精品解析：山东省枣庄市山亭区2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷　

九年级数学 注意事项：（人教版） 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … 0.56 0.25 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A B. C. D. 4. 如图，已知为的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（ ） A B. C. D. 6. 生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（ ） A. 14 B. C. 240 D. 44 7. 下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ） A B. C. D. 9. 抛物线的开口向上，顶点在第四象限，且不过第三象限，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值有最小值 10. 如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值等于 _____． 12. 如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则__________． 13. 将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式为_______（写成一般式） 14. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线对称轴为直线_______； （2）若新抛物线有，两点，且，则的取值范围为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，格点在所给的网格图形中． （1）画出绕点O顺时针旋转后的； （2）画出关于点O成中心对称的图形． 16. 已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根满足，求的值． 18. 唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船轮子的直径． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料． （1）若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？ （2）菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？ 20. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 六、（本题满分12分） 21. 在中，，将在平面内绕点顺时针旋转（旋转角不超过）．得到，其中点的对应点为点，连接，且． （1）如图，试猜想与之间满足等量关系，并证明； （2）如图，若点在边上，，，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中．运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．已知，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点A的坐标是_______，点P的坐标是_______； （2）求b，c的值； （3）该运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时他的水平距离． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． （1）求直线上的“方形点”； （2）求抛物线上的2个“方形点”之间的距离； （3）若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时、二次函数的最小值为，最大值为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学 注意事项：（人教版） 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 3. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … 0.56 0.25 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．根据函数与x轴交点的纵坐标为零求解即可． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是． 故选B． 4. 如图，已知为的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及平行线的性质，首先根据平行线的性质可证，再利用圆周角定理可得． 【详解】解：∵过点D的弦平行于半径，， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转变换，根据“对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心”作图即可． 【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，旋转中心M即为所求． 由图可得点M的坐标是． 故选：C． 6. 生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（ ） A. 14 B. C. 240 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把解析式化为顶点式求出顶点的纵坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵在最适宜温度时，酶的活性最强， ∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240， 故选：C． 7. 下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）． 【详解】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中； （2）、不符合题意，平分的弦不能是直径； （3）、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧； （4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线． 故答案为：A． 8. 如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】解：，， ， 由旋转得，，， ， ， 故选：B． 9. 抛物线的开口向上，顶点在第四象限，且不过第三象限，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向上，可判定，根据顶点在第四象限， 得到，确定b的符号，根据图象不过第三象限，抛物线与y轴的交点，为原点或原点以上，可得到，根据抛物线的性质可作出判断解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的开口向上， ∴，函数有最小值；在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵顶点在第四象限， ∴， ∴， ∵图象不过第三象限， ∴抛物线与y轴的交点，为原点或原点以上， ∴， ∴， 故A错误，符合题意， B，C，D正确，不符合题意， 故选：A． 10. 如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，动点问题的函数图象，分类讨论：当时，根据正方形的面积公式得到；当时，交于，交于，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：当点E恰好在上时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，正方形与的重叠部分即为正方形，则； 当时，交于，交于，如图， ，则， 同理可证明为等腰直角三角形， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值等于 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出a，b的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：1． 12. 如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，由知，同理得出，从而知，据此可得答案． 【详解】解：经过圆心，， ， 同理：， 是△的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 13. 将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式为_______（写成一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，该抛物线的顶点坐标为，由题意可知，关于原点对称的点坐标为，由于原图象开口向上，绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，从而可求出旋转后的解析式． 【详解】解：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵绕原点旋转后的点与关于原点对称，即绕原点旋转后的点坐标为， ∴当将抛物线绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，且顶点坐标， ∴解析式为 故答案为：． 14. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_______； （2）若新抛物线有，两点，且，则的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据二次函数的图象的对称性求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，确定点、与对称轴距离的远近． 根据当时和抛物线经过点过，可知点和关于对称轴对称，可知抛物线的对称轴是直线； 根据抛物线向左平移个单位长度，可知平移后新抛物线的对称轴是直线，根据可知点离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，所以可得的中点在对称轴的左侧，从而得到不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】当时， 二次函数的图象过， 又二次函数图象过， 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； 解：抛物线向左平移个单位长度， 新抛物线对称轴是直线， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， 离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远， 的中点在对称轴的左侧， ， ， ， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，格点在所给的网格图形中． （1）画出绕点O顺时针旋转后的； （2）画出关于点O成中心对称的图形． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点即可． 【小问1详解】 解：即为所作： 【小问2详解】 解：即为所作： ． 16. 已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标. 【答案】y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）. 【解析】 【分析】把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标. 【详解】∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得b= -2，c= -3， ∴ 抛物线解析式为y=x2-2x-3 ． ∵ y=x2-2x-3=（x-1）2 -4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）. 【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据，解不等式即可； （2）由根与系数的关系得出和的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：关于的方程有实数根， ， 解得：． 故的取值范围是． 【小问2详解】 解： ，， ， ， 解得，， 又， ． 18. 唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船轮子的直径． 【答案】该桨轮船轮子的直径为 【解析】 【分析】过点作，连接，利用垂径定理得到是直角三角形，，最后利用勾股定理即可解答．本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：过点作，连接， ∴，， ∴是直角三角形， ∵，， ∴，， ∴设， ∴在中，， ∴， 解得：， 即， ∴该桨轮船轮子的直径为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料． （1）若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？ （2）菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？ 【答案】（1）若面积为，菜园的长为，宽为 （2）当时，菜园有最大面积，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设这个菜园一边长为，则另一边长为，根据菜园面积为列方程求解即可； （2）设菜园的面积为，列出y关于x的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可． 【小问1详解】 解：设这个菜园一边长为，则另一边长为． 依题意，得， 解得（舍去），． 当时，． 答：若面积为，菜园的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设菜园的面积为， 依题意，菜园的面积为， ∵， ∴当时，菜园有最大面积，最大面积为． 20. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 六、（本题满分12分） 21. 在中，，将在平面内绕点顺时针旋转（旋转角不超过）．得到，其中点的对应点为点，连接，且． （1）如图，试猜想与之间满足的等量关系，并证明； （2）如图，若点在边上，，，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定，平行线的性质、勾股定理等知识点，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转性质可得可得，由平行线的性质可得，然后根据等量代换即可解答； （2）由旋转的性质进而证明，进而判定是等边三角形，进而求解； 【小问1详解】 ，理由如下： 在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过），得到． ， ， ， ， 【小问2详解】 在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过），得到， ，，， ， ， ， 是等边三角形． ； 七、（本题满分12分） 22. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中．运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．已知，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点A的坐标是_______，点P的坐标是_______； （2）求b，c的值； （3）该运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时他的水平距离． 【答案】（1）； （2） （3）该运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标； （2）用待定系数法求解即可； （3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【小问1详解】 解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m， ，； 【小问2详解】 解：把，代入 得，， 解得，， ； 【小问3详解】 解：， 设直线表达式为， 把代入，得， 解得，， ， 设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、， ， ， 当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． （1）求直线上的“方形点”； （2）求抛物线上的2个“方形点”之间的距离； （3）若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时、二次函数的最小值为，最大值为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）令，则，根据“方形点”定义求解即可； （2）令，则，根据“方形点”定义求解即可； （3）根据题意求出和的值，进而根据二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：令，则，解得， ； 即直线上的“方形点”为； 【小问2详解】 解：令，则，解得，； 当时；当时，， 抛物线上的2个“方形点”为， 点与之间的距离； 【小问3详解】 点是二次函数的“方形点”， ， 二次函数的图象上有且只有一个“方”形点． （即）有且只有一个根， ，即，解得， ， ， ∴二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时，，解得，， ∴当时，函数的最大值为，最小值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$