1.1.3导数的几何意义（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.1导数概念及其意义 1.1.3导数的几何意义 湘教版选择性必修第二册 第1章导数及其应用 湘教版选择性必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 通过函数的图象直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义求函数图象的切线 难点 3 体会“无限逼近”、“以直代曲”的数学思想 理解曲线的切线的概念； 通过函数的图象直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义求函数图象的切线； 体会“无限逼近”、“以直代曲”的数学思想。 新课导入 如图高台跳水运动员从高台跳水时, 设起跳后运动员相对水面的高度(单位)为， 我们运动员在时的瞬时速度的大小，你能指出此时瞬时速度的方向吗？ 运动员的运动轨迹是抛物线，其速度方向是时刻变化的，其在2s时刻的瞬时速度的方向线是抛物线的切线 如何求抛物线的切线斜率？ 如何求曲线的切线斜率？ 请说出函数y=f(x在区间[x0, x0+Δx]上的平均变化率，及其几何意义 温故知新 把 称为函数f (x)在区间[a，b]内的平均变化率． 如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0， f(x0))是曲线C上的任意一点，Q (x0+Δx， f(x0+Δx))为P邻近一点，则P Q为C的割线. O x y y=f(x) P Q 温故知新 x0+Δx (x0， f(x0)) (x0+Δx， f(x0+Δx)) x0 y=f(x) [x0, x0+Δx]上的平均变化率就是割线PQ的斜率 O x y y=f(x) P Q 割线 切线 T 观察图像思考： 当Δx趋近于0时观察点Q与点P的位置关系 新课讲授 x0 x0+Δx 点Q沿着曲线C趋近于点P时，割线PQ的变化趋势是什么？ 定义：当点Q沿曲线无限趋近于点P，割线PQ绕点P转动并趋于一确定的位置PT,称该位置上的直线PT为曲线在点P处的切线，P为切点 一、曲线的切线 思考1：割线PQ的斜率如何计算？ 思考2：根据割线与切线的关系，切线PT的斜率k如何计算？ 新课讲授 二、导数的几何意义 函数 y=f(x) 在点x0处的导数f‘(x0)的几何意义是： 即： 故曲线 y=f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线方程为： 新课讲授 新课讲授 是曲线 y=f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f ′(x0)不存在， 则该曲线在点P处的切线与y轴平行，即切线的倾斜角 为直角. 思考1：若函数 y=f(x) 在点P(x0，f(x0))处的导数 f'(x0) 不存在，则函数的切线有什么特点？ 新课讲授 思考2：那 f'(x0)=0，f'(x0)>0，f'(x0)<0呢？ f ′(x0)>0，切线的倾斜角为锐角； f ′(x0)<0，切线的倾斜角为钝角； f ′(x0)=0，切线的倾斜角为0°. 新课讲授 新课讲授 思考3： 1、圆的切线的定义是什么？ 2.曲线的切线与圆的切线有什么不同？ 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。 新课讲授 思考4：曲线的切线与曲线有怎样的关系？ 切线的本质,是在切点附近最接近曲线的直线,在这一点附近, 比起用其他直线,用切线近似地代替曲线,误差最小 这就是微积分中重要的思想方法-----以直代曲 数学家刘徽 圆的周长公式 “割圆术”求圆的周长 新课讲授 以直代曲 用计算机软件作图，画曲线时也是延用“以直代曲”的思想： 新课讲授 例9求函数f (x)=x²－3x＋c的图象上点 P(u，f (u))处切线的斜率． 解：在曲线上另取一点Q(u＋d，f (u＋d)) ． 因为 当d→0时，kPQ→2u－3． 因此，所求切线的斜率为2u－3． 典例分析 15 例10求曲线 在点 处切线的斜率． 解：在曲线上另取一点 ． 因为 当d→0时，kAB→ ． 因此，所求切线的斜率为 ． 典例分析 16 例11若曲线y =x3存在斜率为1的切线，试求出切线的方程． 解：设在曲线y =x3在点(x0，x03)处的斜率为1． 因为 所以，当d→0时，3x02＋3x0d＋d 2→3x02． 又切线的斜率为1， 所以3x02=1， 解得 ． 所以在点 和 处切线的斜率为1． 由点斜式方程可得切线方程为 和 ． 典例分析 17 求切线的斜率的步骤 (3)当d无限趋近于0时, 无限趋近于一个常数, 此常数即为点P处切线的斜率. (1) 设点P(x0，f(x0))，Q(x0+d，f(x0+d))； (2) 求割线的斜率kPQ； 学后总结 学以致用 学以致用 练习2 判断曲线 在点P(1，2) 处是否有切线，如果有，求出切线的斜率． 学以致用 21 导数的几何意义 函数f (x)在x = x0处的导数就是切线的斜率，即k = f ′(x0)． 曲线y =f (x)在x = x0处的切线方程为： y－f (x0) = f ′(x0)(x － x0)． 课堂小结 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 $$