精品解析：山东省青岛市城阳第三高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

山东省青岛市城阳第三高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 2024.12.13 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一般方程求出斜率，再由直线斜率与倾斜角的关系求解； 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，即， 所以直线的倾斜角是. 故选：D. 2. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置,写出,求得值即得. 【详解】由题意， 在中，椭圆的焦点在轴上,且, ∴， ∴椭圆焦点的坐标为. 故选：C. 3. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. +=4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 4. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解. 【详解】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中. 故选：B 5. 椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由设该弦与椭圆的两个交点分别为，，使用点差法，求出弦所在直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线方程，最后整理为一般方程的形式． 【详解】因为，可知点在椭圆内部， 设该弦与椭圆的两个交点分别为，，则， 且点为中点，则， 因为，两式作差可得， 则，即，可得， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 6. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 7. 已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率. 故选：B. 8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分.部分选对按要求得分 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时，，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：AD 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可. 【详解】依题意可得，A正确； 由，B错误； ，C正确； ，累加得，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用题目给定定义，然后结合累加法得到所证明的等量关系即可． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且满足，则该数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案. 【详解】当时，. 当时，. 因为， 所以，. 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 14. 已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，（1）若，则的面积为______；（2）的最大值为______. 【答案】 ①. ## ②. 5 【解析】 【分析】利用余弦定理和椭圆定义以及三角形面积公式即可求出空1，设，利用向量数量积的坐标式表示得到其表达式，求出最值即可. 【详解】空1：由已知得，， 所以， 从而， 在中，， 即①， 由椭圆的定义得， 即②， 由①②得， 所以. 空2：设，，且，而， 则，， 所以， 因为，则，当时，等号成立. 故答案为：；5. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知直线和的交点为， （1）求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，得出斜率，即可求出直线的一般式方程； （2）求出直线的斜率，结合过点，即可求出直线的一般式方程. 【小问1详解】 由题意， 直线和的交点为， ∴，解得：， ∴, 在直线中，直线过点且两坐标轴截距互为相反数， ∴当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，即. 当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：， ∴直线的方程为：或. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在直线中，直线过点且垂直于直线（即）， ∴直线斜率为， ∴直线的方程为：， 即. 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明： 根据题意由易知， 即可得为定值， 由此可得数列是以为首项，公差的等差数列， 所以，可得； 即数列的通项公式为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 证明略，通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以 ， 所以 17. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）求出点到直线的距离和，即可求出的面积. 【小问1详解】 由题意， 在圆中， ，圆心,半径, 由,可得点在圆外, 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为， 即, 则圆心到直线的距离为,解得：, ∴的方程为,即, 当过点的直线斜率不存在时, 的方程为,此时与圆相切, ∴的方程为或； 综上，的方程为：或 【小问2详解】 由题意及（1）得， 设点到直线的距离为，中点为， ， 在中，， 由几何知识得，, ， 由勾股定理得，， ∴， ∴ 18. 已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）若为点轨迹上任一点，求到直线距离最小值 （3）设直线与点的轨迹交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆定义可得动点的轨迹方程； （2）求出与直线平行，且与椭圆相切的直线方程，再利用平行线距离公式即可. （3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，再根据点到直线的距离可得三角形面积，再结合对勾函数单调性可得最值. 【小问1详解】 由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点， 所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为. 【小问2详解】 设与直线平行的直线方程为， 将其与椭圆方程联立得，即， 即，当该直线与椭圆相切时， 则，解得， 显然当时，到直线距离最小，即求两平行线之间距离， 则距离最小值. 【小问3详解】 设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 19. 已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）. （1）当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程； （2）在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围； （3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 若，则以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为， 整理得，该圆关于点对称. 由点，关于点对称及， 可得—卡西尼卵形线关于点对称， 令，解得，与矛盾， 所以不存在实数，，使得以为稳点的一阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 【解析】 【分析】(1)由题意可知，设：，则，整理计算即可求解； (2)设，由定义得到，从而有， 求得，再由，即可求解； (3)由，及定义得到以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程： ，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线， 关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题. 【小问1详解】 由已知，且，设：，则：， ∴，整理得：， ∴点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 由(1)知，，设，由， 得，所以， ，整理得，即， 所以，，由，得， 即的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市城阳第三高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 2024.12.13 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（） A. B. C. D. 3. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. +=4 B. C. D. 4. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 7. 已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分.部分选对按要求得分 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且满足，则该数列的通项公式为______. 13. 圆与圆的公共弦长为______. 14. 已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，（1）若，则的面积为______；（2）的最大值为______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知直线和的交点为， （1）求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和． 17. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 18. 已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）若为点轨迹上任一点，求到直线距离最小值 （3）设直线与点的轨迹交于两点，求面积的最大值. 19. 已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）. （1）当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程； （2）在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围； （3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $