第4章 一元一次方程（单元测试卷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024）

第4章 一元一次方程（单元测试卷） （时间：120分钟，满分：120分） 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．下列一元一次方程的解是的是　　 A． B． C． D． 3．已知，则下列变形中正确的个数为　　 ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列方程变形中，正确的是　　 A．方程，移项得， B．方程，去括号得， C．方程，系数化为1得， D．方程，去分母得， 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 6．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是　　 A． B． C． D． 7．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是　　 A．21 B．0 C．1 D． 8．某衣服店正举办新年特惠活动，如图为活动说明，小华打算在该店同时购买一件羽绒服及一件大衣，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．小华计算后发现，使用折价券比参加特惠活动少花费50元，则两件衣服的定价之差为　　 A．100元 B．150元 C．200元 D．250元 9．方程的解是　　 A． B． C． D． 10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知，利用等式的性质比较与的大小关系：　　（填“”，“ ”或“” ）． 12．若方程是关于的一元一次方程，则　　． 13．已知关于的一元一次方程的解是，则的值为　　． 14．多项式和，为实数，且的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时多项式对应的值，则关于的方程的解是　　． 1 2 3 4 0 1 1 15．已知关于的一元一次方程有无数个解，则　　． 16．整理一批图书，由一个人完成需要．现计划由一部分人先整理，然后增加4人与他们一起整理，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了　　人． 17．如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“整距方程”，例如：方程是方程的“整距方程”．当时，如果关于方程是方程的“整距方程”，则代数式的值等于　　． 18．如图，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒2个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动　　秒时，点恰好是的中点． 三．解答题（共9小题，共66分） 19．（8分）解关于的一元一次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（4分）若关于的方程的解与的解的和为7，求的值． 21．（6分）小华在解方程去分母时，方程右边的没有乘6，求得的方程的解为．求： （1）的值； （2）正确地解出原方程． 22．（6分）阅读以下信息，解决问题； 信息1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较、两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“△”，规定：△． （1）若△，求的值； （2）若△，△，比较与的大小，并说明理由． 23．（6分）用方程解决实际问题： 已知两地相距150千米，甲车的速度为每小时90千米，乙车的速度为每小时60千米． （1）若两车分别从、两地同时同向而行，问经过多长时间甲车追上乙车？ 设经小时甲车追上乙车，根据题意，可列出方程是：　　； （2）若两车同时从、两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？ 24．（8分）定义：关于的方程与方程、均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． （1）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则　　； （2）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； （3）若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 25．（8分）学校举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有，其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． （1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ （2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别，价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． （3）若购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下：无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变，则　　，总费用　　． 26．（10分）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如：方程和为“仁爱”方程． （1）方程和　　“仁爱”方程；（填“是”或“不是” ） （2）关于的一元一次方程和是“仁爱”方程，求的值； （3）关于的一元一次方程和是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程的解． 27．（10分）点，分别对应数轴上的数，，且，满足，点是线段上一点，． （1）直接写出　　，　　，点对应的数为　　； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①若，求的值； ②若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，直接写出为何值时，恰好是的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程（单元测试卷） （时间：120分钟，满分：120分） 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：．方程是一元一次方程，选项符合题意； ．方程未知数的次数是2，不是一元一次方程，选项不合题意； ．不是方程，选项不合题意； ．方程含有两个未知数，不是一元一次方程，选项不合题意． 故本题选：． 2．下列一元一次方程的解是的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：、，解得：，故错误； 、，解得：，故错误； 、，解得：，故正确； 、，解得：，故错误． 故本题选：． 3．已知，则下列变形中正确的个数为　　 ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①，，故正确； ②，，故正确； ③当时，无意义，故错误； ④，，，正确． 故本题选：． 4．下列方程变形中，正确的是　　 A．方程，移项得， B．方程，去括号得， C．方程，系数化为1得， D．方程，去分母得， 【详解】解：、方程，移项得：，故错误； 、方程，去括号得：，故错误； 、方程，系数化为1得：，故错误； 、方程，去分母得：，正确． 故本题选：． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【详解】解：设有牧童人， 由题意可得：． 故本题选：． 6．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是　　 A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∴原方程为：，解得：． 故本题选：． 7．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是　　 A．21 B．0 C．1 D． 【详解】解：， ， 关于的方程的解是， 关于的一元一次方程的解满足， ． 故本题选：． 8．某衣服店正举办新年特惠活动，如图为活动说明，小华打算在该店同时购买一件羽绒服及一件大衣，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．小华计算后发现，使用折价券比参加特惠活动少花费50元，则两件衣服的定价之差为　　 A．100元 B．150元 C．200元 D．250元 【详解】解：设定价较低的衣服的定价为元，两件衣服的定价之差为元， 则定价较高的衣服的定价为元， 由题意可得：， 整理得：，解得：， 两件衣服的定价之差为250元． 故本题选：． 9．方程的解是　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ， ， ， ． 故本题选：． 10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 【详解】解：设， 则， ，解得：． 故本题选：． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知，利用等式的性质比较与的大小关系：　　（填“”，“ ”或“” ）． 【详解】解：等式的两边都减去得：， 等式的两边都除以3得：， ． 故本题答案为：． 12．若方程是关于的一元一次方程，则　　． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且，解得：． 故本题答案为：3． 13．已知关于的一元一次方程的解是，则的值为　　． 【详解】解：将代入方程中得：，即， ∴． 故本题答案为：0． 14．多项式和，为实数，且的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时多项式对应的值，则关于的方程的解是　　． 1 2 3 4 0 1 1 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，， ∴关于的方程的解是． 故本题答案为：． 15．已知关于的一元一次方程有无数个解，则　　． 【详解】解：，， 关于的一元一次方程有无数个解， ，， ，， ． 故本题答案为：． 16．整理一批图书，由一个人完成需要．现计划由一部分人先整理，然后增加4人与他们一起整理，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了　　人． 【详解】解：设先安排了人， 由题意可得：，解得：， 先安排了2人． 故本题答案为：2． 17．如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“整距方程”，例如：方程是方程的“整距方程”．当时，如果关于方程是方程的“整距方程”，则代数式的值等于　　． 【详解】解：关于方程的解为，方程的解为， 关于方程是方程的“整距方程”， 或， 即或， 原式 ． 故本题答案为：． 18．如图，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒2个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动　　秒时，点恰好是的中点． 【详解】解：设运动时间为秒， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度在线段上来回运动，且， 动点从点到点的时间为：（秒， 当第一次回到点时两个点同时停止运动， 的取值范围是：， 点是的中点， ， ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 综上，当点运动16或或或64秒时，点恰好是的中点． 故本题答案为：16或或或64． 三．解答题（共9小题，共66分） 19．（8分）解关于的一元一次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1） ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ． 20．（4分）若关于的方程的解与的解的和为7，求的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 由题意可得：，解得：． 21．（6分）小华在解方程去分母时，方程右边的没有乘6，求得的方程的解为．求： （1）的值； （2）正确地解出原方程． 【详解】解：（1）在解方程去分母时，方程右边的没有乘6， 两边同时乘6得：， 化简得：， ， ； （2）两边同时乘6得：， 化简得：， ， ， 原方程的解为：． 22．（6分）阅读以下信息，解决问题； 信息1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较、两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“△”，规定：△． （1）若△，求的值； （2）若△，△，比较与的大小，并说明理由． 【详解】解：（1）△，，解得：； （2），理由如下： △，△， ，， ， 无论为何实数，总有， ， ． 23．（6分）用方程解决实际问题： 已知两地相距150千米，甲车的速度为每小时90千米，乙车的速度为每小时60千米． （1）若两车分别从、两地同时同向而行，问经过多长时间甲车追上乙车？ 设经小时甲车追上乙车，根据题意，可列出方程是：　　； （2）若两车同时从、两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？ 【详解】解：（1）设经过小时甲车追上乙车， 由题意可得：， 故本题答案为：； （2）设经过小时两车相距60千米， 由题意可得：或，解得：或， 答：经过小时或小时两车相距60千米． 24．（8分）定义：关于的方程与方程、均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． （1）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则　　； （2）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； （3）若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【详解】解：（1）与方程互为“伴生方程”， ， 故本题答案为：2； （2）将写成的形式， 将写成的形式， 与方程互为“伴生方程”， ， ， 、的值分别是，6； （3）的“伴生方程”为， 由得：， 当得：， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 25．（8分）学校举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有，其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． （1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ （2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别，价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． （3）若购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下：无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变，则　　，总费用　　． 【详解】解：（1）设双色圆珠笔的单价为元，则单色圆珠笔的单价为元， 由题意可得：，解得：， ， 双色圆珠笔的单价为0.6元，单色圆珠笔的单价为0.4元； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是支，则购买双色圆珠笔数量为支， ①若购买球珠直径的三色笔，则，解得：， 这种情况不符合题意； ②若购买球珠直径的三色笔，则，解得：， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支； （3）设购买三色圆珠笔支，则购买单色圆珠笔支，购买双色圆珠笔支， 由题意可知：购买这三种圆珠笔的费用为， 无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变， 的值与无关， ， ， 此时总费用为600元， 故本题答案为：1，600． 26．（10分）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如：方程和为“仁爱”方程． （1）方程和　　“仁爱”方程；（填“是”或“不是” ） （2）关于的一元一次方程和是“仁爱”方程，求的值； （3）关于的一元一次方程和是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程的解． 【详解】解：（1），解得：， ，解得：， ， 这两个方程不是“仁爱”方程， 故本题答案为：不是； （2），解得：， ，解得：， 和是“仁爱”方程， ，解得：； （3），解得：， 和是“仁爱”方程， 的解为：， 可变形为：， 的解满足：，解得：． 27．（10分）点，分别对应数轴上的数，，且，满足，点是线段上一点，． （1）直接写出　　，　　，点对应的数为　　； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①若，求的值； ②若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，直接写出为何值时，恰好是的中点． 【详解】解：（1）， ，，解得：，， 点是线段上一点，， 点对应的数为， 故本题答案为：，10，2； （2）①当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴的值为或； ②为或秒时，恰好是的中点，理由如下： （秒）， 与点相遇前，，解得：， 与点相遇后，，解得：， ∴为或秒时，恰好是的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$