精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

渠县中学初2023级2024年秋季学期第二次月考试题 数学 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 在实数：，，，，，中，是无理数的共（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A. m＝±3 B. m≠3 C. m＝3 D. m＝﹣3 4. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 点在第四象限 B. 若，则在坐标原点 C. 点在第三象限，且点到轴的距离为，点到轴的距离为，则点的坐标为 D. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（ ） A. 2025 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知和分别是一个正数的两个平方根，则__________． 12. 《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为：________． 13. 已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是________（用“”表示）． 14. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则的值为______． 15. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为_____． 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，共90分） 16. 计算： （1） （2）． 17. 解二元一次方程组： （1）； （2） 18. 已知点，解答下列各题． （1）点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 19. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点A，的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． （1）画出； （2）直接写出的面积：___________； （3）在轴上找出一点，使的周长最小，求出点的坐标． 20. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去兵马俑．甲、乙两公司收费如下，甲公司：按日收取固定租金100元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出，与之间的表达式； （2）结合图象，请你帮助小明分析选择哪家租车公司更合算． 21. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； （3）先化简，再求值：，其中． 22. 某中学组织师生共人去参观博物院，阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？ 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 24. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 25. 【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县中学初2023级2024年秋季学期第二次月考试题 数学 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 在实数：，，，，，中，是无理数的共（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，3等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：是有限小数，属于有理数，是整数，属于有理数，是分数，属于有理数， ，，是无理数共有3个， 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称的点的坐标特征“横坐标和纵坐标都互为相反数”的性质解答即可，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 【详解】∵关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为， 故选：B． 3. 已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A. m＝±3 B. m≠3 C. m＝3 D. m＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可． 【详解】∵函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m-3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 4. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据两直线的交点与二元一次方程组的解知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：关于x，y的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ∴， 故关于x，y的方程组的解是． 故选：A． 5. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人有人，银有两，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设客人有人，银有两， 由题意得，， 故选：． 6. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和正比例函数的性质逐一判断即可得答案． 【详解】A.∵一次函数经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴-b＜0， ∴正比例函数应经过二、四象限，故本选项不符合题意， B.∵一次函数经过一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴-b＞0， ∴正比例函数应经过一、三象限，故本选项不符合题意， C.∵一次函数经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴正比例函数应经过一、三象限，故本选项符合题意， D.∵一次函数经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴正比例函数经过一、三象限，故本选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数和正比例函数的性质，对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限；当b＞0时，图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，图象与y轴交于负半轴；熟练掌握相关性质是解题关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 点在第四象限 B. 若，则在坐标原点 C. 点在第三象限，且点到轴的距离为，点到轴的距离为，则点的坐标为 D. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的特点，根据平面直角坐标系的特点逐项进行判定即可得出答案，正确理解平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【详解】解：、当时，点在轴正半轴上，原选项不符合题意； 、若，则在轴或轴上，原选项不符合题意； 、点在第三象限，且点到轴的距离为，点到轴的距离为，则点的坐标为，原选项不符合题意； 、在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则，原选项符合题意； 故选：． 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，易证，结合A的坐标为，即得出，，从而可知． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵A的坐标为， ∴，， ∴． 故选B． 9. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①普通列车的速度是（千米小时）， 设动车的速度为千米小时， 根据题意，得：， 解得：， 动车的速度为250千米小时， 故①错误； ②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点的实际意义是两车出发后3小时相遇， 故②正确； ③由时，知，甲地和乙地相距1000千米， 故③正确； ④由图象知时，动车到达乙地， 时，普通列车到达甲地， 即普通列车到达终点共需12小时， 故④错误； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知和分别是一个正数的两个平方根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的性质．一正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，由此即可计算． 【详解】解：和分别是一个正数的两个平方根， ， ， 故答案为：1． 12. 《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列二元一次方程组．由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14； 第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31， 所以可列方程为． 故答案为：． 13. 已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是________（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，据此判断出增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵是直线（为常数）上的三个点，且， ∴， 故答案为：． 14. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，实数和数轴，根据数轴上两点距离计算公式可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 15. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段，使，在上任取一点，设，，构造，，使，且，，则可得，可得当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长，构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，取线段，使，在上取一点，设，，构造，，使，且，， 则，，， 则， 当点，，三点共线时，的值最小， 即的值最小，最小值等于的长， 过点作交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，共90分） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键； （1）根据二次根式的加减乘运算可进行求解； （2）先利用二次根式及立方根的性质化简，然后再进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解二元一次方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解决问题的关键． （1）对于方程组，将①代入②得，由此解出，再将代入①解出即可得出该方程组的解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 该方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， ①，得③， ②，得④， ③④，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解是． 18. 已知点，解答下列各题． （1）点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】（1）点P的坐标为； （2）2023 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质， （1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为，直线轴， ， 解得：， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， 解得：， ． 19. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点A，的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． （1）画出； （2）直接写出的面积：___________； （3）在轴上找出一点，使的周长最小，求出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）3.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点、关于轴的对称点、的位置，再与顺次连接即可； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）找出点关于轴的对称点位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与轴的交点即为所求的点，然后求出直线解析式，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：的面积 ． 故答案为：3.5； 【小问3详解】 解：根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得如图所示， ∴， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴的解析式为， 令时，则有， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质及几何变换综合题，考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 20. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去兵马俑．甲、乙两公司收费如下，甲公司：按日收取固定租金100元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出，与之间的表达式； （2）结合图象，请你帮助小明分析选择哪家租车公司更合算． 【答案】（1）， （2）当租车时间少于5小时时，选择乙租车公司更合算；当租车时间等于5小时时，两家租车公司所需费用一样多，任选一家即可；当租车时间多于5小时时，选择甲租车公司更合算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、以及待定系数法是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解即可得； （2）求出两个一次函数的交点，结合函数图象即可得． 【小问1详解】 解：设， 将点和代入得：，解得， 则， 设， 将点代入得：， 则． 【小问2详解】 解：联立，解得， 则由函数图象可知，当时，；当时，；当时，， 所以当租车时间少于5小时时，选择乙租车公司更合算；当租车时间等于5小时时，两家租车公司所需费用一样多，任选一家即可；当租车时间多于5小时时，选择甲租车公司更合算． 21. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮 （2） （3）2030 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【小问1详解】 解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． 【小问2详解】 解：由题意得 ； 故答案：． 【小问3详解】 解：当时， 原式 原式 ． 22. 某中学组织师生共人去参观博物院，阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？ 【答案】（1）客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元 （2）共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为元 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元，根据租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元，租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设座的客车租用辆，座的客车租用辆，根据每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题； 【小问1详解】 解：设客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元， 由题意得： 解得：， 答：客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元； 【小问2详解】 解：设座的客车租用辆，座的客车租用辆， 由题意得：， 整理得：， 、均为非负整数， 或或， 有种租车方式：①座的客车租用辆，费用为：(元)； ②座的客车租用辆，座的客车租用辆，费用为： (元)； ③座的客车租用辆，座的客车租用辆，费用为： (元)； ， 最省钱的租车费用为元； 故共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为元 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 24. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 【小问3详解】 当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 25. 【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）；（3）或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，      将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $