精品解析：江西省九江外国语学校2024-2025学年九年级上学期第四次综合考试数学试题

九江外国语学校2024-2025学年度上学期第四次综合练习 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：． 2. 正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 3. 已知C是线段的黄金分割点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点，根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，代入数据即可得出的值，熟练掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的倍，较长的线段＝原线段的倍是解决此题的关键． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点，且，为较长线段， ∴， 故选：A． 4. 已知，抛物线的最小值为1，那么c的值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数最大(小)值的求法，题中已知抛物线的最小值为1，写出最小值的表达时即可进行求解，熟练掌握当时，就是函数的最值是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的最小值为1， ∴， 解得， 故选：． 5. 如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD，BEFG是正方形，得到BC=CD=AB=5，GF=BG=3，∠C=∠BGF=∠GFE=∠CGF=∠GFH=90°，根据四边形DGHI是矩形，得到∠DGH=90°，于是得到∠DGC=∠FGH，推出△DGC∽△HGF，得到比例式，求得FH的长度，代入三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD，BEFG是正方形， ∴BC=CD=AB=5，GF=BG=3，∠C=∠BGF=∠GFE=∠CGF=∠GFH=90°， ∵四边形DGHI是矩形， ∴∠DGH=90°， ∴∠DGC+∠CGH=∠FGH+∠HGC=90°， ∴∠DGC=∠FGH， ∴△DGC∽△HGF， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握定理是解题的关键． 6. 如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案. 【详解】解: ∠A=45°，CD=3cm， AB==cm, ∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒, 下面分三种情况讨论: (1)当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1, 作ME⊥AD于E 可知AN=2t,AM=, ∴EM=t, ∴ 故此段图像是一条开口向上的抛物线; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2, 作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O, 可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= , ∴ON=4-DN=8-2t,OM=, ∴MF=4- t, ∴, , , ∴, 故此段图像是一条开口向下的抛物线; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3, 可知BC=1,DN=2t-4, ∴CN=3-DN=7-2t , ∴, , , ∴, 故此段图像是一条呈下降趋势的线段; 综上所述,答案是B. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 方程2x（2x+1）＝1的一次项系数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将方程整理成一般形式即可得． 【详解】解：将方程整理成一般式为4x2+2x﹣1＝0， 则一次项系数为2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程中二次项系数的概念，正确理解概念是解题的关键. 8. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 9. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________． 【答案】100（1+x）2=121 【解析】 【分析】根据题意给出的等量关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：100（1+x）2=121 故答案为100（1+x）2=121 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型． 10. 如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______. 【答案】 【解析】 【分析】作于点，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可. 【详解】作于点， 由折叠可知：，， ∴正方形边长 ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题， 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出BG即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为1∶2，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴点G的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____． 【答案】、 、 【解析】 【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长. 【详解】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E， ∵AC＝4，BC＝3，∴AB==5 设AD=x，BD=5-x， ∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6， 分四种情况讨论： ①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x ∴，即：， 解得x=， ②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x ∴，即：， 解得：x=， BE=>BC，不符合题意. ③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x ∴，即， 解得：x=， ④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x ∴，即：， 解得：x=， 综上：AD的长为、 、 . 【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解. 三、计算题（每小题6分，共30分） 13. 按照要求计算： （1）计算：． （2）解方程 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入进行二次根式的混合运算即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， 或， 解得：，． 14. 如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形； （2）在图2中，在上找一个点M，使． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点： （1）结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接，则平行四边形即为所求． （2）结合正方形的性质，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点M，则点M即为所求． 熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：如图1，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接， ∵为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形即为所求． 【小问2详解】 如图2，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点M， ∵为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则点M即为所求． 15. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCE是平行四边形可得：AD=BC，∠A＝∠C，AB=DC，由E、F分别是AB、DC的中点可得AE=CF，从而可得结论成立； （2）由E、F分别是AB、DC的中点，及四边形ABCE是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得DF=BF，从而得四边形BEDF是菱形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴AE＝AB，CF＝CD， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴BE＝AB，DF＝CD， 又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴DF∥BE，DF＝BE， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∵DB⊥BC， ∴∠DBC＝90°， ∴△DBC为直角三角形， 又∵F为边DC的中点， ∴BF＝DC＝DF， 又∵四边形DEBF为平行四边形， ∴四边形DEBF菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定等知识． 16. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 17. 《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（，，，）． （1）小猪佩奇随机坐到座位的概率是________； （2）若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可得答案； （2）画出树状图，得出所有情况数以及小猪佩奇和小猪乔治坐对面的情况数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）∵有4个座位， ∴小猪佩奇随机坐到座位的概率是； （2）树状图如下： ∴共有12种结果，其中与或与为对面，共有4种， ∴小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 18. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 19. 如图，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，设． （1）试用含x的代数式表示． （2）设矩形的面积为，当x为何值时，S的值最大？最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）时，的值最大，． 【解析】 【分析】（1）过点作于，交于点，由勾股定理得，由三角形面积公式得，得，由矩形的性质，得，则，，得出，进而求解即可； （2）化简，即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作于，交于点，如图所示， 是直角三角形, ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ∴，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由(1)得：， ∴， 时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、矩形的性质、三角形面积计算、矩形面积计算等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】（1）点A位于最高点时到地面的距离为米 （2）此时水桶B上升的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【小问1详解】 解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 21. 已知关于x的方程有实根． （1）当时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）不存在实数，使方程两根的倒数和为1． 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，解方程等知识点， （1）利用因式分解法解方程即可； （2）讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数解；当时，利用根的判别式的意义得到，此时满足且，然后综合两种情况得到的取值范围； （3）设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系得，再利用得到，解得，然后利用且可判断不存在实数，使方程两根的倒数和为1； 熟练掌握若是一元二次方程的两根时，是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：当时，方程化为：， ∴， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：当时，方程化为，为一元一次方程，方程有实数解， 当时，为一元二次方程，根据题意得， 解得且， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 解：不存在.理由如下： 设方程的两根分别为、， 根据根与系数的关系得， ，即， ， ， 解得， 且时有两实根， 不存在实数，使方程两根的倒数和为1． 22. 如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形的边长； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据点B的坐标，以及菱形的性质可求得点D的坐标，进而求得反比例函数的解析式； （2）过点B作轴于点E，在中利用勾股定理解题即可； （3）求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵菱形的对角线交于点D， ∴ ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， 又∵反比例函数经过点D， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作轴于点E， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴菱形的边长为； 【小问3详解】 ∵点B的坐标为，， ∴点C的坐标为， 代入得：，解得：， ∴， 令，则， 解得：， 结合图象，不等式的解集为或． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，． （1）如图，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求，两点间的距离． （2）当时，如图，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①和；②． （2），，或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标即可得解； （2）①根据抛物线与轴的交点分别求出两抛物线的对称轴即可得解；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标，，进而分当，且点在点的下方时，当，且点在点的上方时，当，且点在点的下方时，当，且点在点的上方时，四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴抛物线为：，抛物线为； ②∵抛物线为：，抛物线为 ∴，， ，两点间的距离为． 【小问2详解】 解：①直线，之间的距离是定值，定值为．理由如下： ∵，，， ∴抛物线的对称轴直线为，抛物线的对称轴直线为， ∴直线，之间的距离为， ∴直线，之间的距离是定值，定值为． ②∵，，， ∴设抛物线，抛物线， ∴，， ∴，， 如图，当，且点在点的下方时， ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的上方时， 同理可得：， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的下方时，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的上方时， 同理可得的坐标为， 综上可得，符合条件的点的坐标为，，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九江外国语学校2024-2025学年度上学期第四次综合练习 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ） A. B. C. D. 3. 已知C是线段的黄金分割点，，若，则（ ） A B. C. D. 4. 已知，抛物线的最小值为1，那么c的值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. D. 6. 如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 方程2x（2x+1）＝1的一次项系数是_____． 8. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为____________． 9. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________． 10. 如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______. 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为__________． 12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____． 三、计算题（每小题6分，共30分） 13. 按照要求计算： （1）计算：． （2）解方程 14. 如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形； （2）在图2中，在上找一个点M，使． 15. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形． 16. 如图，小树在路灯照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 17. 《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（，，，）． （1）小猪佩奇随机坐到座位的概率是________； （2）若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率． 18. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，设． （1）试用含x的代数式表示． （2）设矩形的面积为，当x为何值时，S的值最大？最大值是多少？ 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 21. 已知关于x的方程有实根． （1）当时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形的边长； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，． （1）如图，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求，两点间的距离． （2）当时，如图，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$