精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024—2025学年闽侯一中第一学期第二次月考 高中二年数学科试卷 命题教师：张平 审核教师：张丹红 考试日期：12月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长一定相等 B. 短轴长一定相等 C. 离心率一定相等 D. 焦距一定相等 2. 已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 7. 设等差数列和的前项和分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 点不可能在直线上 B. 直线恒过点 C. 若点到直线的距离相等，则 D. 直线上恒存在点，满足 11. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 存在，，使得 B. 不存在点，，使得 C. 的最小值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________. 13. 记数列的前项和为，已知且，则__________. 14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. （1）求的方程； （2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 18. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）. （1）求的方程； （2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值； （3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离; （3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为中所有点构成的几何体的体积为，求和的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年闽侯一中第一学期第二次月考 高中二年数学科试卷 命题教师：张平 审核教师：张丹红 考试日期：12月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长一定相等 B. 短轴长一定相等 C. 离心率一定相等 D. 焦距一定相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，得到，即可判断. 【详解】对于曲线：， 对于曲线：， 所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等. 故选：D 2. 已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，其中、，且，两式作差分析可得、为的两个约数，求出、的值，代值计算可得的值. 【详解】设，，其中、，且， 所以，， 因为、，且，则、， 所以，、为的两个约数，显然， 所以，，解得，则，解得. 故选：B. 3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质以及渐近线的性质列不等式组求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 所以的方程为， 故选：D. 4. 设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列， 例如，即充分性不成立， 当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：C． 5. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值. 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 7. 设等差数列和的前项和分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式的特征，结合题意设，，由此可得与关于的表达式，再利用等差数列的性质即可得解. 【详解】对于等差数列，， 所以是关于的不含常数项的二次多项式， 同理，也是关于的不含常数项的二次多项式， 因为，所以设，，， 故， ， 则. 故选：A. 8. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值. 【详解】 如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，， 设， 则（*）， 因点为的重心，则，即， 代入（*），可得， 因点在抛物线上，故，故， 依题，，解得. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意可得，计算可得判断A；可求判断B；，可判断C；计算可得判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 点不可能在直线上 B. 直线恒过点 C. 若点到直线的距离相等，则 D. 直线上恒存在点，满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，即可判断A；将线方程可化为，即可判断B；利用点线的距离公式计算即可判断C；利用平面向量的坐标表示求出点的轨迹方程，证明点在圆的内部即可判断D. 【详解】A：当时，，所以点不可能在直线上，故A正确； B：直线方程可化为，所以直线恒过定点，故B正确； C：因为点到直线的距离相等，所以，解得或，故C错误； D：设，则， 所以， 整理得，即点的轨迹方程为. 又直线恒过定点，且，所以点在圆的内部， 所以直线与圆恒有公共点， 即直线上恒存在点，满足，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 存在，，使得 B. 不存在点，，使得 C. 的最小值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项计算判断得解. 【详解】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，由，得， 则，方程无解，因此不存在、使得，A错误； 对于B，由是线段上的动点，设，则，， 由，则不存在点，使得，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 13. 记数列的前项和为，已知且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由与的关系，可得，再累加法求解即可． 【详解】当时，由得， 即， 因为，所以， 所以， ， 则， 又满足上式，故， 故答案为：． 14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】由题意得蒙日圆为，则，， 直线的方程为：， 联立得， ， 解得，， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解； （2）结合等差数列的求和公式及通项公式进行化简，解不等式即可求解． 【小问1详解】 设数列的公差为，因为，且， 所以，解得或（舍）， 故. 【小问2详解】 由（1）可得：， 若，则，解得：， 故的最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ， ， . ， ， . 平面， 平面， 又平面， . （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论； （2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， 平面，平面， ， 所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则，令，可得， 平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. （1）求的方程； （2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程； （2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果. 【小问1详解】 是上一点， ，则， 由抛物线的定义，知， ，则， 的方程为. 【小问2详解】 由（1），知. 设直线，即， 代入，整理得， ， ， 又点到的距离为， ， 即，解得或（舍去）， 直线的方程为，即. 18. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）. （1）求的方程； （2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值； （3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点. 【答案】（1）； （2） 设且. 的中点为，则， 是上的两点，①，②， ①②，得，即， 即，可得， ，直线与直线的斜率之积为定值3. （3） 易知，且不关于轴对称， 直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入，整理得， ， ， ，解得或（舍去）， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程； （2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论； （3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t，即可证结论. 【小问1详解】 设，连接. 是的中点，是的中点， ， ，则. 又. ， 的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法找到之间坐标关系，第三问，设直线并联立双曲线，应用韦达定理和向量垂直坐标表示求参数. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离; （3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为中所有点构成的几何体的体积为，求和的值. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）先求出平面和平面的法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，利用和求得l的一个方向向量即得. （2）利用条件求得平面的方程，设平面、的交线的方向向量为，与（1）同法求得，利用求得的值，最后利用空间向量的点到平面的距离公式计算即得. （3）求出集合的子集对应几何体的体积，再利用对称性求出；确定为截去三棱锥所剩下的部分，利用割补法求解体积即可. 【小问1详解】 平面的法向量为，平面的法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为，则， 取，得，所以直线的一个方向向量为. 【小问2详解】 设平面，由平面经过点，点，点， 得，解得，即平面， 记平面、、的法向量分别为：， 设平面、的交线的方向向量为，则，取， 依题意，，解得， 平面，其法向量为，在平面内取点， 则，于是，点B到平面的距离为. 【小问3详解】 集合的子集， 即为三个坐标平面与围成的四面体， 四面体四个顶点分别为， 此四面体的体积为，由对称性知； 集合的子集，构成的几何体是棱长为的正方体， 而，则为截去三棱锥后剩下的部分， 的体积，三棱锥的体积为， 的体积为， 由对称性知. 【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $