1.1导数的概念及其意义（5大题型提分练）（题型专练）数学湘教版选择性必修第二册

1.1导数的概念及其意义 题型一 函数平均变化率概念辨析 1．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从到花了，乙车从到花了，试比较两辆车的刹车性能． 2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二 函数平均变化率的计算 1．函数在区间上的平均变化率为 . 2．已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 3．已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 题型三 导数概念辨析 1．一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 2．函数在处的瞬时变化率等于 ． 3．已知函数在处的导数为4，则（   ） A． B．2 C． D．4 题型四 导数计算 1．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 3．已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 题型五 导数几何意义的应用 1．曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 4．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 1．已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 4．一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 5．设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 6．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 8．曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C．3 D．6 9．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数. (1)求函数 在区间 上的平均变化率； (2)求函数 的图象在点 处的切线方程. 11．如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 12．已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 13．下图为函数及其在点P处切线的图象， (1)求切线方程； (2)求． 14．已知曲线C：经过点，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率. (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点的曲线C的切线方程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1导数的概念及其意义 题型一 一函数平均变化率概念辨析 1．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从到花了，乙车从到花了，试比较两辆车的刹车性能． 【答案】甲车的刹车性能较好 【分析】利用速度平均变化率求解刹车性能即可. 【详解】甲车速度的平均变化率为． 乙车速度的平均变化率为， 平均变化率为负值说明速度在减少， 因为刹车后，甲车的速度变化相对较快， 所以甲车的刹车性能较好． 2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案. 【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，， 则，，， 由题中图象知，即． 故选：B. 题型二 函数平均变化率的计算 1．函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 2．已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【分析】（1）利用平均变化率的定义求解． （2）由（1）可知，令即可求解结果． 【详解】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 3．已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 【答案】3 【分析】分别求出函数在上的平均变化率以及函数在上的平均变化率，利用三倍的关系构成等量关系式，则答案可求. 【详解】函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 由题意知，解得． 题型三 导数概念辨析 1．一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 2．函数在处的瞬时变化率等于 ． 【答案】-1 【分析】求导，代入，求出，得到瞬时变化率. 【详解】，当时，， 故在处的瞬时变化率等于-1 故答案为：-1 3．已知函数在处的导数为4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由导数的定义变形求解可得. 【详解】由函数在处的导数为4， 则 . 故选：A. 题型四 导数计算 1．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据导数的定义即可求解. 【详解】由导函数的定义得 ． 故选：D. 2．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 3．已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 【答案】 【分析】根据导数的定义可得答案. 【详解】因为函数在处的切线斜率为， 且，则. 故答案为：. 题型五 导数几何意义的应用 1．曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线的斜率为， 当时，，所以切点为， 所以切线方程为，即. 故选：. 2．已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值. 【详解】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B 3．已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用直线的斜率公式可求，利用导数的定义可求，可得结论； （2）利用导数的定义可求点处的切线斜率，进而求得切线方程，求得其在轴和轴的截距，从而可得，求解即可. 【详解】（1）易知，所以割线的斜率， 点处的切线斜率， 所以． （2）点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为，即， 其在轴和轴的截距分别为和， 所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故，解得． 4．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 1．已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：B. 2．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑函数增长速度得到结论可得正确的选项. 【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 故选：D. 3．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在某点处的导数的定义即可求解. 【详解】由题得. 故选：B. 4．一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【详解】因为，所以时，， 即质点A在时的瞬时速度为. 故选：C 5．设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 6．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出，再由导数定义可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 7．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 8．曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】函数在点处切线的斜率为． 故选：B. 9．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 10．已知函数. (1)求函数 在区间 上的平均变化率； (2)求函数 的图象在点 处的切线方程. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）利用平均变化率的公式计算可得结果. （2）求导，计算，利用导数的几何意义可得切线斜率，结合点坐标得到切线方程. 【详解】（1）函数 在区间 上的平均变化率为 . （2）设函数 的图象在点 处的切线斜率为， ∵，∴， ∴， ∵ ， ∴切线方程为 ，即 . 11．如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【答案】或 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可列方程，即可求得答案. 【详解】设切点坐标为，则， 曲线在点P的切线与直线平行， 则切线斜率为 ， 则；当时，；当时，， 所以切点坐标为或. 12．已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 13．下图为函数及其在点P处切线的图象， (1)求切线方程； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过点、可得答案； （2）求出、可得答案． 【详解】（1）由题意得，直线过点、， 所以切线方程为， 即； （2）因为切线的斜率为， 所以，又， 所以． 14．已知曲线C：经过点，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率. (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点的曲线C的切线方程． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题意首先得，由导数的定义以及几何意义即可得切线斜率. （2）由（1）中的斜率即可求解. （3）设出切点，由切点在曲线上，切点出的斜率可以两点坐标表示出来，也可以用切点处的斜率表示出来，由此联立即可得切点以及斜率，进而求解. 【详解】（1）将代入中得，∴. 所以 ， ∴曲线在点P处切线的斜率为. （2）曲线在点P处的切线方程为，即. （3）∵点不在曲线C上， 设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点， 则切线斜率，由于，∴， ∴切点，切线斜率，切线方程为，即. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$