精品解析：福建省漳州市长泰第一中学等三校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题

2024-2025学年上学期期中测试九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写） 1. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角相等 B. ②有一组邻边相等 C. ③有一组邻边相等 D. ④有一个角是直角 2. 在下列方程中，有两个实数根，且两个实数根互为相反数的是（　　） A. B. C. D. 3. 如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A. 1.09 B. C. 1.29 D. 1.39 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A. 点C B. 点D C. 点F D. 点G 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 7. 二次函数图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（　　） A. 点P在点Q的右边 B. 点P在点Q的左边 C. 点P与点Q有可能重合 D. 点P与点Q的位置关系无法确定 10. 如图，点，，，为正方形四边中点，连结，，，．下列说法错误的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 四边形一定正方形 C. 若，则四边形的面积是20 D. 点M，Q是的三等分点 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写） 11. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为______（精确到0.1） 12. 小叶在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是______． 13. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为______． 14. 如图，中，，，D是的中点，则____． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 16. 若关于x的一元二次方程的两个根是a，b，且a，b，c，d都是正整数．现有以下结论：①当，时，；②当，时，；③；④a，b中至少有一个是偶数．其中一定正确的是____．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答） 17. 小明同学解方程的过程如下所示． 解方程：． 解：…第一步 …第二步 即或…第三步 所以，…第四步 （1）小明同学想用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解．从第_____步开始出现错误． （2）请你用适当的方法正确解该方程． 18. 亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题： 已知某矩形长为4，宽为3，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形） 图1菱形的面积为： ；图2菱形的面积为： ．图3菱形的面积为： ． 19 抛物线与x轴交于和． （1）求抛物线的顶点坐标，并在所给的坐标系中画出抛物线的图象（不用列表，直接描点、连线）； （2）结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为： ； ②当时，y的取值范围为：______． （3）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为： ． 20. 如图，在6×8的网格图中，点A，点C在格点上．分别按下列要求在图中画出以AC为对角线的四边形，四边形的各顶点均在格点上．（画图工具不限，且要求四个图形互不全等） （1）在图1中画出四边形是平行四边形； （2）在图2中画出四边形是矩形； （3）在图3中画出四边形是菱形； （4）在图4中画出四边形是正方形． 21. 要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为． （1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？ （2）若给定墙长为，则墙长a对题目的解是否有影响？ 22. 某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的． 类别 频数 频率 助人乐美德少年 a 0.20 自强自立美德少年 3 b 孝老爱亲美德少年 7 0.35 诚实守信美德少年 6 0.32 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的a＝　 　，b　 　； （2）统计表后两行错误的数据是　 　，该数据的正确值是　 　； （3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率． 23. （1）已知一元二次方程的两根为，，补全根与系数的关系的推导过程； 解：， ， ，即：， 当时，此方程______； 当______时，此方程有解； ， ，x2＝， ______， ______； （2）若二次函数与一次函数的图象交于，两点，若，求的值． 24. 如图1，在正方形中，是对角线，过点作，为垂足，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，将四边形绕着点A逆时针方向旋转，得到四边形，且，，三点在同一条直线上，过点作，为垂足，连接并延长交于点， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为4，请直接写出的长． 25. 已知抛物线过点，． （1）求，满足的关系式； （2）点P为抛物线上的另一定点，且． ①说明抛物线与x轴有两个交点； ②若抛物线与x轴交于不同的两点A，B，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中测试九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写） 1. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角相等 B. ②有一组邻边相等 C. ③有一组邻边相等 D. ④有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果； 【详解】解：、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； 、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理； 2. 在下列方程中，有两个实数根，且两个实数根互为相反数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若方程的两根为，，则，根据两个实数根互为相反数可得，即，再判断各个选项即可． 【详解】解：若方程的两根为，， ∵两个实数根互为相反数， ∴， ∴， ∴排除C、D选项， 方程无解，故排除A选项， 有两个实数根，且两个实数根互为相反数，故B选项符合条件， 故选：B． 3. 如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A. 1.09 B. C. 1.29 D. 1.39 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，； 时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根约为． 故选：B． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A 点C B. 点D C. 点F D. 点G 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的对称性，利用数形结合思想解答是解题的关键．画出正方形的对称轴，根据图象即可判断求解． 【详解】如图，正方形有4条对称轴， 由图可知，E关于直线l的对称点可能是点， 故选：C． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴的交点，确定a、b、c的符号，从而判断A；根据函数图象与x轴的交点情况，判断B；根据时的函数值，判断C；根据对称轴为直线，从而判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故A错误，D正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故B错误； ∵当时，，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 9. 已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（　　） A. 点P在点Q的右边 B. 点P在点Q左边 C. 点P与点Q有可能重合 D. 点P与点Q的位置关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，配方法的应用，根据题意，点，点，两点纵坐标相等，得是平行于轴的一条直线，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，再由作差法得到，这个式子正负即可确定，从而得到答案． 【详解】解：点，点，两点纵坐标相等， 是平行于轴的一条直线上，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置， ， ∴， 点在点的右边， 故选：A． 10. 如图，点，，，为正方形四边中点，连结，，，．下列说法错误的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 四边形一定是正方形 C. 若，则四边形的面积是20 D. 点M，Q是的三等分点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理．由点，，，为正方形四边中点，可得，，即可判断四边形为平行四边形； 设，则，，先证明，推理得到，再由面积和勾股定理得到，即可说明四边形为正方形；若，即，解得，根据正方形的面积是计算即可；， ，得到点M，Q不是的三等分点． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， 点，，，为正方形四边中点， ， ∵，， 四边形为平行四边形，故A选项说法正确，不符合题意； ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴四边形为正方形，故B项说法正确，不符合题意； 若，即，解得 ∴正方形的面积是，故C说法正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴点M，Q不是的三等分点，故D法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写） 11. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为______（精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数之间附近，且精确到0.1， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9， 故答案为：0.9． 12. 小叶在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用因式分解法解出方程，判断即可． 【详解】解：， ， ，， ∴小叶漏掉的解是， 故答案为：． 13. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概念，画树状图，求得有4种等可能的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩（）的有2种， ∴P（该小孩为女孩）． 故答案为：． 14. 如图，中，，，D是的中点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，根据直角三角形斜边中线的性质解答即可． 【详解】解：中，， D是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 【答案】2 【解析】 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 16. 若关于x的一元二次方程的两个根是a，b，且a，b，c，d都是正整数．现有以下结论：①当，时，；②当，时，；③；④a，b中至少有一个是偶数．其中一定正确的是____．（写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系是解此题的关键． 先利用根与系数的关系得，，再利用和的值，依次判断各选项即可． 【详解】解：由方程的根与系数的关系可知： ，（，为方程的根）． ①当，时，，①正确； ②当，时，解得或（舍去），②正确； ③， ，③正确； ④， 的值为偶数． a，b中至少有一个偶数．④正确． 故答案为：． 三、解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答） 17. 小明同学解方程的过程如下所示． 解方程：． 解：…第一步 …第二步 即或…第三步 所以，…第四步 （1）小明同学想用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解．从第_____步开始出现错误． （2）请你用适当的方法正确解该方程． 【答案】（1）配方法，一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键： （1）小明想用配方法解方程，第一步一次项没有除以3开始出现错误； （2）移项后，利用十字相乘法进行因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 小明同学是用配方法求解方程， ∵变形时等式左右两边的值不变，一次项没有除以3 ∴第一步开始出现错误； 故答案为：配方法，一； 【小问2详解】 ， ∴，． 18. 亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题： 已知某矩形长为4，宽为3，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形） 图1菱形的面积为： ；图2菱形的面积为： ．图3菱形的面积为： ． 【答案】图见解析；6，9， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质以及求其面积．根据菱形的判定画图即可，结合矩形和菱形的性质求面积． 【详解】解：如图、即为所求， ； 如图、即为所求， ； 如图、即为所求， 设，则， 在中， 由勾股定理可得， 即， 解得， ． 19. 抛物线与x轴交于和． （1）求抛物线的顶点坐标，并在所给的坐标系中画出抛物线的图象（不用列表，直接描点、连线）； （2）结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为： ； ②当时，y的取值范围为：______． （3）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为： ． 【答案】（1）抛物线顶点坐标为，图象见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用二次函数图象解不等式，二次函数的平移，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）将抛物线解析式配成顶点式，即可得出抛物线顶点坐标，再用5点法画图即可； （2）①②结合图象求解即可； （3）利用“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【小问1详解】 将和代入，得， 解得：， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为； 列表得： 描点并连线得： ∴如图所示：此抛物线的图象为所求． 【小问2详解】 结合函数图象，可得： ①当时，x的取值范围为， 故答案为：； ②当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【小问3详解】 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 得到的抛物线为：． 故答案为：． 20. 如图，在6×8的网格图中，点A，点C在格点上．分别按下列要求在图中画出以AC为对角线的四边形，四边形的各顶点均在格点上．（画图工具不限，且要求四个图形互不全等） （1）在图1中画出四边形是平行四边形； （2）在图2中画出四边形是矩形； （3）在图3中画出四边形是菱形； （4）在图4中画出四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定． （1）根据平行四边形的定义进行作图即可； （2）根据矩形的定义进行作图即可； （3）根据菱形的定义进行作图即可； （4）根据正方形的定义进行作图即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2所示，矩形即为所求； 【小问3详解】 解：如图3所示，菱形即为所求； 【小问4详解】 解：如图4所示，菱形即为所求； 21. 要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为． （1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？ （2）若给定墙长为，则墙长a对题目解是否有影响？ 【答案】（1）养鸡场的长为或，宽为或； （2）当时，题目无解；当时，题目只有一个解；当时，题目有两个解． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴或． 答：养鸡场的长为或，宽为或； 【小问2详解】 解：当时，题目无解； 当时，题目只有一个解； 当时，题目有两个解． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的． 类别 频数 频率 助人为乐美德少年 a 0.20 自强自立美德少年 3 b 孝老爱亲美德少年 7 0.35 诚实守信美德少年 6 0.32 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的a＝　 　，b　 　； （2）统计表后两行错误的数据是　 　，该数据的正确值是　 　； （3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率． 【答案】(1)4,0.15;(2)0.32,0.30;(3) 【解析】 【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数，可直接求得a、b的值即可； （2）分别用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可； （3）列表得出所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）由题意得：a＝20×0.20＝4，b＝3÷20＝0.15； （2）∵7÷20＝0.35，6÷20＝0.3≠0.32， ∴最后一行的频率0.32错误，正确的值为0.30； （3）列表得： A B C A AB AC B BA BC C CA CB ∵共有6种等可能的结果，A、B都被选中的情况有2种， ∴P（A，B都被采访到）＝＝． 【点睛】本题考查了频数分布表及列表法求概率的知识，解题的关键是能够正确的列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 23. （1）已知一元二次方程的两根为，，补全根与系数的关系的推导过程； 解：， ， ，即：， 当时，此方程______； 当______时，此方程有解； ， ，x2＝， ______， ______； （2）若二次函数与一次函数的图象交于，两点，若，求的值． 【答案】（1）无解；；；；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一次函数与二次函数图象的交点问题、平面内两点之间的距离公式，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系用含的代数式把两点之间距离表示出来． （1）利用配方法整理一元二次方程，用公式把方程的根表示出来即可得到答案； （2）把二次函数和一次函数的解析式联立成一个方程组，利用一元二次方程根与系数的关系把、用含的代数式表示出来，再根据平面内两点之间的距离公式得到关于的方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，即：， 当时，此方程没有实数根； 当时，此方程有解； ， ，x2＝， ， ， 故答案为：无解；；；； （2）解方程组， 整理得：， 移项合并同类项得：， ， 方程有两个不相等的实数根， ，， ， ， ， ， ， 整理得：， ，(舍去)， 解得：， 的值为． 24. 如图1，在正方形中，是对角线，过点作，为垂足，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，将四边形绕着点A逆时针方向旋转，得到四边形，且，，三点在同一条直线上，过点作，为垂足，连接并延长交于点， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为4，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形的形状是正方形．理由见解析 （2）①．理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形．由正方形的判定可得出结论； （2）①过点作，，，为垂足，证明，得出，．证出．则可得出结论； ②证明，得出，设，则，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形的形状是正方形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ，， ． ，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． ， 矩形是正方形． 【小问2详解】 解：①过点作，，，为垂足， ， 四边形是矩形， ，． 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ． ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ，． ， ， ， ， ． 又， ． ②解：，为正方形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， （负值舍去）， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 25. 已知抛物线过点，． （1）求，满足的关系式； （2）点P为抛物线上的另一定点，且． ①说明抛物线与x轴有两个交点； ②若抛物线与x轴交于不同的两点A，B，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①说明见解析；②时，面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系； （1）把，代入计算即可得到． （2）①由（1）得抛物线表达式为，方程的判别式，当时，即，抛物线与x轴有两个交点． ②由①可得，抛物线表达式为， 令，可得抛物线过定点，，再求出，最后根据，结合求最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴ ． 【小问2详解】 解：①由（1）得， ∴抛物线表达式为， 令，得， ∴， ∵， ∴． ∴抛物线与x轴有两个交点． ②由①可得，抛物线表达式为， ∴， 令，解得，， ∴当时， 当时， ∴抛物线过定点，， 令，得解得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当时，面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$