精品解析：2024年1月黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题（真题）

2024年1月普通高中学业水平合格性考试 第一部分（选择题共72分） 一､选择题：本题共24小题，每小题3分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则它的虚部是（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由复数虚部定义即可得. 【详解】由，故它的虚部是. 故选：A. 2. 下列量中是向量的为（ ） A. 长度 B. 宽度 C. 频数 D. 摩擦力 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求得答案. 【详解】集合，集合，则. 故选：B 4. 已知向量，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 5. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义计算得解. 【详解】点到原点的距离， 所以. 故选：D 6. 下列函数中的与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相同函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数与函数对应法则不同，A不是； 对于B，函数与函数的定义域都为，而，即对应法则相同，B是； 对于C，函数与函数对应法则不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，而函数的定义域为，D不是. 故选：B 7. 树人中学七年级有500人､八年级有600人､九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况､按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出八年级的人数即可. 【详解】依题意，抽样比为， 故八年级应抽取的人数为人. 故选：D 8. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 9. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：A. 10. 下图是某班学生的一次数学测试成绩的频率分布直方图，则该班学生数学成绩平均数的估计值为（ ） A. 80 B. 85 C. 97 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可. 【详解】由频率分布直方图中平均数的计算公式，可得该班数学测试的平均成绩： . 故选：C. 11. （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】∵，∴. 故选：C. 12. 如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 13. 把弧度化成角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧度制化为角度制的方法求解即可. 【详解】. 故选：A. 14. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数定义域，看是否关于原点对称，再计算，并判断其与的关系. 【详解】：该函数定义域为，关于原点对称，又，所以该函数为奇函数，故错误； ：该函数定义域为，其定义域不关于原点对称，即该函数为非奇非偶函数，故错误； ：该函数定义域为，关于原点对称，又，即该函数为偶函数，故正确； ：该函数定义域为，关于原点对称，又，所以该函数为奇函数，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 15. 用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】设出铁丝围成的矩形长和宽，利用基本不等式求解即得. 【详解】设铁丝围成的矩形长和宽分别为，依题意，， 铁丝长度，当且仅当时取等号， 所以需要铁丝的长度至少为40. 故选：B 16. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（ ） A. 55石 B. 65石 C. 75石 D. 85石 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以1000石米内夹谷约（石）. 故选：B 17. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系即可得出答案. 【详解】由可得：. 故选：C 18. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性求出最大、最小值即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为7. 故选：D 19. 如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【详解】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D 20. “”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及函数的单调性求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】当时，显然函数为增函数，故充分性成立； 若函数为增函数，则，所以必要性不成立； 所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件. 故选：A 21. 如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用锥体的体积公式直接计算即得. 【详解】在三棱锥中，平面，则是三棱锥的高， 由，得， 所以该三棱锥的体积为. 故选：B 22. 天气预报预测国庆期间甲地的降雨概率是0.4，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲､乙两地都降雨的概率是（ ） A. 0.10 B. 0.11 C. 0.12 D. 0.13 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】由题意甲､乙两地都降雨的概率为. 故选：C 23. 对数函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的定义直接写出定义域. 【详解】函数的定义域是. 故选：B 24. 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 第二部分（非选择题共28分） 二､填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 25. 写出集合中的一个元素__________.（答案不唯一，写出一个即可）. 【答案】1（答案不唯一，满足的任意一个数均可） 【解析】 【分析】解不等式化简集合，进而写出其中的一个元素. 【详解】集合， 所以集合的一个元素为1. 故答案为：1 26. 若，则中最大的数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助指数函数单调性即可得. 【详解】由函数在上单调递增，故， 即有，故中最大的数是. 故答案为：. 27. 如图阴影部分为圆柱的侧面展开图，已知圆柱的底面半径为1，母线长为3，则它的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该圆柱的侧面积. 故答案为： 28. 某物流公司由甲地到乙地邮寄货物实行分段计费方式： 货物称重 计费方式 货物重量不超过10 邮费5元 货物重量超过10但 不超过100 首重10，邮费5元，超出10以上的部分， 邮费4元 货物重量超过100 邮费3.5元 则30货物由甲地邮寄到乙地的邮费为______元. 【答案】130 【解析】 【分析】根据题意列出分段函数，代入计算即可求解. 【详解】设货物重量时，邮费为元， 则由题意 所以（元）． 故答案为：130 三､解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 29. 某商场随机抽取了10名消费者的消费金额进行统计，其消费金额（单位：元）分别为，并给这10名消费者每人一次抽奖机会.抽奖规则为：在不透明的抽奖箱内放有4个大小质地完全相同的小球，编号分别为，抽奖者从中一次性随机摸出两个小球，若号码之积大于10则抽奖者可以获得一份精美奖品，否则不获奖. （1）写出这10名消费者的消费金额的众数； （2）消费者小鹏获得了一次抽奖机会，计算他获奖的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助众数定义即可得； （2）借助列举法，求出所有可能情况及符合要求的情况即可得. 【小问1详解】 由这10名消费者中消费金额出现最多的为，故众数为； 【小问2详解】 由抽奖者从中一次性随机摸出两个小球， 故摸出小球的所有可能有：、、、、、六种， 其中号码之积大于10的有一种，故小鹏获奖的概率为. 30. 已知函数. （1）求的值； （2）若函数，求函数的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（1） （2），单调递增区间 【解析】 【分析】（1）直接代入求出函数值； （2）利用三角恒等变换公式将解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年1月普通高中学业水平合格性考试 第一部分（选择题共72分） 一､选择题：本题共24小题，每小题3分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则它的虚部是（ ） A. B. C. 3 D. 7 2. 下列量中是向量的为（ ） A. 长度 B. 宽度 C. 频数 D. 摩擦力 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，化简（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中的与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 树人中学七年级有500人､八年级有600人､九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况､按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 8. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 下图是某班学生的一次数学测试成绩的频率分布直方图，则该班学生数学成绩平均数的估计值为（ ） A. 80 B. 85 C. 97 D. 110 11. （ ） A. B. C. 0 D. 1 12. 如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（ ） A. B. C. D. 13. 把弧度化成角度是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 16. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（ ） A. 55石 B. 65石 C. 75石 D. 85石 17. 化简（ ） A. B. C. D. 18. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 19. 如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（ ） A. B. C. D. 20. “”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21. 如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 22. 天气预报预测国庆期间甲地的降雨概率是0.4，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲､乙两地都降雨的概率是（ ） A. 0.10 B. 0.11 C. 0.12 D. 0.13 23. 对数函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 24. 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共28分） 二､填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 25. 写出集合中的一个元素__________.（答案不唯一，写出一个即可）. 26. 若，则中最大的数是__________. 27. 如图阴影部分为圆柱的侧面展开图，已知圆柱的底面半径为1，母线长为3，则它的侧面积为__________. 28. 某物流公司由甲地到乙地邮寄货物实行分段计费方式： 货物称重 计费方式 货物重量不超过10 邮费5元 货物重量超过10但 不超过100 首重10，邮费5元，超出10以上的部分， 邮费4元 货物重量超过100 邮费3.5元 则30货物由甲地邮寄到乙地的邮费为______元. 三､解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 29. 某商场随机抽取了10名消费者的消费金额进行统计，其消费金额（单位：元）分别为，并给这10名消费者每人一次抽奖机会.抽奖规则为：在不透明的抽奖箱内放有4个大小质地完全相同的小球，编号分别为，抽奖者从中一次性随机摸出两个小球，若号码之积大于10则抽奖者可以获得一份精美奖品，否则不获奖. （1）写出这10名消费者的消费金额的众数； （2）消费者小鹏获得了一次抽奖机会，计算他获奖的概率. 30. 已知函数. （1）求的值； （2）若函数，求函数的最小正周期及单调递增区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $