复习篇 08 双曲线 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

08 双曲线 【题型1】 双曲线的定义 【基础知识】 1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，. 解释 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏常州·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 2（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 3（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 【题型2】双曲线的方程与图像性质 【基础知识】 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 【经典例题】 角度1 判断双曲线的方程 【例1】（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【巩固练习】 1（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（多选）（24-25高二上·河南·期中）已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 角度2 求双曲线方程 【例1】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·河南·期中）已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 角度3 双曲线简单几何性质的运用 【例1】（多选）（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（    ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．的面积为 【例2】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·浙江绍兴·期中）双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为 A．2 B． C．1 D． 3（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·全国·课后作业）设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【题型3】直线与双曲线 【基础知识】 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【巩固练习】 1（23-24高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 2（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 2（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 3（24-25高二上·天津·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知曲线：，下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，所给方程没有轨迹 D．当且时，曲线的焦距为8 6（多选）（24-25高二上·山东菏泽·期中）关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 7（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过右焦点且斜率大于的直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程． 8（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点． (1)求的方程； (2)记斜率分别为，若，求的值． 【B组---提高题】 1（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，的内切圆与相切于点，若，，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. (1)求的方程； (2)当斜率为1时，求直线的方程； (3)求证：为定值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08 双曲线 【题型1】 双曲线的定义 【基础知识】 1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，. 解释 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏常州·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径 由题意可得，消去可得， 所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 2（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 3（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 【答案】B 【分析】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接. 由题意得， ∵M为线段FP的中点，为线段的中点， ∴， 由双曲线定义得，，故. 故选：B. 【题型2】双曲线的方程与图像性质 【基础知识】 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 【经典例题】 角度1 判断双曲线的方程 【例1】（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 【巩固练习】 1（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的特征得到的取值，再根据充分条件的判定即可得到结果. 【详解】若方程表示双曲线， 则，得或， 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 2（多选）（24-25高二上·河南·期中）已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可. 【详解】当且时，方程为， 若，即，此时方程表示圆； 若，即， 当且时，，，方程表椭圆，故A错误； 当时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故B正确； 当时，方程为，表示两条直线； 当时，方程为，表示两条直线；故C正确； 方程不可能表示抛物线，故D错误. 故选：BC 角度2 求双曲线方程 【例1】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程可求得焦点坐标，再由离心率为即可得双曲线C的方程. 【详解】由椭圆方程可得其焦点坐标为，即； 又双曲线离心率为，可得，可知； 则， 所以双曲线C的方程. 故选：D 【巩固练习】 1（24-25高二上·河南·期中）已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，判断双曲线焦点位置，求出的值，即得双曲线方程. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且，，即， 利用可联立求得， 故双曲线的方程为：. 故选：D. 2（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 角度3 双曲线简单几何性质的运用 【例1】（多选）（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（    ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．的面积为 【答案】AC 【分析】求出的值，可判断A选项；利用双曲线的定义可得出，，然后解，可求出的值，可得出的值，进一步可得出的值，可判断BC选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，双曲线的焦距为，故A正确； 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 由对称性可知，（为原点）， 又因为， 所以在中，，得， 所以，，故虚轴长为，离心率，故B错误，C正确； 因为，故D错误． 故选：AC． 【例2】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，用分别表示，再由得到之间的关系，结合余弦定理即可得的关系，可得离心率. 【详解】设，如下图所示：    由题意可得，； 又，由可得， 即，解得； 所以； 因为，所以； 即，可得， 即，解得. 故选：D 【巩固练习】 1（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可得，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 2（24-25高二上·浙江绍兴·期中）双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出渐近线和左焦点坐标，利用点到直线距离公式求解. 【详解】由已知得，则左焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为， 因为焦点到两条渐近线的距离相等， 所以左焦点到其中一条渐近线的距离为， 故选：. 3（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 4（24-25高二上·全国·课后作业）设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据条件求点的坐标，再代入数量积公式，即可求解. 【详解】设点，依题意得， 而，所以， 又=1，所以， 所以. 故选：B 5（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B.    【题型3】直线与双曲线 【基础知识】 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【巩固练习】 1（23-24高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】(1)，； (2)1. 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 2（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 2（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 3（24-25高二上·天津·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据是边长为的等边三角形，求出和，再根据求解、，即可求得双曲线方程. 【详解】 因为是边长为的等边三角形，所以， ，所以渐近线的斜率， 因为，解得， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 4（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线焦距可得与，进而可得渐近线方程. 【详解】由已知双曲线的焦距，即， 所以，解得， 即双曲线方程为， 则其渐近线方程为， 故选：B. 5（多选）（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知曲线：，下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，所给方程没有轨迹 D．当且时，曲线的焦距为8 【答案】ACD 【分析】根据给定的曲线，结合椭圆与双曲线的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，，曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确； 对于B，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，B错误； 对于C，当时，等号左边为负数，方程不成立，所给方程没有轨迹，C正确； 对于D，当且时， 若时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，半焦距，曲线的焦距为， 若时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，半焦距，曲线的焦距为，D正确. 故选：ACD 6（多选）（24-25高二上·山东菏泽·期中）关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程求出、、，再根据双曲线的几何意义一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，， 所以渐近线为，故A正确； 离心率为，故B正确； 焦点坐标为，故C错误； 实轴长为，虚轴长为，所以的实轴长是虚轴长的倍，故D错误. 故选：AB 7（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过右焦点且斜率大于的直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴，可得，再由点在双曲线上和解方程可得； （2）设出直线方程，直曲联立，利用弦长公式求出，再求出直线方程即可； 【详解】（1） 因为点在上，所以①， 又为的右焦点，轴，则， 故②，联立①②可得，， 故的方程为． （2） 设直线的方程为，，， 因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，则， 联立消去整理得， ， 则，， 则 ， 解得，则（负值舍去）， 故直线的方程为 8（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点． (1)求的方程； (2)记斜率分别为，若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得C的方程. （2）设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率坐标公式及建立方程即可求出值. 【详解】（1）依题意，，由双曲线的离心率为， 得，即， 解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，，设点，， 由消去得， 由已知，， 且，所以， 所以，， 而， 由，得， 即， 整理得， 即，则， 即，于是， 要恒成立，则，解得，满足， 所以. 【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中已经给出等量关系，只需代入化简整理即可. 【B组---提高题】 1（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，的内切圆与相切于点，若，，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，设直线的方程为易得，再由得到，从而，然后利用切线长定理和双曲线的定义，结合，求得，然后将代入双曲线的方程求解. 【详解】解：如图所示：    由题意可知直线的方程为，， 因为，又， 所以，极点的纵坐标， 代入直线的方程得，所以. 设的内切圆与分别切于点， 由双曲线的定义得，易知， 结合切线长定理可得， 因为，所以. 解法一  所以双曲线的方程为，将的坐标代入，得，得， 故双曲线的焦距为. 解法二  易知轴，即为等腰直角三角形. 由双曲线的定义可得， 则，得， 故双曲线的焦距为. 故选：D 2（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. (1)求的方程； (2)当斜率为1时，求直线的方程； (3)求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）分别联立直线，直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点坐标，即可得到直线的斜率以及直线的方程，再由点到直线的距离公式分别得到到的距离以及到的距离，即可得到结果. 【详解】（1）由，得，又因为，所以， 所以，所以：. （2）由题知：，设，则， 联立，消去可得， 则，所以， 则， 又直线，互相垂直，则，设， 则， 联立，消去可得， 则，所以， 则，所以：. （3）由题意可知，的斜率不为0，设：，，. 由可得，. 所以，，，所以. 所以，所以. 同理可得：，. 令，得. 当，，时， 直线的斜率. 所以：， 化简得：，即为：. 所以到的距离， 所以到的距离， 所以. 由（2）知，当时，，所以. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$