精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

平罗中学2024-2025学年度第一学期第三次月考试题 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知数列是等差数列，且，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 2. 若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 5. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ） A. 32石 B. 40石 C. 48石 D. 56石 6. 已知是等差数列的前n项和，，则（ ） A. 22 B. 33 C. 40 D. 44 7. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 是数列中的项 C. 数列 成等差数列 D. 数列前7项和最大 10. 已知等差数列，的前项和分别为，，，则使得为整数的正整数n的值可能为（    ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 14 11. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为4 B. 当直线斜率为-1时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 若圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线方程为 _________________． 13. 在数列中，已知，，则___________. 14. 在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为____． 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. .如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，D，E分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且． （1）求的值； （2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程． 17. 记为等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）若，证明数列为等差数列，并求其前项和. 18. 等差数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知椭圆离心率为为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为，不过点的动直线交椭圆于两点.证明：直线的斜率和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2024-2025学年度第一学期第三次月考试题 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知数列是等差数列，且，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用等差中项求解. 【详解】因为数列是等差数列，且， 所以， 故选：A 【点睛】本题主要考查等差中项的应用，属于基础题. 2. 若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过观察分母和项数的关系及项的正负可得解. 【详解】观察数列得分母是2开始，故分母为， 奇数项为负，故有，∴通项为 故选：B. 3. 已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离. 【详解】由题设，渐近线为，则点到的渐近线的距离. 故选：A 4. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】＝＝＝1. 故选：A. 5. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ） A. 32石 B. 40石 C. 48石 D. 56石 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列设甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量，，，，，根据已知条件列方程求参数a、d，即可求丁分得大米重量. 【详解】设甲，乙，丙，丁，戊所得大米分别为，，，，， ∴依题意，，即， 又，解得， 综上，可得， ∴丁分得大米重量为(石)， 故选：B. 6. 已知是等差数列的前n项和，，则（ ） A. 22 B. 33 C. 40 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，结合题中条件可求得，再利用等差数列的前和公式求解即可；也可利用等差数列的通项公式化简条件，再用等差数列前和公式求解. 【详解】解法一： 因为是等差数列， 所以， 则，所以. 解法二： 设等差数列的公差为d， 则由得，，得， 所以. 故选：B. 7. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设点为第一象限内的点，设点、，利用抛物线的定义可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理可求得点的横坐标，进而可求得. 【详解】设点为第一象限内的点，设点、，则，， 则由题意可得：点，，则，由，得， 所以，直线方程为， 将直线的方程代入化简得，所以，所以， 故选：D． 【点睛】结论点睛：过抛物线焦点的弦，点在第一象限，直线的倾斜角为. （1），； （2）； （3）. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则， 即， 所以，解得， 所以，故， 由，解得， 所以，故C项正确. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 是数列中的项 C. 数列 成等差数列 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】A：因为数列为等差数列，且， 则，解得，， 故A选项正确， B：由，得，故B错误， C：设等差数列的公差为，则， 故数列 成等差数列，故C正确， D：因为，故时，；当时，， 故数列前7项和最大，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知等差数列，的前项和分别为，，，则使得为整数的正整数n的值可能为（    ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 14 【答案】AD 【解析】 【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值. 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、， 因此，正整数的可能取值有、、. 故选：AD 11. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为4 B. 当直线斜率为-1时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，作出辅助线，由抛物线定义表达出，得到长度的最小值；B选项，法一，直线为，联立抛物线方程，表达出，，得到中点坐标；法二：点差法结合直线斜率求出答案；C选项，作出辅助线，由焦半径公式得到，结合梯形中位线得到，C正确；D选项，设直线为，与联立得，得到两根之和，两根之积，求出，得到结论. 【详解】A选项，，，准线方程为， 若直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，舍去， 设过点的直线方程为， 联立与得，， 易知，则， 则， 过点分别作垂直于直线于点， 由抛物线定义可知，， 故当时，即直线与轴垂直时，最短，最短长度为2，A错误； B选项，此时直线为， 法一．与联立得， ，故中点为， 法二．设AB中点坐标为，，两式相减有， 故，故，故中点为；B正确； C选项，设中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义知， ， 故以线段为直径的圆与直线相切，C正确； D选项，设直线为，与联立得， 易知，则， ， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 若圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线方程为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦所在的直线方程. 【详解】由题设可得两圆公共弦的方程为：， 整理得：， 故答案为： 13. 在数列中，已知，，则___________. 【答案】10 【解析】 【分析】直接由首项及数列递推式依次求出则答案可求． 【详解】由，得 . . ． 故答案为:10 14. 在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为____． 【答案】101 【解析】 【详解】偶数项的和，奇数项的和为，设公差为， ∵奇数项的和-偶数项的和为， 又，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴ ， ∴，故答案为. 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. .如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，D，E分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接， 在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因此，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以． 16. 已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且． （1）求的值； （2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解； （2），设，，根据点M为线段的中点，可得： ，由点Q为抛物线C上，代入即可得解， 【详解】（1）由抛物线经过点可得：， 又，可得， 解得，； （2）由（1）知，则， 设，， 根据点M为线段的中点，可得： ，即， 由点Q为抛物线C上，所以， 整理可得点M的轨迹方程为. 17. 记为等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）若，证明数列为等差数列，并求其前项和. 【答案】（1） （2） 由，，得， 所以， 由可得数列是等差数列， 因首项为1，公差为1 ，故. 【解析】 【分析】（1）设数列公差，依题列出方程组，求得，代入通项公式即得； （2）由（1）结论求得，再求，判断是等差数列，利用等差数列的前项和公式求解即得. 【小问1详解】 设的公差为，由，，得, 解得.故的通项公式为. 【小问2详解】 略 18. 等差数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由时，；当时，求解. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 当时，也符合的形式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 令，又，解得. 当时，； 当时，， ， 所以. 19. 已知椭圆离心率为为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为，不过点的动直线交椭圆于两点.证明：直线的斜率和为定值. 【答案】（1） （2） 设，设直线的方程为. 联立方程组得， ，解得， 所以 所以. 即， 因为 ， 故. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程. （2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得，从而证得直线的斜率和为定值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $