精品解析：河北省保定市唐县第一中学2024-2025学年高一上学期12月期末数学试题

2024级高一上学期12月考试 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝（ ） A. {1，2} B. {2} C. {0} D. {0，1，2} 2. 已知复数在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 250 4. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 若函数有四个零点，则 C. 若关于的方程有四个不等实根，则 D. 若关于的方程有8个不等实根，则 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件，，两两独立，则成立. B. 若事件，，两两互斥，则成立 C. 若事件，相互独立，则与也相互独立. D. 若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当点在棱上时，的最小值为 C. 当直线AP与AB所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段PF长度最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______ 13. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少取到一次最大值A与一次最小值，则实数的取值范围是______． 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. （1）求角B； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 17. 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人. （1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率. 18. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值. 19. 对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. （1）若，求关于的“差比模”； （2）若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上学期12月考试 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝（ ） A. {1，2} B. {2} C. {0} D. {0，1，2} 【答案】B 【解析】 【分析】 利用交集定义直接求解． 【详解】解：集合，1，，， ． 故选：． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 已知复数在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则， 所以. 故选：B． 3. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可. 【详解】由题意样本容量为. 故选：A. 4. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，先判断，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD，通过正方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 5. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数有最大值，利用向量数量积的定义求出此时的值即可． 【详解】依题意，设单位向量的夹角为， 因为， 所以则，所以， 根据题意，正整数的最大值为， 故选：C. 6. 已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，再根据平方关系即可求出的值最大，结合取等号的条件即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当的值最大时，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，所以是二面角的平面角，所以， 由得. 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 所以， 由于，所以 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为. 设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为， 故选：A. 8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 若函数有四个零点，则 C. 若关于的方程有四个不等实根，则 D. 若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得. 【详解】函数的图象关于直线对称，函数的图象开口向下，关于直线对称， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减， 函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，A错误； 函数的零点，即方程的根，亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 因此函数有四个零点，则，B错误； 关于的方程有四个不等实根，不妨设， 显然有，因此，C错误； 令，由选项B知，当且仅当时，方程有4个不等实根， 要关于的方程有8个不等实根， 则当且仅当方程在上有2个不相等的实数根，令这两个实根为，， 且，，则， 由，得，而当时，的两根相等，不符合题意， 所以的取值范围是，D正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件，，两两独立，则成立. B. 若事件，，两两互斥，则成立 C. 若事件，相互独立，则与也相互独立. D. 若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，于是有， 可以看出事件，，两两独立，但不互相独立，所以，因此A错误； 对于B，若事件，，两两互斥，则，与互斥， 所以，因此B正确； 对于C，若事件，相互独立，则， 又，，则，因此C正确； 对于D，若，，事件相互独立， 则，若互斥，，则，因此D不正确. 故选：BC. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断D. 【详解】对于A，所以函数在上单调递减，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理可得：，∴， 此时无解，故B错误； 对于C，∵，为三角形的内角， ∴，可知A，B，C均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：∵，所以由正弦定理可得，又, 因此， ∴，∴，b＝a或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当点在棱上时，的最小值为 C. 当直线AP与AB所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段PF长度最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，其周长为可得A正确；以为轴将平面顺时针旋转，由勾股定理可得B错误；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，可知其轨迹长度为可得C正确；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为可得D正确. 【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形， 动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，故正确； 对于B，以为轴将平面顺时针旋转，如图， 则，故B错误；； 对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为平面平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由斜坐标定义用，表示，然后平方转化为数量积求得模． 【详解】由题意， ， 故答案为：． 13. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少取到一次最大值A与一次最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 所得函数图象对应的解析式为， 则当， 即时，在上至少取到一次最大值A与一次最小值，满足题意； 当时，，所以（）， 解得（）．当时，解集为，不符合题意； 当时，解得；当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】三角函数图象变换，首先要看是变还是变，平移变换中：变是“左加右减”，变是“上加下减”.伸缩变换中，如：由变换为，则是缩小为原来的倍；如变为，则是放大为原来的倍. 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. （1）求角B； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边的化简处理可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求B的值. （2）由正弦定理可得b，根据三角形任意两边和大于第三边的性质，可得，由余弦定理，结合基本不等式可求的最大值，进而可求的周长的范围. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，化简可得， 由余弦定理得， 因为B为三角形内角，，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆周长为，故外接圆直径为， 因为，所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立. 又因为，所以， 即的周长的取值范围为. 17. 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人. （1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率. 【答案】（1），；中位数为；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为计算即可. （2）在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示， 在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则 ，得， 又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人 则，解得， 中位数中位数为 （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A， 由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示， 在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有： ，，，，，，，，，，，，，，，共15种 抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种 所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题. 18. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值. 【答案】（1） 设，连接， 因为正方形，所以为中点， 又矩形中，为的中点， 所以且， 所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 连接交于点，因为是正方形，所以， 又正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 当时，，平面，所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面中过作于，连接，说明是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）连接交于点，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，当时可证平面，从而求出此时的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过作于，连接， 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角的平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； 【小问3详解】 略 19. 对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. （1）若，求关于的“差比模”； （2）若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3） 【解析】 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【小问1详解】 由题意得， 故关于的“差比模”为. 【小问2详解】 不存在，使得关于的“差比模”是协调的，理由略； 【小问3详解】 且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $