精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高一年级阶段性测试(二)数学试题

2024—2025学年高一年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A B. C. D. 6. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 7. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记.则使成立的的最小值为（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中有零点的是（ ） A. B. C D. 10. 下列选项正确的是（ ） A B. C D. 11. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，. （1）若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？ （2）若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？ 17. 已知正数，满足，.设函数. （1）求，； （2）若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，. 18. 已知函数的定义域为，且仅有一个零点. （1）求； （2）若为奇函数，求的值； （3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是. （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数，求的值； （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以， 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数充要条件的判定、函数的性质即可求解. 【详解】当时，由不能推出，充分性不成立； 当时，根据对数函数的单调性，有，即必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 3. 如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 4. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质易判断AC，利用在上单调递增，可判断B；利用作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，在上单调递增，又，所以，故B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 又，所以，故C错误； 对于D，， 因，所以，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：C. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间. 【详解】由对数函数的性质知，解得， 因为函数的图象的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为. 故答案为：A. 6. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ） A. 物理方向男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的女生多于历史方向的男生. 故选：C. 7. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性以及指数函数的性质求解. 【详解】因为时，单调递减， 且函数在上具有单调性， 所以当时，函数在单调递减， 所以，解得， 在考虑函数在处左右取值， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 故选:A. 8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记.则使成立的的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，结合，可得，进而求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 由，可得，可得，所以， 因为，所以，所以， 所以使成立的的最小值为9. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：重点是理解新定义，求得，进而求解对数不等式. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于每一个选项，令，解方程可得结论. 【详解】对于A，令，可得，解得，所以函数有零点，故A正确； 对于B，令，可得，解得，所以函数有零点，故B正确； 对于C，令，可得，解得，所以函数有零点，故C正确； 对于C，令，可得，方程无解，所以函数无零点，故D错误. 故选：ABC 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法判断A，利用指数的运算与单调性判断BC，利用对数的运算与单调性判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，则，故B正确； 对于C，因为，，， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以，，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意采用赋值法可推得函数的周期为2，继而推出其对称轴，当时，，根据的图像和的图像恰有三个交点，画出图像，数形结合，根据，且，求得实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，满足， 所以为以为周期的周期函数， 当时，， 函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分， 因为，所以，则， 作出函数的图像，如图所示， 要使函数的图像和的图像恰好有三个交点， 则有 ，即，解得， 即实数a的取值范围是，选项中BC符合. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的解析式，从内而外代入相应解析式即可得解. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 13. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知不等式解集计算求参得出且，再解一元一次不等式即可. 【详解】因为不等式与且不等于同解， 又因为解集为， 所以, 所以， 所以不等式，即是，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，单调性和对称性解函数不等式. 【详解】的定义域为， 且，所以函数为偶函数， 设，则当时，，即，此时单调递增， 则当时，，即，此时单调递减， 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以函数的图象关于对称， 且当时单调递增，当时单调递减， 又因为二次函数的图象关于对称， 且当时单调递增，当时单调递减， 所以在时单调递增，在时单调递减， 且的图象关于对称， 因为，所以，即， 所以， 即且恒成立， 由恒成立可得，，解得， 由恒成立可得，，解得， 综上所述，， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得集合，可求； （2）由题意可得，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 当时，， 又因为，所以或， 所以. 【小问2详解】 由，可得， 当，即时，， 由，可得，解得，不符合，舍去； 当，即时，， 由，可得，解得，符合，所以， 所以实数的取值范围为. 16. 根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，. （1）若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？ （2）若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？ 【答案】（1）明年的研发投入应该为万元； （2）明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍. 【解析】 【分析】（1）由已知可求得，代入计算可得结论； （2）设今年的研发投入为万元，利润为万元，该公司明年的研发投入为万元，利润为万元，由题意可得，计算可得，可得结论. 小问1详解】 当时，，所以，解得， 所以， 令，可得，解得， 所以明年的研发投入应该为万元； 【小问2详解】 设今年的研发投入为万元，利润为万元，明年的研发投入为万元，利润为万元， 所以，， 根据题意可得， 所以，所以，所以，所以. 所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍. 17. 已知正数，满足，.设函数. （1）求，； （2）若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据指数幂的运算求出，即可求出； （2）作出的图象，即可得到，根据对数的运算性质得到，再判断，即可得到，从而求出，即可得解. 【小问1详解】 将代入，得， 即，因为，所以，故，所以. 【小问2详解】 由（1）知，作出的图象，如图. 观察可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 由可得，则，所以. 若在上的最大值为， 因为，即，所以，所以， 所以，得，解得（负值已舍去），所以. 18. 已知函数的定义域为，且仅有一个零点. （1）求； （2）若为奇函数，求的值； （3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用特殊值法，令，可得，令，可得 （2）根据奇函数的定义可求得； （3）由（2）知，则有，则在和上均单调递增.将在区间上的值域为转化为是方程的两个实根，从而得解. 【小问1详解】 令，得， 即. 因为，所以. 令，得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 若）是奇函数，则， 因为仅有一个零点，且由（1）知. 所以. 当时，因为， 所以，即是奇函数. 综上，. 【小问3详解】 由（2）知，所以， 所以，则在和上均单调递增. 则所以是方程的两个实根， 所以方程在上有两个不相等的实根. 设，则解得， 故实数的取值范围是. 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是. （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数，求的值； （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增.，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的单调性定义证明即可； （2）根据结构特征，，采用首位相加求解即可； （3）依题意得，，换元令，转换为关于的方程在上有解，进而得到答案. 【小问1详解】 在上单调递增.，证明：任取，，且， ， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由题意得， 所以， 故. 所以 . 【小问3详解】 由题意得， 令，当时，. 在上有零点关于的方程在上有解. 方程可化为. 令，则，且， 因为函数在上单调递增，所以当时，， 故实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问，重点考查倒序相加法求解，关键在于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$