精品解析：北京市文汇中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

北京市文汇中学2024-2025学年度第一学期期末模拟 初三年级 数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的值为； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为_____． 10. 写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是__________． 11. 若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a________b（填“”，“”或“”）． 12. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是________（结果保留小数点后一位）． 13. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为__________． 14. 小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1） 15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则________．（用含的式子表示） 16. 如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为________． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程：． 18. 已知：，是直线上的两点． 求作：，使得点在直线上方，且． 作法： ①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画圆； ③在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，．就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，． ， 是等边三角形． ． ，，在上， （　　）（填推理的依据）． ． 四边形内接于． （　　）（填推理的依据）． ． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 20. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ． （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点O顺时针旋转得到（，分别是的对应点）． （1）在图中画出，点的坐标为________； （2）直接写出点A旋转到，所走过的弧长为________（结果保留）； （3）若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围为________． 24. 如图，在中,为的直径,与相交于点D，过点D作于点E延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 25. 如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 （1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项） 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）当时，比较m与n的大小，并说明理由； （2）若对于，都有，求b的取值范围． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转（），得到线段，连接，． （1）如图1，当点在正方形的内部时，若平分，，则______°，四边形的面积为______； （2）当点在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市文汇中学2024-2025学年度第一学期期末模拟 初三年级 数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项B：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项D：不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 4. 如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解∶ 是的直径， ． ， ． ． 故选：C． 5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，由在等式两边同时加上，完全平方和公式分解因式即可得到答案，熟记配方法的操作步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 配方得，即， 故选：A． 6. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5， ∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2）， 当-3＜x＜0时，y＞2， 即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． 8. 已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的值为； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①当时，根据不等式的性质求解即可证明；②当时，二次函数的对称轴为：，分四种情况讨论：当时；当时；当时；当时；分别利用二次函数的最值问题讨论即可得；③当，，，时，分别求出相应的y的值，然后将时，y的值变形为：，将各个不等式代入即可得证． 【详解】解：①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，①错误； ②当时，抛物线开口向上，二次函数的对称轴为直线， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即，此时， 函数在处取得最大值，即，此时， 二者矛盾，这种情况不存在； 当时，即时， 函数在处取得最小值，即，此时， 函数在处取得最大值，即，此时， ∴， 解得：，（舍） ∴ 当时，即时，， 函数在处取得最小值，即，此时， 函数在处取得最大值，即，此时， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当时，即时， 函数在处取得最小值，即，此时， 函数在处取得最大值，即，此时， 二者矛盾，这种情况不存在； ∴综上可得，c的值为；②正确； ③当时，，且； 当时，，且； 当时，，且； 当时，， ，，， ∴， ∴当时，y可以取到的最大值为7；③正确； 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 10. 写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得． 【详解】由题意，二次函数有最小值，说明函数开口向上，这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 11. 若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a________b（填“”，“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近即可得到a、b的大小关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴点离直线远，点离直线较近， ∴， 故答案为：． 12. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，即可求出． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为； 故答案为：． 13. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）²，2015年的新能源汽车保有量为45.1万辆， 2017年的新能源汽车保有量为172.9万辆，即可列出方程． 【详解】解：根据题意2015年的新能源汽车保有量为45.1万辆， 2017年的新能源汽车保有量为172.9万辆， 则； 故答案为. 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1-x）2=b（a＞b）． 14. 小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1） 【答案】9.3 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可， 【详解】解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm， cm， 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可求得，熟练掌握旋转前、后的图形全等是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，连接交于点G，由和是等边三角形得，，，根据全等三角形判定证得，得到，，进而计算出，再根据全等三角形判定证得，得到，当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大，此时是的垂直平分线，设，得，再根据勾股定理列出方程，再代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于点G， 和都是等边三角形， ∴，，，， ∵， ， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大， ∴此时是的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴在中 ， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，得， ∴， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形外心的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外心的性质，灵活运用角度的计算，并找到边长最长的情形是解题关键． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，可以采用配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程，用配方法解时，先将等式两边同时加上，再利用完全平方公式因式分解，最后直接开平方即可得到答案；用公式法解时，先计算判别式，当有解时，再由求根公式代值求解即可得到答案；用因式分解法解时，利用十字相乘因式分解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解法一：， ，即， 直接开平方得， ，； 解法二：， ， ，，， ， ， ，； 解法三：， ， ， 或， ，． 18. 已知：，是直线上的两点． 求作：，使得点在直线上方，且． 作法： ①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画圆； ③在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，．就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，． ， 是等边三角形． ． ，，在上， （　　）（填推理的依据）． ． 四边形内接于． （　　）（填推理的依据）． ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补 【解析】 【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可； （2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 【点睛】本题考查尺规作图复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ． （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况， 恰好抽到“冬季两项”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有2种， ∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：． 【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径． 【答案】13. 【解析】 【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC． 【详解】如图，连接OC， ∵M是弦CD的中点，EM过圆心O， ∴EM⊥CD． ∴CM=MD． ∵CD=10， ∴CM=5． 设OC=x，则OM=25-x， 在Rt△COM中，根据勾股定理，得 52+（25-x）2=x2． 解得 x=13． ∴⊙O的半径为13． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点O顺时针旋转得到（，分别是的对应点）． （1）在图中画出，点的坐标为________； （2）直接写出点A旋转到，所走过的弧长为________（结果保留）； （3）若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围为________． 【答案】（1）画图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转图形画法，弧长公式，旋转性质等． （1）根据题意分别求出，绕原点O顺时针旋转后的点坐标，再依次连接，即可； （2）先计算出长度，再利用扇形弧长公式即可得到本题答案； （3）先找出临界值旋转后的纵坐标即可求解． 【小问1详解】 解：∵，绕原点O顺时针旋转后的点坐标为，， ∴依次连接，，即可，作图如下： 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴点A旋转到，所走过的弧长为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∵点位于内（不含边界）， ∴点在线段上，且不与重合， ∴， 故答案为：． 24. 如图，在中,为的直径,与相交于点D，过点D作于点E延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆的性质(垂径定理)及勾股定理的综合应用，解题的关键是第一问通过证明半径与直线垂直判定切线，第二问通过构造辅助线转化线段关系，利用勾股定理计算线段长度． （1）连接，利用等腰三角形性质得和，推出，结合得，从而证明为切线； （2）过O作，利用垂径定理得，结合矩形性质转化、等线段关系，通过勾股定理依次计算、、的长度，最后求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ． 25. 如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 （1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项） 【答案】（1）①； ②能；理由： 当时，， ∵， ∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树； （2）A、C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，运用待定系数法求出函数解析式以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；②把代入①中解析式求出y的值与比较即可； （2）根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可判断． 【小问1详解】 解：①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线解析式为； ②略 【小问2详解】 解：∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， ∴当时，，即，故A正确，符合题意； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当时，，即，故B不正确，不符合题，C符合题意； 抛物线对称轴为， ∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外， ∴，故D不正确，不符合题意． 故答案为：A、C． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）当时，比较m与n的大小，并说明理由； （2）若对于，都有，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可； （2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出．由对于，都有，又可得出，两边平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可． 【小问1详解】 解：． 理由：当时，抛物线解析式为，点， 将代入， 得：，， ∴； 【小问2详解】 解：∵该函数解析式为， ∴其图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大． ∵， ∴点B在点A右侧． ∵对于，都有， ∴， ∴当时，，即， 解得：． ∵对于，都有， ∴， 两边平方，得：， 整理，得：， ∴． 综上可知． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转（），得到线段，连接，． （1）如图1，当点在正方形的内部时，若平分，，则______°，四边形的面积为______； （2）当点在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）① ； ②解：． 过点作交的延长线于点， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等的性质得出，可求出，过点作于点，求出的面积即可得到答案； （2）①由题意画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案； ②过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：将线段绕点旋转，得到线段， ， ， 正方形， ， 平分， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， 四边形的面积； 【小问2详解】 ①解：将线段绕点旋转，得到线段， ， ， ， ， ； ②略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，找到正确的全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $