精品解析：广东省东莞市七校联考2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

东莞市2024-2025学年第一学期七校联考试题 一、单项选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知，满足，，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则sin（α＋β）=（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（ ） A. 190 B. 171 C. 153 D. 136 7. 对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象与轴有三个交点 D. 函数最大值为2 8. 定义在R上的函数满足，若且，则（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 二、多项选择题 9. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示， 则下列说法中正确的是（ ） 附：若随机变量X服从正态分布，则. A. 乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 10. 对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 曲线在处的切线的斜率为1 11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与圆相切的一条直线方程为______. 13. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______． 14. 已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面与平面的夹角为，求的长． 17. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市2024-2025学年第一学期七校联考试题 一、单项选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】由得：，即，. 故选：B. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法公式，求解，再求. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：A． 3. 已知，满足，，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求得，根据向量的夹角公式求得，的夹角. 【详解】因为，所以， 则， 由于，所以. 故选：B 4. 已知，，则sin（α＋β）=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，， 两式相加可得： ， 所以 ， 所以，解得， 故选：C. 5. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 6. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（ ） A. 190 B. 171 C. 153 D. 136 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考等差数列公式即可求解. 【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列， ，，，，，…， 由此得，即，则， 所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171. 故选：B. 7. 对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象与轴有三个交点 D. 函数最大值为2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意可得：， 令；解得或；令；解得； 所以，即， 作出函数的图像如下: 对于选项A：由图像可知为偶函数，故选项A错误. 对于选项B：由图像可知在区间上单调递增， 但. 可得在区间上不单调递增，故选项B错误. 对于选项C：由图像可知：函数图象与轴有三个交点，故选项C正确. 对于选项D：由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误. 故选：C. 8. 定义在R上的函数满足，若且，则（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到函数的图象关于直线对称，又，所以在上递增，在上递减，根据，分和 两种情况讨论求解. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又因为， 所以在上递增，在上递减， 当时，， 当时，因为，所以， 所以， 所以， 综上：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的对称性和导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题. 二、多项选择题 9. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示， 则下列说法中正确的是（ ） 附：若随机变量X服从正态分布，则. A. 乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称， 所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分， 故选项A正确，B错误； 因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”， 所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右， 则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小， 故选项C正确； 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为， 故选项D正确． 故选：ACD． 10. 对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 曲线在处的切线的斜率为1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简的表达式，采用验证法即可判断A；结合正弦函数的值域可判断B；根据三角函数图象的平移变换可判断C；根据导数的几何意义可判断D. 【详解】由题意知， 对于A，， 故函数的图象不关于点对称，A错误； 对于B，因为，所以， 则，B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，C错误； 对于D，，则， 故曲线在处的切线的斜率为1，D正确， 故选：BD 11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则， ，故， 可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与圆相切的一条直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据斜率是否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可. 【详解】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 13. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出，由题设两边同时平方计算，再由基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】因，由正弦定理可得， 即，所以，又， 所以，，设边上的中线为， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，求出所对应的方程的解，再根据奇函数的对称性得到函数解析式，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值. 【详解】令，即，解得，，， 因为函数为奇函数， 则函数图象关于原点对称，又， 即、中必有一个为，则另一个为， 所以， 则，符合题意； 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论； （2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值. 【小问1详解】 零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得 ， 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关. 【小问2详解】 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，， 所以， 则估计的值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面与平面的夹角为，求的长． 【答案】（1） 连接BD交AC于点O，连接OE，如图， 因为O为BD的中点，E为PD的中点， 所以． 又平面AEC，平面AEC， 所以平面AEC． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理得证； （2）由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，． 又，所以PA，AD，AB两两互相垂直， 故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示， 设，则，，，，， 所以，． 显然为平面DAE的一个法向量． 设平面ACE的一个法向量为， 则，即 令，得， 因为平面DAE与平面AEC的夹角为， 所以， 解得或（舍去），即· 17. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项公式的方法求解作答即可； (2)运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值. 【小问1详解】 数列是以1为公差的等差数列，且， ，， 当时，； 经检验，当时，满足上式. 【小问2详解】 由， 则 ， 而，所以，即的最小值为. 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②不妨设，，， 两式相加得， 两式相减得， 所以. 要证，只需证. 即证. 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）当时，求出导函数，进而求出，再由即可求解. （2）①根据题意将问题转化为方程有两个不同实根，，令，作出的大致图象以及，数形结合即可求解；②由题意不妨设，，，将两式分别相加、相减可得，只需证明，设，构造函数，利用函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 函数有两个不同的零点，， 等价于方程有两个不同实根，. ①令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由于，当时，； 当，， 的大致图象如图所示： 所以，当，即时， 函数有两个不同的零点，. ②略 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，解题的关键是构造关于的函数，还考查了转化化归的思想、分类讨论的思想和运算求解的能力． 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 【解析】 【分析】（1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. 【小问1详解】 由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； 【小问2详解】 （i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $