5.6函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024级高一数学预习学案 编号：39 济南西城实验中学 5.6　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质 课标要求　1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.3.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象确定其解析式.4.整体把握函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质，并能解决有关问题. 1.问题　明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理.如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车M从点P0运动到点P.设点P距水面的高度为H. (1)H由哪些量决定？ 提示　H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，筒车的初始位置P0以及所经过的时间t. (2)如何将点P距离水面的高度H表示为时间t(s)的函数？ 提示　H＝rsin(ωt＋φ)＋h. 2.思考. φ(φ≠0) ， ω(ω>0) ， A(A>0) 对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 并指出y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，写出其变换步骤. 提示：由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种： (1)y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）； （2）y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）. 3 思考如何用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象 并用“五点法”画出y＝2sin在一个周期内的简图. 解　令X＝3x＋，则x＝， (1)列表如下： X 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 (2)描点连线，函数图象如图所示. 4.思考如何确定函数y＝Asin（ωx＋φ）解析式中的参数A，ω，φ。 (1)根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如何求A? 提示　根据图象的最高(或最低)点确定A. (2)根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如何确定ω？ 提示　利用周期T＝确定ω的值. (3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？ 提示　φ＝kπ，k∈Z. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则φ应满足什么条件？ 提示　φ＝kπ＋，k∈Z. （4）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心坐标是什么？ 提示　由ωx＋φ＝kπ，得x＝，k∈Z， ∴对称中心，k∈Z. (5）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称轴方程是什么？ 提示　由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，得对称轴x＝，k∈Z. 5.填空　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 6.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.(√) (2)在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.(×) (3)函数y＝sin的图象对称轴为x＝＋(k∈Z).(√) (4)函数f(x)＝sin的图象的对称中心是(k∈Z).(×) 7.做一做　若f(x)＝cos是奇函数，则φ＝　　　　. 答案　 解析　由题意＋φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝＋kπ，k∈Z. 又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝. 题型一　由图象求三角函数的解析式 例1 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式. 解　法一(逐一定参法) 由图象知A＝3，T＝－＝π， ∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ). ∵点在函数图象上， ∴0＝3sin. ∴－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)， 得φ＝＋2kπ(k∈Z). 又|φ|<，∴φ＝， 从而y＝3sin. 法二(待定系数法) 由图象知A＝3. ∵图象过点和， ∴ 解得 ∴y＝3sin. 法三(图象变换法) 由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到， 所以y＝3sin 2， 即y＝3sin. 思维升华　已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. 法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数. 训练1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，求f(x)的解析式. 解　由图象知f(x)min＝0，且f(x)max＝4， 所以A＝＝2，B＝＝2， 又T＝＝4＝π，知ω＝2. 又f＝4，得sin＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 则φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝， 故函数f(x)＝2sin＋2. 题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性 例2 已知函数f(x)＝4sin(ω>0)的最小正周期是3π，将其图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的函数图象的一条对称轴的方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 答案　D 解析　由f(x)的最小正周期T＝3π， 得T＝＝3π，知ω＝， ∴函数f(x)＝4sin. 将图象向左平移个单位长度， 得y＝4sin， 令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z). 取k＝1时，x＝， ∴x＝是所得函数图象的一条对称轴. 思维升华　1.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z求得； 对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得. 2.对于y＝Acos(ωx＋φ)，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求对称轴；由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求对称中心横坐标. 训练2 (1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x∈R，都有f＝f(x)，若函数g(x)＝cos(ωx＋φ)＋1，则g的值是(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　B 解析　由f＝f(x)，知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象关于x＝对称， 则＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴g＝cos＋1＝cos＋1＝1. (2)如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω＝　　　　. 答案　6 解析　∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为， ∴周期T＝2×＝， 由＝，得ω＝6. 题型三　y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 例3 已知函数f(x)＝sin＋. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 解　(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)， 则x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)， 则x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). (3)由sin＝－1， 得2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是. 思维升华　研究y＝Asin(ωx＋φ)性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间. (2)确定y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间. 训练3 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 4 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)图象的对称轴方程； (3)若函数f(x)的值域为B，集合C＝{x|m－1≤x≤m＋3}且B∪C＝B，求实数m的取值范围. 解　(1)由表格中数据知A＝4，T＝π， ∴ω＝2，从而φ＝－， 因此f(x)＝4sin. 补全数据如表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 4 0 －4 0 (2)令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， ∴函数f(x)图象的对称轴为x＝＋，k∈Z. (3)f(x)＝4sin的值域B＝[－4，4]， 又B∪C＝B，知C⊆B. 依题意，解得－3≤m≤1， 故实数m的取值范围为[－3，1]. [课堂小结] 1.由函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象求其解析式时的难点是求φ，一般用解方程法或“五点法”求解.注意求φ时单调递增区间和单调递减区间零点的区别. 2.涉及图象与性质的综合题，一般要利用三角恒等变换把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式后，再研究其性质. 3.求函数的最值时，要注意自变量取值范围的限制. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024级高一数学预习学案 编号:39 济南西城实验中学 5.6 函数y=Asin( x+ )的图象与性质 课标要求 1.会用“五点法”画出y=Asin( x+ )的图象.2.掌握y=sin x与y=Asin( x+ )图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.能根据y=Asin( x+ )的部分图象确定其解析式.4.整体把握函数y=Asin( x+ )的图象与性质,并能解决有关问题. 1.问题 明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理.如图,将筒车抽象为一个几何图形,设经过t s后,筒车M从点P0运动到点P.设点P距水面的高度为H. (1)H由哪些量决定? (2)如何将点P距离水面的高度H表示为时间t(s)的函数? 2.思考: ( ≠0) , ( >0) , A(A>0) 对y=sin(x+ )的图象的影响 并指出y=sin x与y=Asin( x+ )图象间的变换关系,写出其变换步骤. 3.思考:如何用“五点法”作y=Asin( x+ )的图象 并用“五点法”画出y=2sin在一个周期内的简图. 4.思考:如何根据图象确定函数y=Asin( x+ )解析式中的参数A, , 。 并结合图象写出函数y=Asin( x+ )(A>0, >0)的有关性质 性质 定义域 值域 周期性 对称中心 对称轴 奇偶性 单调性 5.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“ ”. (1)y=Asin( x+ )的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.( ) (2)在y=Asin( x+ )的图象中,相邻的两条对称轴的距离为1个周期.( ) (3)函数y=sin的图象对称轴为x=+(k∈Z).( ) (4)函数f(x)=sin的图象的对称中心是(k∈Z).( ) 6.做一做 若f(x)=cos是奇函数,则 = . 题型一 由图象求三角函数的解析式 例1 如图是函数y=Asin( x+ )的图象的一部分,求此函数的解析式. 训练1 已知函数f(x)=Asin( x+ )+B的部分图象如图所示,若A>0, >0,| |<,求f(x)的解析式. 题型二 函数y=Asin( x+ )图象的对称性 例2 已知函数f(x)=4sin( >0)的最小正周期是3 ,将其图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的函数图象的一条对称轴的方程是( ) A.x= B.x= C.x= D.x= 训练2 (1)已知函数f(x)=2sin( x+ )对任意的x∈R,都有f=f(x),若函数g(x)=cos( x+ )+1,则g的值是( ) A.0 B.1 C.2 D. (2)如果函数f(x)=cos( >0)的相邻两个零点之间的距离为,则 = . 题型三 y=Asin( x+ )性质的综合应用 例3 已知函数f(x)=sin+. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心; (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 训练3 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin( x+ )在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表: x+ 0 2 x Asin( x+ ) 0 4 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)图象的对称轴方程; (3)若函数f(x)的值域为B,集合C={x|m-1≤x≤m+3}且B∪C=B,求实数m的取值范围. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$