专题06 双曲线性质（15大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06双曲线性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：双曲线轨迹 题型二：双曲线方程与图像 题型三：双曲线第一定义 题型四：双曲线焦半径 题型五：双曲线第三定义 题型六：第一定义形式求最值 题型七：焦点三角形面积 题型八：双曲线渐近线开口 题型九：双曲线渐近线与离心率 题型十：焦点直角三角形与离心率 题型十一：焦点三角形双余弦定理求离心率 题型十二：焦点弦定比分点求离心率 题型十三：共焦点椭圆与双曲线 题型十四：焦点三角形内心 题型十五：小题大做型求离心率 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 双曲线轨迹 ⭐技巧积累与运用 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 1．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 3．过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为 ． 题型02 双曲线方程与图像 ⭐技巧积累与运用 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 性质 范围 _或，R 或 ，R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1,A2 _A1,A2 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b； 实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 _ 渐近线 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 3．如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 题型03 双曲线第一定义 ⭐技巧积累与运用 双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0) 1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2．下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 3．如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 题型04 双曲线焦半径 ⭐技巧积累与运用 双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0) 对于左焦点，双曲线焦半径满足： 1．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 3．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 题型05双曲线第三定义 ⭐技巧积累与运用 第三定义：AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 中点性质： AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 1．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的左、右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称，则下列选项正确的是（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线AP与BQ的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 3．已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 题型06第一定义形式求最值 ⭐技巧积累与运用 第一定义思维： 涉及到双曲线一个焦点，一般连接另外一个焦点。由定义，到一个焦点的距离，转化为到另外一个焦点的距离（消元） 1．已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（    ） A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B．若，则的最小值是 C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 3．已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 题型07 焦点三角形面积 ⭐技巧积累与运用 双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 1．已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 2．已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的方程为 C．的面积为 D．的周长为 3．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 题型08 双曲线渐近线开口 ⭐技巧积累与运用 双曲线的开口大小是指两只的距离，也就是曲线的宽度。 当离心率越小，双曲线形状越接近两条直线，此时开口大小越大 当离心率越大，双曲线的形状越扁平，此时双曲线开口大小越小 1．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 3．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为 ．    题型09 双曲线渐近线与离心率 ⭐技巧积累与运用 渐近线方程 令， 令， 共渐近线的双曲线方程 一些二级结论： （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）双曲线的焦点在渐近线上的射影对实轴两顶点的张角是直角（了解） 1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为 3．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率e= . 题型10 焦点直角三角形与离心率 ⭐技巧积累与运用 双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． 1．已知双曲线的左、右焦点分别.是上一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 3．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 题型11 焦点三角形双余弦定理求离心率 ⭐技巧积累与运用 焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率 1．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 2．已知双曲线的两个焦点为，，过作圆的切线，切线与交于，两点. 若，则的离心率可能为（     ） A． B． C． D． 3．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 . 题型12 焦点弦定比分点求离心率 ⭐技巧积累与运用 1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 3．已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 题型13共焦点椭圆与双曲线 ⭐技巧积累与运用 共焦点椭圆与双曲线 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 1．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．的内心为，到轴的距离为 D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆 3．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为 . 题型14焦点三角形内心 ⭐技巧积累与运用 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 1．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（   ） A．的离心率等于 B．切点与右焦点重合 C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ． 题型15小题大做型求离心率 ⭐技巧积累与运用 1.条件复杂，需要通过繁琐的方程联立来求坐标进行运算。 2.大题的韦达定理型 3.利用正弦定理或者余弦定理解三角形（有时候是直角三角形，用勾股定理） 1．已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一､四象限的渐近线分别于两点.当时，该双曲线的离心率为（    ） A． B．8 C． D． 2．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 能力培优 1．设双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点为，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 2．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 5．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7． 双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（    ）    A．到两条渐近线的距离之和为2 B．当直线运动时，始终有 C．在中， D．内切圆半径取值范围为 8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 9.已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 10．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 高考真题 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 6．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06双曲线性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：双曲线轨迹 题型二：双曲线方程与图像 题型三：双曲线第一定义 题型四：双曲线焦半径 题型五：双曲线第三定义 题型六：第一定义形式求最值 题型七：焦点三角形面积 题型八：双曲线渐近线开口 题型九：双曲线渐近线与离心率 题型十：焦点直角三角形与离心率 题型十一：焦点三角形双余弦定理求离心率 题型十二：焦点弦定比分点求离心率 题型十三：共焦点椭圆与双曲线 题型十四：焦点三角形内心 题型十五：小题大做型求离心率 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 双曲线轨迹 ⭐技巧积累与运用 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 1．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以.   已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为.   因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 又因为，所以，即.   故选：D. 2．在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，所以， 对于A：因为，所以点是以、为焦点的双曲线，故A正确； 对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则，， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 3．过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为 ． 【答案】（且） 【分析】设及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则，是此方程的两根，，，即， 所以，得，又，所以， 即曲线的方程为（且）．故答案为：（且）. 题型02 双曲线方程与图像 ⭐技巧积累与运用 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 性质 范围 _或，R 或 ，R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1,A2 _A1,A2 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b； 实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 _ 渐近线 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线标准方程的形式，得到不等式，得到的取值范围. 【详解】对于方程表示双曲线，则， 解得 或. 故选：D. 2．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 3．如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质计算即可. 【详解】设双曲线的方程为，由题意得，则， ，则，，所以双曲线的方程为. 故答案为：. 题型03 双曲线第一定义 ⭐技巧积累与运用 双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0) 1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或，又，，而或， 所以.故选：A. 2．下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 3．如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到的方程组，由此可求，则的结果可知. 【详解】由椭圆定义可知：，由双曲线定义可知：， 解得，所以， 故答案为：. 题型04 双曲线焦半径 ⭐技巧积累与运用 双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0) 对于左焦点，双曲线焦半径满足： 1．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C； 利用椭圆定义求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误； 对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确； 对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点， 当为左顶点时，，C正确； 对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点， 而，则， 当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误. 故选：BC 3．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，，所以， 由双曲线性质可得，设，，则， 设，，设，， 因为，所以，，所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4，即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.   题型05双曲线第三定义 ⭐技巧积累与运用 第三定义：AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 中点性质： AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 1．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线方程为，设，代入双曲线方程相减，结合中点坐标，直线斜率得出关系，然后由焦点坐标求得得双曲线方程． 【详解】设双曲线方程为，， 则，两式相减得，所以， 为线段中点，则，，又， 所以，即，而是焦点，所以，，则， 经验证双曲线符合题意，所以双曲线方程为，故选：B． 2．双曲线的左、右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称，则下列选项正确的是（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线AP与BQ的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】ACD 【分析】根据题设有，双曲线焦点为，即可得以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程，求双曲线离心率判断A、B；令，则，应用斜率两点式及点在双曲线求判断C；应用点线距离求双曲线C的焦点到渐近线的距离. 【详解】由题设，焦点为， 以C焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆，其参数，则方程为，A对； 由方程知双曲线C的离心率为，B错； 令，则，则， 又，则，则，C对； 由双曲线渐近线为，即，则焦点到渐近线的距离，D对. 故选：ACD 3．已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 【答案】30 【分析】由直线的斜率公式求出直线的斜率，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，求出，再根据向量的数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则，解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以.故答案为：30. 题型06第一定义形式求最值 ⭐技巧积累与运用 第一定义思维： 涉及到双曲线一个焦点，一般连接另外一个焦点。由定义，到一个焦点的距离，转化为到另外一个焦点的距离（消元） 1．已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D. 2．已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（    ） A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B．若，则的最小值是 C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的定义转换可得的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点的坐标，从而判断C；根据线段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D. 【详解】对于A，依题意设双曲线（且），即， 又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误； 对于B，因为，所以，    ，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确； 对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为．    则，，，所以， ，解得，， 连接，则内切圆半径，，，， 所以轴，点在第二象限，坐标为，故C正确； 对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设，， 则，且，作差可得， 整理得，即（*）， 在中，，则， 故，即， 将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确． 故选：BCD． 3．已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 【答案】2 【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案. 【详解】由椭圆，则，，易知为椭圆的左右焦点， 由为椭圆上的点，则，可得，所以，联立，解得，当时，取得最小值，则取得最小值 如下图：； 当时，取得最大值，则取得最大值，如下图： . 所以的最大值与最小值的比值为.故答案为：. 题型07 焦点三角形面积 ⭐技巧积累与运用 双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 1．已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以，则的面积为，，解得.故选：C. 【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 2．已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得，，再由点在圆上得，消去可得的关系，即，联立解得，进而可得，再依选项逐个求解判断可得. 【详解】由题意知，设焦距为，则.设椭圆的长轴长为，短轴长为， 双曲线的实轴长为，虚轴长为，根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知，，则 由双曲线的定义知，，则 由两式相加化简得，点在圆上，，， 则，则，又，A项，联立， 解得，，故A正确； B项，由A可知，，，解得，，则， 所以双曲线方程为，故B正确； C项，由，，则 ，所以的面积，故C正确； D项，的周长为，故D错误. 故选：ABC. 3．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积. 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为.故答案为：3. 题型08 双曲线渐近线开口 ⭐技巧积累与运用 双曲线的开口大小是指两只的距离，也就是曲线的宽度。 当离心率越小，双曲线形状越接近两条直线，此时开口大小越大 当离心率越大，双曲线的形状越扁平，此时双曲线开口大小越小 1．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于， 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故， 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故， 综上， 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【答案】BC 【分析】根据椭圆以及双曲线的离心率公式，即可结合性质求解. 【详解】对于AB，椭圆的离心率，故离心率越大，越小，因此椭圆越扁平，故A不正确，B正确； 对于CD，双曲线的离心率，故离心率越大，可得越大，因此双曲线开口越大，C正确，D错误； 故选：BC． 3．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为 ．    【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值， 又由，可得， 根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得， 所以. 故答案为：. 题型09 双曲线渐近线与离心率 ⭐技巧积累与运用 渐近线方程 令， 令， 共渐近线的双曲线方程 一些二级结论： （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）双曲线的焦点在渐近线上的射影对实轴两顶点的张角是直角（了解） 1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的渐近线方程求出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，， 所以双曲线的离心率. 故选：B 2．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为 【答案】ACD 【分析】根据渐近线方程求，根据双曲线方程求离心率，即可判断AB，根据双曲线的定义，结合数形结合判断C，根据双曲线方程求点的坐标，再根据的面积和周长，即可求内切圆的半径，判断D. 【详解】A.由双曲线方程可知，双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 所以的方程为，故A正确； B.由双曲线的方程，可知，，， 则，所以离心率，故B错误； C.，， ， 当点三点共线且依序排列时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； D.D. 的方程为，当时，，， ，计算可得，，， 所以的面积为， 的周长为， 设△的内切圆的半径为，则，得，故D正确. 故选：ACD 3．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率e= . 【答案】2 【分析】根据渐近线方程求出，进而求出，可求得离心率. 【详解】对于双曲线，标准方程为，则，， 又双曲线的渐近线方程为，所以，解得， 则，，. 故答案为：2. 题型10 焦点直角三角形与离心率 ⭐技巧积累与运用 双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． 1．已知双曲线的左、右焦点分别.是上一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理，结合余弦定理和建立关于的方程，即可求解. 【详解】如图： 设，则，因为， 所以，根据双曲线的定义:， 因为，由勾股定理得：， 所以，则. 在中，. 在中，. 因为，所以， 从而， 即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 2．已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 【答案】BCD 【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可. 【详解】由双曲线的定义可得， 因为，所以，故A错误； 因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为， 所以，所以的面积为，故B正确； 由勾股定理得，即，所以，故C正确 因为，所以，即 所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确 故选：BCD 3．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 题型11 焦点三角形双余弦定理求离心率 ⭐技巧积累与运用 焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率 1．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】令，由，得，，    由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 2．已知双曲线的两个焦点为，，过作圆的切线，切线与交于，两点. 若，则的离心率可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】讨论同时在双曲线的左支上和点在双曲线的两支上两种情况，求出之间的关系，结合离心率的计算公式，即可得答案. 【详解】当点同时在双曲线的左支上时，设切点为，则， . 作交于点，则，      因为为的中点，则为的中点，故，, 因为，为锐角，故， 所以，， ，所以， 则，故双曲线的离心率. 当点在双曲线的两支上时，仍有，，    因为，为锐角，故， 所以，， ，所以， 则，故双曲线的离心率. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合三角函数是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题. 3．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 . 【答案】或 【分析】由题意得到，从而，再根据 求得，从而利用双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】解：如图所示：由题意知：，则， 所以，易知：，则， 由双曲线的定义得：， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 即，解得或，所以离心率为：或， 故答案为：或 题型12 焦点弦定比分点求离心率 ⭐技巧积累与运用 1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再由勾股定理求出的关系即可得出离心率. 【详解】如图，延长与交于点， 因为，则，根据对称性可知. 设，则，可得，即， 所以，则， 即，可知， 在中，由勾股定理得，即， 解得. 故选：A. 2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率. 【详解】如图，由，可设，.因为，所以. 设，，则，，，解得， 则，，所以，故A选项正确；，故B选项错误； 在中，由，得，则， 从而的离心率为，故C选项正确. 又，所以直线的斜率为，故D选项正确. 故选：ACD. 3．已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得.故答案为：. 题型13共焦点椭圆与双曲线 ⭐技巧积累与运用 共焦点椭圆与双曲线 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 1．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围. 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义， 可得，， 又，由余弦定理得， 可得，得，即， 可得，即，又时，可得， 即，亦即，得.故选：B 2．已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．的内心为，到轴的距离为 D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆 【答案】AC 【分析】由椭圆、双曲线定义及余弦定理得到，即可判断A；再由离心率公式及基本不等式“1”的代换求最小值判断B；根据圆切线的性质及双曲线定义求双曲线与轴切点横坐标判断C；延长交于，若为中点，连接，根据已知易得为平行四边形，令有，结合已知条件判断D. 【详解】若椭圆、双曲线半焦距为，则，且分别为左右焦点， 中，令，则， ， 所以，则， 上式消去，得，而， 若，即，则，A对； 由上知，故， 当且仅当，即时取等号，B错； 若为内切圆与各边切点，如下图，则， 又， 所以，即切点为双曲线右顶点，有轴， 所以到轴的距离为，C对； 延长交于，若为中点，连接， 由题意且平分，故为等腰三角形且， 所以，在中为中位线，则， 且，故为平行四边形，令，则， 所以，又在第一象限且不定，故点的轨迹不为圆，D错.    故选：AC 【点睛】关键点点睛：利用椭圆、双曲线定义、余弦定理得到判断A、B的关键，由圆切线性质和双曲线定义判断C的关键，找到点与某定点的距离并写出方程为关键. 3．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，设，利用三角换元求出的最大值即可. 【详解】设椭圆，双曲线，且设， 由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，得，， 得，，由余弦定理可得，所以③， 设，所以， 当即时，取最大值为.故答案为：. 题型14焦点三角形内心 ⭐技巧积累与运用 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 1．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得点的坐标，设，，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于，的方程，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为， 可得直线的方程为，与双曲线联立， 可得，，设，，由三角形的等面积法可得，化简可得，① 由双曲线的定义可得，② 在三角形中，为直线的倾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：A． 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等面积法．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系． 2．已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（   ） A．的离心率等于 B．切点与右焦点重合 C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据渐近线方程求出，得到离心率；B选项，由双曲线定义和切线长定理得到，得到切点与右焦点重合；C选项，根据双曲线定义和的内切圆的半径得到；D选项，作出辅助线，得到，利用万能公式得到答案. 【详解】A选项，由题意得，解得，故离心率，A正确； B选项，， 由双曲线定义可得，， 两式相减得，即， 故切点与右焦点重合，B正确； C选项，的内切圆的半径为， 故 ，C错误； D选项，连接，则平分，其中， 故，所以 .选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点与右焦点重合，从而推理得到四个选项的正误. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设的内切圆圆心为，结合双曲线定义可求得为双曲线的右顶点，设，则，利用二倍角正切公式可构造关于的齐次方程，解方程即可求得离心率. 【详解】设的内切圆圆心为，且与三边相切于点， ，，，由双曲线定义知：， ，又， ，，为双曲线的右顶点，即的横坐标为， 又的内切圆半径为，，设，则，， 因为与双曲线渐近线平行，且双曲线渐近线方程为， 所以，，整理可得：， ，解得：或，又，. 故答案为：. 题型15小题大做型求离心率 ⭐技巧积累与运用 1.条件复杂，需要通过繁琐的方程联立来求坐标进行运算。 2.大题的韦达定理型 3.利用正弦定理或者余弦定理解三角形（有时候是直角三角形，用勾股定理） 1．已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一､四象限的渐近线分别于两点.当时，该双曲线的离心率为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出双曲线C在点处的切线方程，与两渐近线联立求出两点坐标，由此证明点是线段的中点，可得，即得，计算求得，得解. 【详解】如图，设双曲线C在点处的切线为，切线与轴交于点， 根据题意点在双曲线第一象限，由，得， 所以，则在点的切线斜率为， 所以在点的切线方程为，令，得，所以点， 设点，，渐近线方程为，联立，解得， 所以点，同理可得， 又，，所以点是线段的中点， 所以，，即，解得. 又，所以，即， 所以.故选：A.， 【点睛】关键点睛：本题关键在求出两点坐标，证明点是线段的中点，可得，求得. 2．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即，且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是.故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）． 3．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】先根据题意得到，即，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率. 【详解】设，直线:， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 联立，整理得， 且， ，， 则， 所以整理得， 即由到直线:的距离， 又， 即，而， 因为，即，所以， 又，所以.故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，其中利用等面积法转化为关键. 能力培优 1．设双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点为，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的对称性不妨设，由题意可得，化简可得，可得，进而可得，求解即可. 【详解】因双曲线的渐近线为，焦点， 由双曲线的对称性不妨设，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. ，两边平方得， 所以，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 2．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得双曲线的半焦距和渐近线方程，再由圆心到两渐近线的距离相等得，由半径相等可得与，关系，求出的取值范围得到答案. 【详解】由已知得，双曲线得渐近线方程为：，由圆与渐近线相切可得， 半径，则，则圆的半径， ，则， 因为，所以，则，， 所以长得取值范围是. 故选：B. 3．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知轴，可得点与，则，化简可得，进而可得，即可得解. 【详解】易知轴，不妨设点在第一象限， 联立得，故，又，即， 可得，即，则，解得或（舍）， 即，则，故渐近线方程为，故选：C. 4．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可. 【详解】设， ，， .在△与△中：， 即：，， 当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，， 当与轴重合时，取最小，此时， 经上述分析得：，.故选：C. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思想的应用. 5．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得到渐近线的距离为，从而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，点到渐近线的距离为， 所以， 因为，，所以，所以， 因为，所以， 得，则，在中，由正弦定理得， 即，得，由双曲线的定义知， 所以，在中，由余弦定理得，即， 整理得，即，所以离心率为.故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合正、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题. 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据双曲线定义和勾股定理解得，计算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成关于的齐次方程计算即可. 【详解】设，，， 因为，则，则，解得 又因为，，则为的中点，所以， 则，在直角三角形中，， 即，化简得，将代入上式得， 则，化简得，两边同除得， 解得或1（舍去），则.故选：A.   【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用双曲线定义和勾股定理表示出相关线段之间关键，最后转化为齐次方程，解出即可. 7． 双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（    ）    A．到两条渐近线的距离之和为2 B．当直线运动时，始终有 C．在中， D．内切圆半径取值范围为 【答案】BC 【分析】选项A，设出点然后计算出渐近线，分别计算距离求解即可；选项B，设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计算即可；选项C，利用点坐标表示出，，然后利用三角形内角的角度关系得到，由选项可知，只需得到分母的值就可以得到正确答案；选项D，利用等面积法求三角形内切圆半径的方法，然后化简求解即可． 【详解】由题可知双曲线的标准方程为， 故两个渐近线方程分别为与，设点 由题可知，， 所以点到两个渐近线的距离分别为，， 由于，故 故，若，则是方程的两个实数根，显然该方程无解，不符合题意，故故选项A错误； 设点， ， ， 显然直线的斜率存在，设直线， 联立方程，，得，所以， 直线分别与渐近线与联立得， 得， 所以有，即， 由题可知，，， 所以，故选项B正确； 不妨设,，， 由题可知，，， 所以有，， ， ， 由题可知，， 故 所以， 整理得，故选项C正确； 由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径， 易知，， ，， 得， 因为， 得， 所以， 因为，所以，所以，，故选项D错误． 故选：BC． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，可判断A正确；由三角形性质可知只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，B错误；利用直角三角形的射影定理可知，可得，即，选项C判断正确，求出的表达式并利用函数单调性即可得出其取值范围，可判断D错误. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为；两渐近线倾斜角分别为和， 对于A，设圆与轴切点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为 由双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，即与轴垂直， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 对于B，由双曲线定义知，中，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，选项B判断错误； 对于C，在中，,， 设圆的半径分别为， 则由直角三角形的射影定理可知，即，则， 故，选项C判断正确； 对于D,由直线AB的倾斜角取值范围为可知的取值范围为, 则的取值范围为,故 则，令则在上单调递减，在上单调递增；易知，所以的值域为； 故的值域为，选项D判断错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆问题时，往往利用双曲线定义和圆的切线长定理可知圆心的横（纵）坐标与双曲线顶点的横（纵）坐标相同. 9.已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解. 【详解】当时，点在渐近线上，不合题意； 当时，不妨设， 则， 因为双曲线经过点， 所以， 所以，因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以，同理，因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，所以，所以，即，综上所述，. 故答案为：. 10．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】双曲线的右焦点为，四边形是平行四边形，有，，又，解得，中由余弦定理得，可求出得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的右焦点为，连接， 由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 又，，则有，， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理：， 即，得， 再由， 故渐近线方程为：，    故答案为：. 【点睛】方法点睛： 双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．双曲线的渐近线是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的渐近线，常见有两种方法：①求出a，b，代入渐近线方程；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，b的齐次式，代入渐近线方程即可． 高考真题 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 3．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，  因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以， 因为，所以， 所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D 4．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 5．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 6．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$