2024-2025学年陕西地区人教版八年级上学期数学期末复习 专项复习提升（三） 轴对称

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．（2023陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）甲骨文是我国目前发现最早的文字，其图画性强的特点非常明显，下列甲骨文图画是轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2022陕西西安·期末）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ） A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行 C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直 3．（2023陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（       ） A． B． C． D． 4．（2022陕西宝鸡·期末）某地兴建的幸福小区的三个出口，，的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）    A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 5．（2024陕西安康·期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．45° C．50° D．70° 6．（2022陕西西安·期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（       ） A              B．              C．             D． 7．（2023陕西西安西安铁一中学·期末）如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动点，当最小时，（    ）    A． B． C． D． 8．（2022陕西宝鸡·期末）点A关于轴的对称点坐标是，则点关于轴的对称点坐标是 . 9．（2024陕西榆林·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 10．（2022陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为 ． 11．（2024陕西汉中·期末）如图，在正方形网格上有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为2，求的面积． 12．（2024陕西西安·期末）三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，中，，且．在边 上求作一点，使是黄金三角形(保留作图痕迹，不写作法）． 13．（2024陕西西安西安市第三中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，依已知，，．    (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 14．（2022陕西西安西安市第三中学·期末）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D． （1）∠PCD=∠PDC吗？为什么？ （2）OP是CD的垂直平分线吗？为什么？ 15．（2023陕西西安西安铁一中学·期末）动手探究 (1)如图1，四边形中，，，点E为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点F． ①请用尺规作图法作出折痕，补全图形．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，猜想与的数量关系为_______，线段，，的数量关系为_______________． 问题解决 (2)为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块四边形的生物基地，如图2，米，米，，E为上一点，F为上一点，，，将基地划分为四块，分别种植四种农作物，并且要求． ①当的面积为2000平方米时，求的面积； ②如图3，连接交于M，交于点N，若，，请直接写出以，，为三边的三角形的面积_______（用含a，b的式子表示）． 考点二 等腰三角形 1．（2024陕西西安西安市曲江第一中学·期末）等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．不确定 2．（2024陕西西安西工大附中·期末）如图，小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从点运动到了点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 4．（2024陕西榆林·期末）如图，在中，， 的垂直平分线交于点 ，交 的延长线于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024陕西西安高新一中·期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（    ） A．α B． C． D． 6．（2023陕西延安·期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（    ） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 7．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，中，，，，点D在边上，以为边在左上方作等边．若，则点E到边的距离为（    ） A． B．cm C． D． 8．（2023陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 9．（2024陕西西安·期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 10．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）已知等腰三角形两边的长为，，且满足．则这个等腰三角形的腰长为 ． 11．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，为正八边形和正方形的一条公共边，点A,E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 ．    12．（2024陕西西安高新一中·期末）如图，是等边三角形，D是的中点，点E在的延长线上，点F在上，，若，则的值为 ． 13．（2023陕西陕西师范大学附属中学·期末）如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为 ． 14．（2024陕西西安·期末）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ． 15．（2024陕西汉中·期末）如图，中，，，是边上的中线且，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为 . 16．（2024陕西汉中·期末）如图，等边中，D为中点，点P,Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ．    17．（2024陕西西安西安市曲江第一中学·期末）如图，在中，，点D为边上一点，作如图所示的使得，且，连接，则当取最小值时 ． 18．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在锐角中，，，的面积为5，P为内部一点，分别作点P关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为 ．    19．（2024陕西汉中·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形． 20．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）如图，，是上的一点，且，．求证：．          21．（2024陕西榆林·期末）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，．    (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 22．（2024陕西西安高新一中·期末）如图，过的边的垂直平分线上的点D作另外两边，所在的直线的垂线，垂足分别为E、F，且．求证： (1)； (2)若，，请你求出的面积． 23．（2024陕西安康·期末）如图，是等边三角形，在直线的下方有一点，且，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)过点作，，，求的长． 24．（2024陕西汉中·期末）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂是为E． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 25．（2024陕西西安高新一中·期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明稍加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置． ∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“___________________________ ”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值； 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 26．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且． 请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：______________；______________． 【推广探究】如图2，在等边中，P、M分别为边AB、AC上的点，且，过点P作交AC于点O，过点M作交BC于点N，PQ与MN交于点F． （1）______________． （2）求证：． 【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFN的周长为，四边形CNFQ的周长为，，则______________（请用含有a、b的代数式表示）． 参考答案 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．【答案】C 【分析】 根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分． 【详解】 ∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的， ∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分． 故选C． 【点睛】 此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键． 3．【答案】A 【分析】 先根据点向右平移个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可． 【详解】 解：∵将点向右平移个单位， ∴点的坐标为：(0，2)， ∴点关于轴的对称点的坐标为：(0，-2)． 故选：A． 【点睛】 本题考查平移时点的坐标特征及关于轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键． 4．【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故此题答案为D． 【关键点拨】垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两端点的距离相等. 5．【答案】B 【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=25°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=25°， ∴∠ACF=70°﹣25°=45°， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6．【答案】C 【分析】 由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】 解：∵， ∴当时，， ∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点． 故选：C． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 7．【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接，由轴对称的性质可得，则，故当四点共线且时，最小，即此时最小，利用三角形内角和定理求出，，进而求出，利用三角形外角的性质求出，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当四点共线且时，最小，即此时最小， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故此题答案为B    8．【答案】（2，1） 【分析】 根据关于坐标轴对称的点的特征，先求得的坐标，进而求得的坐标 【详解】 解：∵点A关于轴的对称点坐标是， ∴点坐标是 点关于轴的对称点坐标是 故答案为： 【点睛】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数 9．【答案】/94度 【分析】由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段为折痕， ，， ， ， ， 10．【答案】8 【分析】连接，，的周长为，因为为定值，所以取最小值时，周长取最小值，求出的最小值即可． 【详解】如图，连接，．的周长为， 为定值， 取最小值时，周长取最小值． ，是边的中点， 是边的中线，． ， ． 是线段的垂直平分线，点、关于直线EF对称． ． 当点为与的交点时，取最小值，的长即为的最小值．周长的最小值为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握垂直平分线的性质、中线的性质是解题的关键． 11．【答案】(1)图形见解析； (2)20 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）利用割补法即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求；    （2）解：网格上最小正方形的边长为2， 的面积． 12．【答案】见解析 【分析】此题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；作边的垂直平分线交于，交于，连接即可，由等腰三角形的性质求出，，则，再证，得，即可得出是黄金三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：作边的垂直平分线交于，交于，连接即可； 是黄金三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 如图所示，点即为所求． 13．【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，与轴的交点即为所求的点，则的最小值即为的长，由勾股定理可得出答案； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）的面积为： ；    （3）如图，连接， ∴的最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 14．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质易得PC=PD，根据等边对等角即可得出∠PCD=∠PDC； （2）易证△POC≌△POD，则OC=OD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得OP垂直平分CD． 试题解析：（1）∠PCD＝∠PDC，理由如下： ∵点P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC； （2）OP垂直平分CD． 理由：∵PC=PD，OP=OP， ∴Rt△POC≌Rt△POD（HL）， ∴OC=OD， ∴OP垂直平分CD（线段垂直平分线的性质逆定理）． 15．【答案】(1)①见解析；②； (2)①平方米；② 【分析】（1）①用尺规作出的平分线即可； ②根据折叠得出，，，，，，，，即可证明；根据，求出，证明、M、F三点共线，得出． （2）①延长，在延长线上截取，连接，，证明，得出，证明，得出，求出（平方米），求出平方米，最后求出结果即可； ②延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，根据，得出，证明，得出，，，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，，根据，根据以，，为三边的三角形，与以，、为三边的三角形全等，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②根据折叠可知，，，，，，，，， ∴， 即； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴、M、F三点共线， ∴； 故答案为：；． （2）解：①延长，在延长线上截取，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即（平方米）， ∵与为直角三角形， ∴ （平方米）， ∴（平方米）； ②延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，如图所示： 根据解析（2）①可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴以，，为三边的三角形与以，、为三边的三角形全等， ∴以，，为三边的三角形面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 考点二 等腰三角形 1．【答案】C 【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5， 能组成三角形，周长， 是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5， 能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是或． 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 2．【答案】B 【分析】由旋转的性质得出，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从点运动到了点， ∴，， ∴， 故此题答案为B． 3．【答案】A 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故此题答案为A． 4．【答案】B 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为． 5．【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 6．【答案】D 【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里， 【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80（海里）． 故此题答案为D． 7．【答案】C 【分析】过E点作于点F，根据“”证明，得出，根据，，得出，证明，即可得出结果． 【详解】解：过E点作于点F， ∵，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点E到边的距离为． 故此题答案为C． 8．【答案】B 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，可得，通过证明是等边三角形，可得，再利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，    ∵， ∴垂直平分，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 9．【答案】或 【分析】题考查等腰三角形的性质，分情况讨论这个的角是顶角还是底角．解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的底角为； 若的角是底角，则这个等腰三角形的底角为， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 10．【答案】22 【分析】首先依据非负数的性质求得，的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可． 【详解】解：． ，， 解得，， ①是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 不能组成三角形， ②是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形，周长， 所以，三角形的周长为． 11．【答案】 【详解】解：∵正八边形的每个内角的度数为， 正方形的每个内角的度数为， ∴， ∵， ∴． 12．【答案】7.5 【分析】取AB的中点G，连接DG，则可得△AGD是等边三角形，易证明△GDF≌△CDE，从而即可求得结果． 【详解】取AB的中点G，连接DG，如图． ∴ ∵D是AC的中点， ∴AD=CD=2.5， ∵△ABC是等边三角形，AB=5， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°，， ∴AG=AD=2.5， ∴△AGD是等边三角形， ∴AD=DG=CD，∠AGD =∠ADG=60°， ∴∠DGF=∠DCE=∠GDC=120°， ∵∠EDF=120°， ∴∠GDF+∠FDC=∠FDC+∠CDE, ∴∠GDF=∠CDE， 在△GDF与△CDE中 , ∴△GDF≌△CDE． ∴FG=CE， ∴BF+CE=BF+FG=BG=2.5， ∴BE+BF=BC+CE+BF=5+2.5=7.5 故此题答案为：7.5． 【关键点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是此题的难点与关键． 13．【答案】 【分析】根据三线合一得出,,连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵是等边边上的中线， ∴是上的高，是的平分线， ∴,， 如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， 故此题答案为：． 【关键点拨】此题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．【答案】18 【分析】如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长． 【详解】 ∵EG垂直平分线段AC， ∴DA=DC， ∴DF+DC=AD+DF， ∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长． ∵ ∴AH=12 ∵AB=AC,AH⊥BC， ∴BH=CH=10， ∵BF=3FC， ∴CF=FH=5， ∴ ∴DF+DC的最小值为13 ∴△CDF的周长最短=13+5=18. 故此题答案为18. 【关键点拨】此题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题. 15．【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于， ，，是边上的中线， ，，平分， 在上， 在中，， ， ， 关于的对称点， ， ， 根据垂线段最短得出 ， 即， 即的最小值是. 16．【答案】 【详解】如图，∵是等边三角形， ∴，, ∵D为中点， ∴ 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，    ∵，， ∴，, ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 17．【答案】 【分析】如图，取的中点为，连接，则，，，证明，则，当时，最小，则最小，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取的中点为，连接， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当时，最小，则最小， ∴， 由勾股定理得，， 故此题答案为：． 【关键点拨】此题考查了含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理是解题的关键． 18．【答案】5 【分析】首先由的面积为5，，求出，然后由和对称构造正三角形，将转化成，将提取系数2，最终转化成垂线段最短． 【详解】解：设与交于点，则，连接、、、，作，垂足为，   ，的面积为5， ∴，即 ， 根据对称性得，，， ， 是正三角形， ， 19．【答案】见解析 【分析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立． 【详解】∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20．【答案】见解析． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 21．【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形； 【详解】（1）∵，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论：是等边三角形． ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22．【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，解题关键是利用证明． （1）根据线段的垂直平分线的性质得出，利用证明，得到； （2）先证明，可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴和为直角三角形， 在和中，， ∴ ∴； （2）∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，结合即可得出垂直平分； （2）由等边三角形的性质结合垂直平分得出，由平行线的性质可得，求出得到，求出即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， 垂直平分； （2）解：是等边三角形，垂直平分， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵， ． 24．【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，求出其角度，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求出的度数； （2）根据等腰三角形的性质得出，则，再根据直角三角形两个锐角互余得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）的周长最小值是；（3）存在；的周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）如图，过作于，连接，当三点共线时，，此时的周长最短，再结合等边三角形的性质与勾股定理计算即可； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，过作于，交于，证明，在直线上运动，当三点共线时，，此时线段和最小，可得的周长最小，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是． （2）如图，过作于，连接， ∵等边，，， ， ∴，，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，， 此时的周长最短， 而， ∴的周长最小值是； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，在直线上运动， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 当三点共线时， ，此时线段和最小， ∴的周长最小， 而此时， ， ， ∴， ∴的周长最小值为 ． 26．【答案】【问题背景】AD=BE，60；【推广探究】（1）60，（2）见解析；【深入探究】2a-2b 【分析】根据SAS证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可解决问题。 【推广探究】（1）如图2，三角形内角和定理可知，∠MFQ+∠QMF+MQF=180°，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°，所以∠MFQ=∠AOE=60°； （2）结合图1可知，∠ABE=∠DAC，由平行的性质可知∠APQ=∠ABE，∠NMC=∠DAC，则∠APQ=∠NMC，由AB=AC及AM=BP可知AP=CM，易证△APQ≌△CMN，由此可得出结论； 【深入探究】由AM=BP，CQ=BN，可得AP+AM=CQ+CN，由PQ=MN，可得PF=a+c-b，所以a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b． 【详解】如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， ∴∠AOE=∠OBA+∠BAD=∠OBA+∠CBE=∠CBA=60° 【推广探究】（1）∵PQ∥BE，MN∥AD， ∴∠QMF=∠EAO，∠MQF=∠AEO， 在△MQF中，∠MFQ+∠QMF+MQF=180°， 在△AEO中，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°， ∴∠MFQ=∠AOE=60°， 故答案为：60； （2）∵∠APQ+∠PAQ+∠PQA=180°， ∠MFQ+∠MQF+∠FMQ=180°， 且∠PAQ=∠MFQ=60°， ∴∠APQ=∠FMQ， ∵AM=BP， ∴AP=CM， 在△PAQ和△MCN中， ， ∴△PAQ≌△MCN（ASA）， ∴PQ=MN； 【深入探究】∵AM=BP，CQ=BN， ∴AP+AM=CQ+CN， ∵PQ=MN， ∴PF+b=a+c， ∴PF=a+c-b， ∴a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．（2023陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）甲骨文是我国目前发现最早的文字，其图画性强的特点非常明显，下列甲骨文图画是轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2022陕西西安·期末）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ） A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行 C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直 【答案】C 【分析】 根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分． 【详解】 ∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的， ∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分． 故选C． 【点睛】 此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键． 3．（2023陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先根据点向右平移个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可． 【详解】 解：∵将点向右平移个单位， ∴点的坐标为：(0，2)， ∴点关于轴的对称点的坐标为：(0，-2)． 故选：A． 【点睛】 本题考查平移时点的坐标特征及关于轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键． 4．（2022陕西宝鸡·期末）某地兴建的幸福小区的三个出口，，的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）    A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故此题答案为D． 【关键点拨】垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两端点的距离相等. 5．（2024陕西安康·期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．45° C．50° D．70° 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=25°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=25°， ∴∠ACF=70°﹣25°=45°， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6．（2022陕西西安·期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（       ） A              B．              C．             D． 【答案】C 【分析】 由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】 解：∵， ∴当时，， ∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点． 故选：C． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 7．（2023陕西西安西安铁一中学·期末）如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动点，当最小时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接，由轴对称的性质可得，则，故当四点共线且时，最小，即此时最小，利用三角形内角和定理求出，，进而求出，利用三角形外角的性质求出，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当四点共线且时，最小，即此时最小， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故此题答案为B    8．（2022陕西宝鸡·期末）点A关于轴的对称点坐标是，则点关于轴的对称点坐标是 . 【答案】（2，1） 【分析】 根据关于坐标轴对称的点的特征，先求得的坐标，进而求得的坐标 【详解】 解：∵点A关于轴的对称点坐标是， ∴点坐标是 点关于轴的对称点坐标是 故答案为： 【点睛】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数 9．（2024陕西榆林·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】/94度 【分析】由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段为折痕， ，， ， ， ， 10．（2022陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，，的周长为，因为为定值，所以取最小值时，周长取最小值，求出的最小值即可． 【详解】如图，连接，．的周长为， 为定值， 取最小值时，周长取最小值． ，是边的中点， 是边的中线，． ， ． 是线段的垂直平分线，点、关于直线EF对称． ． 当点为与的交点时，取最小值，的长即为的最小值．周长的最小值为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握垂直平分线的性质、中线的性质是解题的关键． 11．（2024陕西汉中·期末）如图，在正方形网格上有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为2，求的面积． 【答案】(1)图形见解析； (2)20 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）利用割补法即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求；    （2）解：网格上最小正方形的边长为2， 的面积． 12．（2024陕西西安·期末）三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，中，，且．在边 上求作一点，使是黄金三角形(保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；作边的垂直平分线交于，交于，连接即可，由等腰三角形的性质求出，，则，再证，得，即可得出是黄金三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：作边的垂直平分线交于，交于，连接即可； 是黄金三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 如图所示，点即为所求． 13．（2024陕西西安西安市第三中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，依已知，，．    (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，与轴的交点即为所求的点，则的最小值即为的长，由勾股定理可得出答案； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）的面积为： ；    （3）如图，连接， ∴的最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 14．（2022陕西西安西安市第三中学·期末）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D． （1）∠PCD=∠PDC吗？为什么？ （2）OP是CD的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质易得PC=PD，根据等边对等角即可得出∠PCD=∠PDC； （2）易证△POC≌△POD，则OC=OD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得OP垂直平分CD． 试题解析：（1）∠PCD＝∠PDC，理由如下： ∵点P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC； （2）OP垂直平分CD． 理由：∵PC=PD，OP=OP， ∴Rt△POC≌Rt△POD（HL）， ∴OC=OD， ∴OP垂直平分CD（线段垂直平分线的性质逆定理）． 15．（2023陕西西安西安铁一中学·期末）动手探究 (1)如图1，四边形中，，，点E为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点F． ①请用尺规作图法作出折痕，补全图形．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，猜想与的数量关系为_______，线段，，的数量关系为_______________． 问题解决 (2)为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块四边形的生物基地，如图2，米，米，，E为上一点，F为上一点，，，将基地划分为四块，分别种植四种农作物，并且要求． ①当的面积为2000平方米时，求的面积； ②如图3，连接交于M，交于点N，若，，请直接写出以，，为三边的三角形的面积_______（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；②； (2)①平方米；② 【分析】（1）①用尺规作出的平分线即可； ②根据折叠得出，，，，，，，，即可证明；根据，求出，证明、M、F三点共线，得出． （2）①延长，在延长线上截取，连接，，证明，得出，证明，得出，求出（平方米），求出平方米，最后求出结果即可； ②延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，根据，得出，证明，得出，，，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，，根据，根据以，，为三边的三角形，与以，、为三边的三角形全等，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②根据折叠可知，，，，，，，，， ∴， 即； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴、M、F三点共线， ∴； 故答案为：；． （2）解：①延长，在延长线上截取，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即（平方米）， ∵与为直角三角形， ∴ （平方米）， ∴（平方米）； ②延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，如图所示： 根据解析（2）①可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴以，，为三边的三角形与以，、为三边的三角形全等， ∴以，，为三边的三角形面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 考点二 等腰三角形 1．（2024陕西西安西安市曲江第一中学·期末）等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5， 能组成三角形，周长， 是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5， 能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是或． 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 2．（2024陕西西安西工大附中·期末）如图，小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从点运动到了点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质得出，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从点运动到了点， ∴，， ∴， 故此题答案为B． 3．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故此题答案为A． 4．（2024陕西榆林·期末）如图，在中，， 的垂直平分线交于点 ，交 的延长线于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为． 5．（2024陕西西安高新一中·期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（    ） A．α B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2023陕西延安·期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 【答案】D 【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里， 【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80（海里）． 故此题答案为D． 7．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，中，，，，点D在边上，以为边在左上方作等边．若，则点E到边的距离为（    ）． A． B．cm C． D． 【答案】C 【分析】过E点作于点F，根据“”证明，得出，根据，，得出，证明，即可得出结果． 【详解】解：过E点作于点F， ∵，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点E到边的距离为． 故此题答案为C． 8．（2023陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，可得，通过证明是等边三角形，可得，再利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，    ∵， ∴垂直平分，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 9．（2024陕西西安·期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】题考查等腰三角形的性质，分情况讨论这个的角是顶角还是底角．解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的底角为； 若的角是底角，则这个等腰三角形的底角为， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 10．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）已知等腰三角形两边的长为，，且满足．则这个等腰三角形的腰长为 ． 【答案】22 【分析】首先依据非负数的性质求得，的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可． 【详解】解：． ，， 解得，， ①是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 不能组成三角形， ②是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形，周长， 所以，三角形的周长为． 11．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·期末）将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，为正八边形和正方形的一条公共边，点A,E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：∵正八边形的每个内角的度数为， 正方形的每个内角的度数为， ∴， ∵， ∴． 12．（2024陕西西安高新一中·期末）如图，是等边三角形，D是的中点，点E在的延长线上，点F在上，，若，则的值为 ． 【答案】7.5 【分析】取AB的中点G，连接DG，则可得△AGD是等边三角形，易证明△GDF≌△CDE，从而即可求得结果． 【详解】取AB的中点G，连接DG，如图． ∴ ∵D是AC的中点， ∴AD=CD=2.5， ∵△ABC是等边三角形，AB=5， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°，， ∴AG=AD=2.5， ∴△AGD是等边三角形， ∴AD=DG=CD，∠AGD =∠ADG=60°， ∴∠DGF=∠DCE=∠GDC=120°， ∵∠EDF=120°， ∴∠GDF+∠FDC=∠FDC+∠CDE, ∴∠GDF=∠CDE， 在△GDF与△CDE中 , ∴△GDF≌△CDE． ∴FG=CE， ∴BF+CE=BF+FG=BG=2.5， ∴BE+BF=BC+CE+BF=5+2.5=7.5 故此题答案为：7.5． 【关键点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是此题的难点与关键． 13．（2023陕西陕西师范大学附属中学·期末）如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据三线合一得出,,连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵是等边边上的中线， ∴是上的高，是的平分线， ∴,， 如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， 故此题答案为：． 【关键点拨】此题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．（2024陕西西安·期末）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长． 【详解】 ∵EG垂直平分线段AC， ∴DA=DC， ∴DF+DC=AD+DF， ∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长． ∵ ∴AH=12 ∵AB=AC,AH⊥BC， ∴BH=CH=10， ∵BF=3FC， ∴CF=FH=5， ∴ ∴DF+DC的最小值为13 ∴△CDF的周长最短=13+5=18. 故此题答案为18. 【关键点拨】此题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题. 15．（2024陕西汉中·期末）如图，中，，，是边上的中线且，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于， ，，是边上的中线， ，，平分， 在上， 在中，， ， ， 关于的对称点， ， ， 根据垂线段最短得出 ， 即， 即的最小值是. 16．（2024陕西汉中·期末）如图，等边中，D为中点，点P,Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，∵是等边三角形， ∴，, ∵D为中点， ∴ 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，    ∵，， ∴，, ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 17．（2024陕西西安西安市曲江第一中学·期末）如图，在中，，点D为边上一点，作如图所示的使得，且，连接，则当取最小值时 ． 【答案】 【分析】如图，取的中点为，连接，则，，，证明，则，当时，最小，则最小，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取的中点为，连接， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当时，最小，则最小， ∴， 由勾股定理得，， 故此题答案为：． 【关键点拨】此题考查了含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理是解题的关键． 18．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在锐角中，，，的面积为5，P为内部一点，分别作点P关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为 ．    【答案】5 【分析】首先由的面积为5，，求出，然后由和对称构造正三角形，将转化成，将提取系数2，最终转化成垂线段最短． 【详解】解：设与交于点，则，连接、、、，作，垂足为，   ，的面积为5， ∴，即 ， 根据对称性得，，， ， 是正三角形， ， 19．（2024陕西汉中·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立． 【详解】∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）如图，，是上的一点，且，．求证：．          【答案】见解析． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 21．（2024陕西榆林·期末）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，．    (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形； 【详解】（1）∵，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论：是等边三角形． ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22．（2024陕西西安高新一中·期末）如图，过的边的垂直平分线上的点D作另外两边，所在的直线的垂线，垂足分别为E、F，且．求证： (1)； (2)若，，请你求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，解题关键是利用证明． （1）根据线段的垂直平分线的性质得出，利用证明，得到； （2）先证明，可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴和为直角三角形， 在和中，， ∴ ∴； （2）∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（2024陕西安康·期末）如图，是等边三角形，在直线的下方有一点，且，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)过点作，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，结合即可得出垂直平分； （2）由等边三角形的性质结合垂直平分得出，由平行线的性质可得，求出得到，求出即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， 垂直平分； （2）解：是等边三角形，垂直平分， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵， ． 24．（2024陕西汉中·期末）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂是为E． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，求出其角度，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求出的度数； （2）根据等腰三角形的性质得出，则，再根据直角三角形两个锐角互余得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（2024陕西西安高新一中·期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明稍加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置． ∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“___________________________ ”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值； 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）的周长最小值是；（3）存在；的周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）如图，过作于，连接，当三点共线时，，此时的周长最短，再结合等边三角形的性质与勾股定理计算即可； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，过作于，交于，证明，在直线上运动，当三点共线时，，此时线段和最小，可得的周长最小，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是． （2）如图，过作于，连接， ∵等边，，， ， ∴，，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，， 此时的周长最短， 而， ∴的周长最小值是； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，在直线上运动， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 当三点共线时， ，此时线段和最小， ∴的周长最小， 而此时， ， ， ∴， ∴的周长最小值为 ． 26．（2024陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且． 请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：______________；______________． 【推广探究】如图2，在等边中，P、M分别为边AB、AC上的点，且，过点P作交AC于点O，过点M作交BC于点N，PQ与MN交于点F． （1）______________． （2）求证：． 【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFN的周长为，四边形CNFQ的周长为，，则______________（请用含有a、b的代数式表示）． 【答案】【问题背景】AD=BE，60；【推广探究】（1）60，（2）见解析；【深入探究】2a-2b 【分析】根据SAS证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可解决问题。 【推广探究】（1）如图2，三角形内角和定理可知，∠MFQ+∠QMF+MQF=180°，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°，所以∠MFQ=∠AOE=60°； （2）结合图1可知，∠ABE=∠DAC，由平行的性质可知∠APQ=∠ABE，∠NMC=∠DAC，则∠APQ=∠NMC，由AB=AC及AM=BP可知AP=CM，易证△APQ≌△CMN，由此可得出结论； 【深入探究】由AM=BP，CQ=BN，可得AP+AM=CQ+CN，由PQ=MN，可得PF=a+c-b，所以a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b． 【详解】如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， ∴∠AOE=∠OBA+∠BAD=∠OBA+∠CBE=∠CBA=60° 【推广探究】（1）∵PQ∥BE，MN∥AD， ∴∠QMF=∠EAO，∠MQF=∠AEO， 在△MQF中，∠MFQ+∠QMF+MQF=180°， 在△AEO中，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°， ∴∠MFQ=∠AOE=60°， 故答案为：60； （2）∵∠APQ+∠PAQ+∠PQA=180°， ∠MFQ+∠MQF+∠FMQ=180°， 且∠PAQ=∠MFQ=60°， ∴∠APQ=∠FMQ， ∵AM=BP， ∴AP=CM， 在△PAQ和△MCN中， ， ∴△PAQ≌△MCN（ASA）， ∴PQ=MN； 【深入探究】∵AM=BP，CQ=BN， ∴AP+AM=CQ+CN， ∵PQ=MN， ∴PF+b=a+c， ∴PF=a+c-b， ∴a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b 学科网（北京）股份有限公司 $$