专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解（教用版+学用版）2024-2025学年陕西地区人教版八年级上册数学期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解 考点一 整式的乘法及乘法公式 1．（2024陕西安康·期末）计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．4 D． 2．（2024陕西西安·期末）则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 3．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·临考冲刺）计算：（    ） A． B． C． D． 4．（2024陕西西安·二模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024陕西咸阳·一模）已知单项式与的积为，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2024陕西榆林·期末）若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 7．（2024陕西榆林·期中）若，，则的值为（    ） A．8 B．12 C．40 D．144 8．（2024陕西西安·月考）一个底面是正方形的长方体，高为6厘米，底面正方形边长为5厘米．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a厘米，那么它的体积增加了（　　）立方厘米． A．60a+6a2 B．6a2 C．25a+6a2 D．60a+25a2 9．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）在数学兴趣活动中，李老师拿了一根铁丝，她先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为，，则的值是（　　） A． B． C．27 D．3 10．（2024陕西汉中·二模）对于任意的实数,，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 11．（2024陕西西安·期中）若，，则的值为（　　） A．1 B．11 C．30 D．35 12．（2024陕西西安·期中）如果9是完全平方式,那么的值是（        ） A．-12 B．±12 C．6 D．±6 13．（2024陕西西安·开学摸底）若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 14．（2024陕西咸阳实验中学·月考）某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：原式，据此可得的值为（    ） A． B． C．1 D．2 15．（2024陕西汉中·期末）如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点A在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（    ）    A．25 B．26 C．28 D．30 16．（2023陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）计算： (1)；(2)． 17．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·月考）已知，． (1)当时，求的值； (2)求的值． 18．（2024陕西西安西工大附中·期中）先化简，再求值：，其中． 19．（2024陕西榆林·期中）先化简，再求值：，其中，． 20．（2023陕西西安·期中）数学课上，刘老师布置了一道自主探究的试题：请计算当，时，代数式的值．小隽同学很快计算出了答案，喜欢思考善于探究的她，自己给a，b分别取，并计算．经过计算她发现代数式的值不变．请思考：小隽的想法对吗？请说明理由． 21．（2024陕西安康·期末）如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分． (1)请用、表示观景台的面积．结果化为最简 (2)如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？ 22．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·开学摸底）某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ (2)当，时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ 23．（2023陕西西安·月考）阅读理解： 若，，比较，的大小． 解：因为，且，所以，所以．类比阅，读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_______________． A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法      C．幂的乘方  D．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小． (3)已知，，，比较，，的大小． 24．（2024陕西汉中·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 考点二 因式分解 1．（2024陕西西安·期末）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024陕西榆林·期末）把分解因式，应提取的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．（2024陕西西安·月考）把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 4．（2024陕西咸阳·月考）下列各式中，能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5．（2022陕西渭南·期末）若4x2+(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为(     ) A． B． C．或11 D．13或 6．（2024陕西榆林·开学摸底）若，，则代数式的值是（   ） A．75 B． C．15 D． 7．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）已知a，b，c为三边，满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式的值（ ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种 情况均有可能 9．（2024陕西西安高新一中·临考冲刺）一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式 ． 10．（2024陕西西安·月考）要使多项式能运用完全平方公式进行分解因式，则整式M可以为 （写出一个符合的条件的M即可）． 11．（2022陕西西安·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的周长为 （结果应化简）． 12．（2024陕西西安·月考）已知，则 ． 13．（2022陕西西安曲江一中·期中）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，则的值为 ． 14．（2024陕西西安·开学摸底）若，，则M与N的大小关系为 ． 15．（2022陕西西安曲江一中·期末）已知是二元一次方程组的解，则代数式的值为 ． 16．（2022陕西宝鸡·期末）在生活中很多场合都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，其原理是：如对于多项式，因式分解的结果是（a＋b）（a-b），若取a＝8，b＝3则各个因式的值是：（a＋b）＝11，（a-b）＝5，于是就可以把1105作为一个四位数的密码，那么对于多项式，若取x＝4，y＝2时，用上述方法产生的四位数密码是 ．（写出一个即可）． 17．（2022陕西西安高新一中·期末） 因式分解：（1）① ；         ②. （2）利用因式分解进行简便计算： 18．（2024陕西榆林·期末）阅读以下材料： 因式分解：， 解：令，则原式， 再将“”还原，得原式， 上述解题用到的是“整休思想”，“整休思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你运用上述方法分解因式： (1)； (2)． 19．（2024陕西西安·月考）整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用． 例如：已知，求代数式：的值． 解：． 请仿照上面的方法求解下面的问题： (1)已知：，求代数式的值； (2)边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值． 20．（2024陕西西安·月考）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 21．（2024陕西汉中·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则.．解得， 另一个因式为，的值为. 问题：仿照以上方法解答下面问题, 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 22．（2024陕西榆林·开学摸底）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如： 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式； （2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由． 23．（2024陕西西安高新一中·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．    (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为_____________________________． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 参考答案 考点一 整式的乘法及乘法公式 1．【答案】B 【分析】此题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等，由此即可得出答案，熟练掌握零指数幂的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故此题答案为B． 2．【答案】C 【分析】用2ab2除以ab即可. 【详解】2ab2÷ab=2b. 故此题答案为C. 【关键点拨】此题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 3．【答案】A 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解：； 故此题答案为A 4．【答案】D 【分析】利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故此题答案为D． 5．【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故此题答案为B. 6．【答案】C 【详解】解：， ∵的积中不含项， ∴， ∴． 故此题答案为． 7．【答案】D 【分析】根据，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故此题答案为D． 8．【答案】A 【分析】长方体变化后的高为6厘米，底面边长为（5+a）厘米，根据长方体的体积公式求解． 【详解】解： ＝150+60a+6a2﹣150 ＝6a2+60a（立方厘米）． 答：它的体积增加了（6a2+60a）立方厘米． 故此题答案为A． 9．【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据铁丝长度不变列出方程是解题的关键．根据铁丝长度不变列出方程求出乙长方形的长，分别求出甲，乙长方形的面积，求差即可． 【详解】解：图乙的长方形另一边长为， ∴， 故此题答案为D． 10．【答案】A 【分析】根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】根据新定义运算， 可得， 故原式, 故此题答案为． 11．【答案】C 【分析】根据平方差公式：变形，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故此题答案为C． 12．【答案】B 【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值． 【详解】解：∵9a2-ka+4=（3a）2±12a+22=（3a±2）2， ∴k=±12． 故此题答案为B． 13．【答案】B 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 14．【答案】D 【分析】根据，进行模仿运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴模仿上述的解法， 则 ． 故此题答案为D． 15．【答案】D 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， 或（舍去） ∵四边形是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故此题答案为D． 16．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 17．【答案】(1)4；(2)7. 【分析】（1）根据同底数幂的乘法“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”得，再将代入即可得； （2）由题意得，再根据多项式与多项式相乘的法则“多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”将进行计算，即可得. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴原式=； （2）解：∵，， ∴， ∴ = = =7． 18．【答案】；2029 【分析】先根据整式混合运算法则进行计算，然后再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 19．【答案】；5. 【分析】先计算平方差和完全平方公式，合并同类项后，进行除法运算，再代值计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 20．【答案】小隽的想法是对的，理由见解析． 【详解】解：小隽的想法是对的． 理由：原式 ． 因为化简结果是常数1，代数式的值与a，b的取值无关，所以代数式的值不变． 21．【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可； （2）代入进行计算即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为： ； 答：观景台的面积为平方米； （2）当时， 原式 平方米， 元． 答：修建观景台需要费用为元． 【关键点拨】此题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系． 22．【答案】(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株； (2)长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗． 【分析】此题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键． （1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可． （2）把，代入（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株； （2）解：当，时， 原式， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗． 23．【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方直接求解即可得到答案； （2）将两个数的次方经过积的乘方变成相同的次方比较大小即可得到答案； （3）根据积的乘方将指数化相同直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，是幂的乘方的逆运算， 故此题答案为C； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴； 【关键点拨】此题考查幂的乘方的逆应用及应用，解题的关键是熟练掌握． 24．【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）分别用大正方形边长的平方、4个图形的面积之和两种不同的方法表示大正方形的面积，二者相等即可得到一个等式； （2）将等号两边同时平方，根据（1）中得到的等式求解即可； （3）设，，则，求出即可得解． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ； （2）解：，， ； （3）解：设，， 长方形的两邻边分别是， ， ， ， ， 这个长方形的面积． 考点二 因式分解 1．【答案】D 【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、是单项式，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D、，属于因式分解，故此选项符合题意． 故此题答案为D． 2．【答案】B 【详解】解：∵的公因式是, ∴把分解因式，应提取的公因式是， 故此题答案为B. 3．【答案】B 【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式． 【详解】解： 另一个因式是5-m． 故此题答案为B 4．【答案】D 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，由此即可判断． 【详解】解：A、，只能提公因式分解因式，故选项不符合题意； B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，故选项不符合题意； C、不能继续分解因式，故选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，故选项符合题意． 故此题答案为D． 5．【答案】D 【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值. 【详解】 解：∵4x2+(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解， ∴k-1=±12， 解得：k=13或-11 故选D. 【点睛】 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.​ 6．【答案】D 【分析】首先将提取公因式，得：，然后将，整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式法因式分解，难点是整体思想在解题中的应用． 7．【答案】D 【详解】解：， ， ． 或， 或， 的形状是等腰三角形或直角三角形， 故此题答案为D． 8．【答案】A 【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后根据三角形三边关系解答． 【详解】解：（a2-2ac+c2）-b2， =（a-c）2-b2， =（a-c-b）（a-c+b）， =[a-（c+b）][（a+b）-c]， 由三角形三边关系， [a-（c+b）]＜0， [（a+b）-c]＞0， ∴[a-（c+b）][（a+b）-c]＜0. 故此题答案为A.． 9．【答案】（答案不唯一） 【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：． 10．【答案】（答案不唯一） 【详解】∵ 11．【答案】 【分析】 直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案． 【详解】 ∵，长方形的一边长为a+b ∴长方形的另一边长为3(a-b)=3a-3b ∴该长方形的周长为：（3a-3b+a+b）×2=， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键． 12．【答案】 【分析】利用非负性求出的值，利用平方差公式和整体思想，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 13．【答案】768 【分析】 利用面积公式得到ab=12，由周长公式得到a+b=8，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可． 【详解】 解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12， ∴ab=12，a+b=8， ∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a+b）2=12×82=768． 故答案为：768 【点睛】 此题考查了因式分解法的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 14．【答案】 【分析】利用求差法判定两式的大小，将与代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断． 【详解】解： ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质．解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 15．【答案】 【分析】 根据是二元一次方程组的解，得出，将原方程组变形后，代入计算可得． 【详解】 解：是二元一次方程组的解， 代入得， 得：， ∴， 故答案为． 【点睛】 本题主要考查二元一次方程组的解，平方差公式法因式分解，代数式的值，解题的关键是掌握平方差公式． 16．【答案】1402或0214 【分析】 先将4x2﹣9y2时因式分解，然后再计算当x＝4，y＝2时，2x+3y和2x﹣3y的值，即可确定密码． 【详解】 解：∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）， 当x＝4，y＝2时， 2x+3y＝8+6＝14， 2x﹣3y＝8﹣6＝2， ∴四位密码是1402或0214． 故答案为：1402或0214． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键． 17．【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式1.23，再用平方差公式进行因式分解即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； （2） ． 【点睛】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 18．【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可． 【详解】（1）解：令， 则原式，                       再将“”还原，得， 原式． （2）令， 原式，        将“”还原，得， 原式． 19．【答案】(1) (2)240 【分析】（1）将所求式子因式分解后整体代入已知的式子求解即可； （2）由已知可得，进而利用完全平方公式的变形求出，再将所求的式子分解因式后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）∵边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 21．【答案】另一个因式为，的值为20 【分析】设另一个因式为，根据题目中给出的方法进行计算即可． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则 ． 解得，． ∴另一个因式为，的值为20． 22．【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意，先将原多项式分组，分别因式分解后再利用提公因式法因式分解即可； （2）先将等式左侧因式分解，再根据两式相乘等于0，则至少有一个式子的值为0和三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：（1） = = = （2）是等腰三角形，理由如下 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是△ABC的三边 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 23．【答案】(1)； (2)，，，； (3)． 【详解】（1）图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为, ∵拼图前后图形的面积不变， ∴， 即可得一个多项式的分解因式为. （2）由题意，得到的几何体的体积为， ∵，，， ∴长方体的体积为， ∵，，， ∴长方体的体积为， ∴， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为. （3）∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解 考点一 整式的乘法及乘法公式 1．（2024陕西安康·期末）计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等，由此即可得出答案，熟练掌握零指数幂的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故此题答案为B． 2．（2024陕西西安·期末）则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用2ab2除以ab即可. 【详解】2ab2÷ab=2b. 故此题答案为C. 【关键点拨】此题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 3．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·临考冲刺）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解：； 故此题答案为A 4．（2024陕西西安·二模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故此题答案为D． 5．（2024陕西咸阳·一模）已知单项式与的积为，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故此题答案为B. 6．（2024陕西榆林·期末）若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵的积中不含项， ∴， ∴． 故此题答案为． 7．（2024陕西榆林·期中）若，，则的值为（    ） A．8 B．12 C．40 D．144 【答案】D 【分析】根据，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故此题答案为D． 8．（2024陕西西安·月考）一个底面是正方形的长方体，高为6厘米，底面正方形边长为5厘米．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a厘米，那么它的体积增加了（　　）立方厘米． A．60a+6a2 B．6a2 C．25a+6a2 D．60a+25a2 【答案】A 【分析】长方体变化后的高为6厘米，底面边长为（5+a）厘米，根据长方体的体积公式求解． 【详解】解： ＝150+60a+6a2﹣150 ＝6a2+60a（立方厘米）． 答：它的体积增加了（6a2+60a）立方厘米． 故此题答案为A． 9．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）在数学兴趣活动中，李老师拿了一根铁丝，她先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为，，则的值是（　　） A． B． C．27 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据铁丝长度不变列出方程是解题的关键．根据铁丝长度不变列出方程求出乙长方形的长，分别求出甲，乙长方形的面积，求差即可． 【详解】解：图乙的长方形另一边长为， ∴， 故此题答案为D． 10．（2024陕西汉中·二模）对于任意的实数,，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】根据新定义运算， 可得， 故原式, 故此题答案为． 11．（2024陕西西安·期中）若，，则的值为（　　） A．1 B．11 C．30 D．35 【答案】C 【分析】根据平方差公式：变形，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故此题答案为C． 12．（2024陕西西安·期中）如果9是完全平方式,那么的值是（        ） A．-12 B．±12 C．6 D．±6 【答案】B 【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值． 【详解】解：∵9a2-ka+4=（3a）2±12a+22=（3a±2）2， ∴k=±12． 故此题答案为B． 13．（2024陕西西安·开学摸底）若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 14．（2024陕西咸阳实验中学·月考）某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：原式，据此可得的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据，进行模仿运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴模仿上述的解法， 则 ． 故此题答案为D． 15．（2024陕西汉中·期末）如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点A在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（    ）    A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】D 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， 或（舍去） ∵四边形是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故此题答案为D． 16．（2023陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 17．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·月考）已知，． (1)当时，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4；(2)7. 【分析】（1）根据同底数幂的乘法“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”得，再将代入即可得； （2）由题意得，再根据多项式与多项式相乘的法则“多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”将进行计算，即可得. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴原式=； （2）解：∵，， ∴， ∴ = = =7． 18．（2024陕西西安西工大附中·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2029 【分析】先根据整式混合运算法则进行计算，然后再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 19．（2024陕西榆林·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；5. 【分析】先计算平方差和完全平方公式，合并同类项后，进行除法运算，再代值计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 20．（2023陕西西安·期中）数学课上，刘老师布置了一道自主探究的试题：请计算当，时，代数式的值．小隽同学很快计算出了答案，喜欢思考善于探究的她，自己给a，b分别取，并计算．经过计算她发现代数式的值不变．请思考：小隽的想法对吗？请说明理由． 【答案】小隽的想法是对的，理由见解析． 【详解】解：小隽的想法是对的． 理由：原式 ． 因为化简结果是常数1，代数式的值与a，b的取值无关，所以代数式的值不变． 21．（2024陕西安康·期末）如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分． (1)请用、表示观景台的面积．结果化为最简 (2)如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可； （2）代入进行计算即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为： ； 答：观景台的面积为平方米； （2）当时， 原式 平方米， 元． 答：修建观景台需要费用为元． 【关键点拨】此题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系． 22．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·开学摸底）某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ (2)当，时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ 【答案】(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株； (2)长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗． 【分析】此题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键． （1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可． （2）把，代入（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株； （2）解：当，时， 原式， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗． 23．（2023陕西西安·月考）阅读理解： 若，，比较，的大小． 解：因为，且，所以，所以．类比阅，读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_______________． A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法      C．幂的乘方  D．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小． (3)已知，，，比较，，的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方直接求解即可得到答案； （2）将两个数的次方经过积的乘方变成相同的次方比较大小即可得到答案； （3）根据积的乘方将指数化相同直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，是幂的乘方的逆运算， 故此题答案为C； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴； 【关键点拨】此题考查幂的乘方的逆应用及应用，解题的关键是熟练掌握． 24．（2024陕西汉中·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______ ； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）分别用大正方形边长的平方、4个图形的面积之和两种不同的方法表示大正方形的面积，二者相等即可得到一个等式； （2）将等号两边同时平方，根据（1）中得到的等式求解即可； （3）设，，则，求出即可得解． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ； （2）解：，， ； （3）解：设，， 长方形的两邻边分别是， ， ， ， ， 这个长方形的面积． 考点二 因式分解 1．（2024陕西西安·期末）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、是单项式，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D、，属于因式分解，故此选项符合题意． 故此题答案为D． 2．（2024陕西榆林·期末）把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的公因式是, ∴把分解因式，应提取的公因式是， 故此题答案为B. 3．（2024陕西西安·月考）把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式． 【详解】解： 另一个因式是5-m． 故此题答案为B 4．（2024陕西咸阳·月考）下列各式中，能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，由此即可判断． 【详解】解：A、，只能提公因式分解因式，故选项不符合题意； B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，故选项不符合题意； C、不能继续分解因式，故选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，故选项符合题意． 故此题答案为D． 5．（2022陕西渭南·期末）若4x2+(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为(     ) A． B． C．或11 D．13或 【答案】D 【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值. 【详解】 解：∵4x2+(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解， ∴k-1=±12， 解得：k=13或-11 故选D. 【点睛】 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.​ 6．（2024陕西榆林·开学摸底）若，，则代数式的值是（   ） A．75 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】首先将提取公因式，得：，然后将，整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式法因式分解，难点是整体思想在解题中的应用． 7．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）已知a，b，c为三边，满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】解：， ， ． 或， 或， 的形状是等腰三角形或直角三角形， 故此题答案为D． 8．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式的值（ ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种 情况均有可能 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后根据三角形三边关系解答． 【详解】解：（a2-2ac+c2）-b2， =（a-c）2-b2， =（a-c-b）（a-c+b）， =[a-（c+b）][（a+b）-c]， 由三角形三边关系， [a-（c+b）]＜0， [（a+b）-c]＞0， ∴[a-（c+b）][（a+b）-c]＜0. 故此题答案为A.． 9．（2024陕西西安高新一中·临考冲刺）一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：． 10．（2024陕西西安·月考）要使多项式能运用完全平方公式进行分解因式，则整式M可以为 （写出一个符合的条件的M即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵ 11．（2022陕西西安·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的周长为 （结果应化简）． 【答案】 【分析】 直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案． 【详解】 ∵，长方形的一边长为a+b ∴长方形的另一边长为3(a-b)=3a-3b ∴该长方形的周长为：（3a-3b+a+b）×2=， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键． 12．（2024陕西西安·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用非负性求出的值，利用平方差公式和整体思想，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 13．（2022陕西西安曲江一中·期中）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，则的值为 ． 【答案】768 【分析】 利用面积公式得到ab=12，由周长公式得到a+b=8，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可． 【详解】 解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12， ∴ab=12，a+b=8， ∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a+b）2=12×82=768． 故答案为：768 【点睛】 此题考查了因式分解法的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 14．（2024陕西西安·开学摸底）若，，则M与N的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用求差法判定两式的大小，将与代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断． 【详解】解： ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质．解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 15．（2022陕西西安曲江一中·期末）已知是二元一次方程组的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】 根据是二元一次方程组的解，得出，将原方程组变形后，代入计算可得． 【详解】 解：是二元一次方程组的解， 代入得， 得：， ∴， 故答案为． 【点睛】 本题主要考查二元一次方程组的解，平方差公式法因式分解，代数式的值，解题的关键是掌握平方差公式． 16．（2022陕西宝鸡·期末）在生活中很多场合都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，其原理是：如对于多项式，因式分解的结果是（a＋b）（a-b），若取a＝8，b＝3则各个因式的值是：（a＋b）＝11，（a-b）＝5，于是就可以把1105作为一个四位数的密码，那么对于多项式，若取x＝4，y＝2时，用上述方法产生的四位数密码是 ．（写出一个即可）． 【答案】1402或0214 【分析】 先将4x2﹣9y2时因式分解，然后再计算当x＝4，y＝2时，2x+3y和2x﹣3y的值，即可确定密码． 【详解】 解：∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）， 当x＝4，y＝2时， 2x+3y＝8+6＝14， 2x﹣3y＝8﹣6＝2， ∴四位密码是1402或0214． 故答案为：1402或0214． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键． 17．（2022陕西西安高新一中·期末）（1）因式分解：①           ② （2）利用因式分解进行简便计算： 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式1.23，再用平方差公式进行因式分解即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； （2） ． 【点睛】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 18．（2024陕西榆林·期末）阅读以下材料： 因式分解：， 解：令，则原式， 再将“”还原，得原式， 上述解题用到的是“整休思想”，“整休思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你运用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可． 【详解】（1）解：令， 则原式，                       再将“”还原，得， 原式． （2）令， 原式，        将“”还原，得， 原式． 19．（2024陕西西安·月考）整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用． 例如：已知，求代数式：的值． 解：． 请仿照上面的方法求解下面的问题： (1)已知：，求代数式的值； (2)边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值． 【答案】(1) (2)240 【分析】（1）将所求式子因式分解后整体代入已知的式子求解即可； （2）由已知可得，进而利用完全平方公式的变形求出，再将所求的式子分解因式后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）∵边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2024陕西西安·月考）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 21．（2024陕西汉中·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 ． 解得， 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题, 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为20 【分析】设另一个因式为，根据题目中给出的方法进行计算即可． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则 ． 解得，． ∴另一个因式为，的值为20． 22．（2024陕西榆林·开学摸底）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如： 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式； （2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意，先将原多项式分组，分别因式分解后再利用提公因式法因式分解即可； （2）先将等式左侧因式分解，再根据两式相乘等于0，则至少有一个式子的值为0和三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：（1） = = = （2）是等腰三角形，理由如下 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是△ABC的三边 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 23．（2024陕西西安高新一中·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．    (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________________________． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)，，，； (3)． 【详解】（1）图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为, ∵拼图前后图形的面积不变， ∴， 即可得一个多项式的分解因式为. （2）由题意，得到的几何体的体积为， ∵，，， ∴长方体的体积为， ∵，，， ∴长方体的体积为， ∴， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为. （3）∵，， ∴， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$