精品解析：福建省漳州市第三中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年漳州三中九年级第三次阶段性教学质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位，越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画图在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口．根据抛物线的开口向下可得，从而即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 的值可以是， 故选：D． 2. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：B． 3. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽． 先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长． 【详解】∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴矩形的周长为：． 故选：D． 5. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张， ∴名学生共赠贺卡为张， 由题意得：； 故选：D． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误； B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误； C、，则四边形是矩形，原选项判断错误； D、，则四边形是矩形，原选项判断正确； 故选：D． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 8. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答． 【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得： 解得， 经检验，是分式方程的解且符合实际意义， 即P点表示的数为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程． 9. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键． 延长到点使，与格线交于点，连接，，利用网格特征得到，，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点使，与格线交于点，连接，， 则，， ， ， ， 故选：C． 10. 已知点，在抛物线（是常数）上．以下四个结论：①抛物线一定经过点；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，在中，当时，，即可判断①；求出对称轴为直线，即可判断②，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④，熟练掌握以上知识点并熟练运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，， 抛物线一定经过点，故①正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，故②正确，符合题意； ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，，当时，；故③错误，不符合题意； ， 当时，，此时方程无解，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：B． 二．填空题：本小题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，．根据根与系数的关系得：，求出即可． 【详解】解： 则根据根与系数的关系得：， 解得：， 即方程的另一个根为1， 故答案为：1． 12. 如图，在，，D是中点，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，根据，D是中点，得到，再用勾股定理即可求解，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵，D是中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，可得自变量的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， 根据图象可得，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 自变量的取值范围是或． 故答案为：或． 14. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． 根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点，且，若则矩形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再设点的坐标为，从而可得，然后利用矩形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ， 设点的坐标为，则， ， ∴， ∵点在反比例函数， ∴， ∵矩形的面积为， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论： ①；②是等腰直角三角形；③当时，；④； 其中正确的结论是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①如图，证明和，即可判断； ②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断； ③先证明，假设正方形边长为1，如图1，连接交于O，设，则，表示的长为可作判断； ④如图2，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②正确， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 假设正方形边长为1，设，则， 如图1，连接交于O， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ④如图2， ∴将绕点A顺时针旋转得到， 则，，． ∵． ∵， ∴H、B、E三点共线， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法；熟练掌握配方法、因式分解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以为位似中心，在的下方画出，使与位似，且相似比为； （2）直接写出点和点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）先在网格中作出A、C的对应点、，然后顺次连接即可解答； （2）根据（1）作图中点、的位置，直接写出坐标即可． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得，，． 19. 如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， ． 20. 要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为． （1）若墙足够长，则垂直于墙的一边长应安排多少米？ （2）若给定墙长为，则墙长对题目的解是否有影响？有何影响？ 【答案】（1）或； （2）有影响，当时，题目无解；当时，题目只有一个解；当时，题目有两个解 【解析】 【分析】（）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据题意列出方程，然后求解即可； （）由根据（）的结论可分当时，当时，当时三种情况，找出题目解的个数； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 答：边长为或； 【小问2详解】 解：墙长对题目有影响，理由， 由（）知，垂直于墙的一边长为或； ∴靠墙的边长为：或， 当时，题目无解； 当时，题目只有一个解； 当时，题目有两个解． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据一次函数得出点，，根据求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ， 点和点都在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 由一次函数解析式 当时，，当时， ∴，， 22. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 【答案】任务1：旗杆的高度为；任务二：旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 任务：根据两角相等的两个三角形相似可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； 任务：过点作，垂足为，交于点，证明，则，然后代入求出，最后用线段和差即可求解； 【详解】解：任务：在素材1中，小陈同学还要测量图中线段的长度，才能求出旗杆的高度， 把该线段的长度记为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴旗杆的高度为； 任务：过点作，垂足为，交于点， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴旗杆的高度为． 23. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）0 【解析】 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【小问1详解】 依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． 【小问3详解】 ∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 24. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①、、、这四条线段的比例关系：，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ，，， 平分， ， ， ， ， 即． 【小问2详解】 解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 【小问3详解】 ①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 ∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年漳州三中九年级第三次阶段性教学质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位，越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画图在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 如果，则（ ） A. B. C. D. 3. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 5. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 9. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，在抛物线（是常数）上．以下四个结论：①抛物线一定经过点；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题：本小题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 12. 如图，在，，D是中点，，，则__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围为______． 14. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______． 15. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点，且，若则矩形的面积为，则的值为______． 16. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论： ①；②是等腰直角三角形；③当时，；④； 其中正确的结论是______． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置解答． 17 解方程： （1） （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以为位似中心，在的下方画出，使与位似，且相似比为； （2）直接写出点和点的坐标． 19. 如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的长度． 20. 要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为． （1）若墙足够长，则垂直于墙的一边长应安排多少米？ （2）若给定墙长为，则墙长对题目的解是否有影响？有何影响？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 22. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 23. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 24. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $