（1）解：设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， （元， ∴A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元． （2）解：设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个． 根据题意，得， 解得． 设购买，两种龙年吉祥物共花费元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，， 购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元． 【变式8-2】．无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)260 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【解析】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）解：设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 【变式8-3】．五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额元最少？ (3)在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的为正整数捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 【答案】(1) (2)购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，才能使小明付款总金额(元)最少 (3)8 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题及一元一次不等式的应用． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）设购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； （3）根据题意求出羊角蜜此时的进价，再根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【解析】（1）解：当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时，， 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； （2）解：设购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克， ∴， 当时，则， ， 当时. 元； 当时,则， ， 当时, 元， ， ∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元，此时购进羊角蜜(千克)， 答：购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，才能使小明付款总金额(元)最少； （3）解：由（2）知购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克， 此时，羊角蜜的进价为6元， 根据题意得：，即， 解得， ， ∴m的最大值为． 考点九：解答综合题 例9．已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 【变式9-1】．如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． （1）先求出直线表达式，再求点B坐标，根据，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 【解析】（1）解：∵的直线解析式为， 令， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵：经过点C和点A， ， 解得， ∴的直线解析式为； （2）解：在直线的解析式中， 令， 则， ∴， 在直线的解析式中令， 则， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据图象，因为，且， 则， 又因为，且直线与交于点， 所以， 故的解集为． 【变式9-2】．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠”若全票价是1200元，则：设学生数为，甲旅行社收费，乙旅行社收费，求： (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？ (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)； (2)4人 (3)当学生人数为4人时，两旅行社一样优惠；当学生人数小于4人时，乙旅行社优惠；当学生人数大于4人时，甲旅行社优惠 【分析】本题考查了一次函数的应用-方案设计问题，在解答时根据两个解析式建立方程或不等式是关键． （1）根据收费总额学生人数单价校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费； （2）利用时，得出，进而求出即可， （3）分两种情况讨论，当、时，求出哪种情况更优惠． 【解析】（1）解：设学生人数为人，由题意，得 ， ； （2）当时， ， 解得：， 故当时，两旅行社一样优惠； （3）时， ， 解得： 故当时，乙旅行社优惠． 当时， ， 解得：， 故当时，甲旅行社优惠． 【变式9-3】．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【解析】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 一、单选题 1．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【解析】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 2．如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和点B（0，-3），则不等式kx+b≥-3的解集为（    ） A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2 【答案】A 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【解析】观察图象知：当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，注意数形结合思想的应用． 3．直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）． A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分 【答案】B 【分析】y=x和y=-x+1把平面分成 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，由图即可得出答案． 【解析】由图可知， 满足的点都在直线的下方， 满足的点都在直线的上方， 故同时满足且的点为两者的重合部分， 由图知，点必定在第Ⅱ部分， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握数形结合的数学思想，即利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用． 4．直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝k2x的图象如图所示．则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜3 D．x＞3 【答案】A 【分析】直接利用一次函数的交点为（﹣1，3），进而得出不等式k2x＞k1x+b的解集． 【解析】解：如图所示：关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是：x＜﹣1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝kx＋b与x轴交于点B(－2，0)，与y轴交于点C，则“不等式kx＋b≥0的解集”对应的图形是（    ）    A．射线BD上的点的横坐标的取值范围 B．射线BA上的点的横坐标的取值范围 C．射线CD上的点的横坐标的取值范围 D．线段BC上的点的横坐标的取值范围 【答案】A 【分析】根据图象即可得出不等式kx＋b≥0的解集，从而判断出结论． 【解析】解：由图象可知：不等式kx＋b≥0的解集为x≤-2 ∴“不等式kx＋b≥0的解集”对应的图形是射线BD上的点的横坐标的取值范围 故选A． 【点睛】此题考查的是根据一次函数的图象和不等式，求自变量的取值范围，掌握利用一次函数的图象，解一元一次不等式是解决此题的关键． 6．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察函数图象得到当x＞-1时，函数y=x+b的图象都在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【解析】解：当x＞-1时，x+b＞kx-1， 即不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 7．函数与的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y -1 -2 -3 -4 x -4 -3 -2 -1 y -9 -6 -3 0 当时，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断． 【解析】解：根据表格可得y1=k2x+b1中y随x的增大而减小，y2=k2x+b2中y随x的增大而增大． 且两个函数的交点坐标是（-2，-3）． 则当x＜-2时，y1＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键． 8．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是(       ) A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【解析】解：∵直线y1=kx经过第一、三象限， ∴k＞0，故①正确； ∵y2=-x+b与y轴交点在负半轴， ∴b＜0，故②错误； ∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大， ∴当x＞0时，y1＞0；故③正确； 当x＜-2时，正比例函数y1=kx在一次函数y2=-x+b图象的下方，即kx＜-x+b，故④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 9．如图所示，函数和的图像相交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝−x又相交于（−1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2结合图像的位置关系，即可求出x的取值范围． 【解析】解：∵当x≥0时，y1＝x；当x＜0时，y1＝−x， 两直线的交点为（2，2），（−1，1）， ∴由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜−1或x＞2． 故选C． 【点睛】此题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当y1＞y2时x的取值范围等价于y1所对应的图像在y2所对应的图像上方部分图像上点的横坐标的范围． 10．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值． 【解析】解：由题意得：，解得：， 当时，， 当时，，， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 当时，， 当时，，， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 综上所述，，的最大值是当所对应的的值， 如图所示，当时，， 故选：C 【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题． 二、填空题 11．如图，若，则y ．    【答案】>3 【分析】根据函数图象进行求解即可． 【解析】解：由函数图象可知，当，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 12．如图，已知一次函数y＝kx+b经过A（2，0），B（0，﹣1），当y＞0时，则x的取值范围是 ． 【答案】x＞2 【分析】利用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝x−1，依据当y＞0时，x−1＞0，即可得到x的取值范围． 【解析】解：由A（2，0），B（0，﹣1），可得直线AB的解析式为y＝x﹣1， ∴当y＞0时，x﹣1＞0， 解得x＞2， 故答案为x＞2． 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式之间的联系，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b，解题关键是求出直线解析式. 13．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据图象得：当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ，即可求解． 【解析】解：根据图象得：当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=ax+b（ ）与y=0的上下位置关系找出不等式ax+b<0的解集是解题的关键． 14．一次函数与的图象如图所示，则当x 时，；当x 时，；当x 时，． 【答案】 【分析】利用函数图像交点的位置，比较函数值的大小，来确定自变量的范围， 【解析】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为（1，-3），在交点的右侧一次函数的图象在一次函数的图象的下方即 ∴x＞1， 当x＞1时，； 一次函数的图象与一次函数的图象相交时，即， ∴x=1， 当x=1时，： 在交点的左侧，一次函数的图象在一次函数的图象的上方即 ∴x＜1， 当x＜1时，； 故答案为；；． 【点睛】本题考查根据函数值的大小确定自变量的大小，掌握函数图像的交点左侧与右侧的图像位置确定函数值的大小是解题关键． 15．如图所示，次函数与的图像相交于点，则不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】先求出，然后根据图象可知：在交点的左侧，，即当时， ，从而求出不等式的解集． 【解析】解： 由图象可知：在交点的左侧， 即当时， ∴ 的解集是． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是根据交点坐标求不等式的解集，掌握一次函数和一元一次不等式的关系是解决此题的关键． 16．已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，交点的横坐标为3，代入直线解析式即可求解． 【解析】解：由题意可得，直线与的交点横坐标为3 将代入直线，得，即交点坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了求解直线的交点坐标，理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 17．如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为 ． 【答案】1＜x＜4 【分析】先解不等式0＜mx+n，结合图像可知上的点在轴的上方，可得＜ 再解mx+n＜kx+b，结合图像可知上的点在的上方，可得＞ 从而可得0＜mx+n＜kx+b的解集． 【解析】解： 不等式0＜mx+n， 上的点在轴的上方， ＜ mx+n＜kx+b， 上的点在的上方， ， ＞ 不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为1＜＜4， 故答案为：1＜＜4， 【点睛】本题考查的是一次函数与不等式组的关系，掌握利用一次函数的图像解不等式组是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案． 【解析】令，则， 令，则， ∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方， ∴可知在时，有公共解， ∴，解得：， 故填：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式． 三、解答题 19．已知函数和相交于点． （1）求k、b的值； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用图象求当x取何值时有：①；②且． 【答案】（1），；（2）画图见解析，①，② 【分析】（1）将点分别代入函数和即可求解； （2）根据描点法画出函数图像，①通过函数图像得到时，自变量的取值范围即可；②观察函数图像，求得且时，自变量的取值范围即可． 【解析】解：（1）将点代入函数得，解得 将点代入函数得，解得 故答案为， （2）列表，如下 0 2 -2 -1 5 -1 函数图像如下： ①由图像可得：当时，，故答案为 ②将代入得，，由图像可知时， 将代入得，，由图像可知时， 由此可得 【点睛】此题考查了待定系数法求解一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 20．如图，直线与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）根据图象，写出当 时，的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）联立两函数即可求解； （2）根据函数图象即可求解． 【解析】解：（1）由于两直线相交，联立方程得： 解得： ∴点的坐标为． （2）由图象知，当，即在时上方时，． ∴当时，的取值范围是． 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程（组）一次函数的性质，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法． 21．在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程和的图象．利用图象求：   方程的解；     不等式的解集； 根据图像写出方程组的解． 【答案】作图见解析，（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先画出，图象，方程的解看两直线的交点，横坐标即为的值； （2）根据图象可知，以交点为分界，直线在上面的函数值大； （3）分别解不等式，再求公共部分． 【解析】解：画和的图象， 方程变形为：，， 根据图象可知：方程的解为：； 根据图象可知：不等式的解集为：； 方程组的解为， 所以不等式的解集为. 【点睛】一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次方程，一元一次不等式组的定义. 22．如图，根据图中信息解答下列问题： （1）关于x的不等式ax+b>0的解集是 ； （2）关于x的不等式mx+n<1的解集是 ； （3）当x满足 的条件时，y1⩽y2； （4）当x满足 的条件时，0<y2<y1． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）求ax+b＞0的解集，只需确定直线y2在x轴上方时x的取值范围即可； （2）求mx+n＜1的解集，也就是求直线y1在y=1下方时x的取值范围，据此解答即可； （3）找出直线y1在直线y2的下方与相交时x的取值范围，据此可确定y1≤y2时x的取值范围； （4）根据函数图象，找出直线y2在直线y1的下方且在x轴上方时x的取值范围即可． 【解析】(1)∵直线y2=ax+b与x轴的交点是(4,0) ∴当x<4时, y2>0，即不等式ax+b>0的解集是x<4 (2)∵直线y1=mx+n与y轴的交点是(0,1) ∴当x<0时, y1<1，即不等式mx+n<1的解集是x<0 (3)由一次函数的图象知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),当函数y1的图象在y2的下面时，有x⩽2 ∴当x≤2时, y1≤ y2 (4)如图所示,当2<x<4时,0< y2< y1 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式关系，能用函数观点看一元一次不等式是解题关键． 23．泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 【答案】(1)款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元 (2)应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式． （1）设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元，根据售货员的对话列出方程组，解方程组即可； （2）设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元，根据总费用，两款工艺品费用之和列出函数解析式，再根据购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，求出的取值范围，由函数的性质求出最值． 【解析】（1）解：设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元， 根据题意得：， 解得， 答：款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元， 根据题意得：， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为950， 此时，， 答：应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元． 24．如图，直线：与直线：交于点，直线分别交轴、轴于点、，直线交轴于点． （1）求、的值． （2）请直接写出使得不等式成立的的取值范围． （3）在直线上找点，使得，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为或 【分析】（1）先将P坐标代入的解析式中求出m值，得到点P坐标，再代入的解析式中求得k值即可； （2）根据图像，不等式的解集为直线位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围； （3）先求出点A、B、C坐标，再利用三角形的面积公式求出，设点坐标为，根据列方程求解即可． 【解析】（1）把代入得，解得，所以点坐标为， 把代入得，解得． （2）由图可知，不等式 成立的x的取值范围为； （3）当时，，解得，则； 当时，，则， 当时，，解得，则， 所以 ， 设点坐标为， 因为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、由两直线的交点求不等式的解集、坐标与图形的性质、三角形的面积公式、解绝对值方程等知识，熟练掌握这些知识的灵活运用是解答的关键． 25．如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求两条直线的交点坐标，观察图象判断自变量取值范围， （1）将点B，C的坐标代入关系式得到方程组，求出方程组的解即可； （2）先求出的关系式，再将两个关系式联立，求出解即可； （3）观察图象直线在直线上方的部分，即可得出自变量的取值范围. 【解析】（1）设的表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所以的表达式为； （2）将代入得，， 所以直线的表达式为. 由方程组得， 解得， 故D点坐标为； （3）由图象可知，在点左侧时，，即时，． 26．已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点． (1)求函数表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数图象交于点，求，的值； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数和不等式的关系， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先把代入求出坐标，即可求解； （3）根据题意可得，解不等式即可． 【解析】（1）解：一次函数的图象经过点，且与轴交于点， ∴ 解得： 一次函数解析式为：； （2）一次函数的图象与一次函数图象交于点， ∴ ， 将坐标代入得： ． （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于的值， ∴ 解得：． 故答案为：． 27．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）， （3）① ②存在，或或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间，即可求解； ②分三种情况：当时， 当时， 当时，分别 求解即可． 【解析】解：（1）观察图象知，不等式的解集是， （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：，不等式的解是 （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间， 联立两个一次函数得：， 解得：，即点， 令，则，即点； 故不等式组的解集为； ②存在，理由： 令，则，解得：， ∴ ∵ ∴ 设点， ∴，， 分三种情况：I）当时， ∴ 解得： ∴或， II）当时， ∴ 解得：，（舍去） ∴ III）当时，过点P作轴于D， ∴， ∴ ∴， ∴ 综上，或或或． 28．把一次函数（k、b为常数，）．在y轴右侧的图像沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右侧的图像组合，得到一个新的函数图像，这个新函数的解析式为（k、b为常数，）．例如：的图像如图①所示． (1)请在图②中画出函数的图像，并直接写出该图像与y轴交点A的坐标_________； (2)若函数的图像与y轴交于点C，与函数的图像交于B，D两点（点B在点D的右侧），求四边形的面积； (3)已知函数与函数，若对于，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见详解， (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次函数图像以及性质，利用两函数求一元一次不等式的解集． （1）先求出当时，，当时，，即可画出函数右边的图像，然后y轴右侧的图像沿y轴向左翻折即可得出的图像，再根据函数图像写出点A的坐标即可． （2）分别求出点B，点C，点D的坐标，即可求四边形的面积． （3）分两种情况，当时和当时，分别解出关于k的不等式解题即可． 解不等式即可求解． 【解析】（1）解： 当时，，当时，， ∴函数的图像如下： ∴点 故答案为：． （2）令则， ∴， 令， 解得：，， ，， ∴，， ∴． （3）①当时， ， 解得：， ②当时， ， 若，则， ∵， ∴，解得：， 那么，， 若时，则， ∵， ∴，解得：， 那么，， 综上所述，k的取值范围为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$