精品解析：陕西省榆林市府谷县联考2024-2025学年高一上学期第二次月考质量检测（12月）数学试题

高一年级第二次月考质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________． 13. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则______. 14. 已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边经过点. （1）求，的值； （2）求的值. 16. 已知函数. x 0 2 0 0 （1）填写上表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）解不等式. 17. 已知函数. （1）证明：的图象关于原点对称； （2）若，求使的图象在函数图象上方的实数的取值范围. 18. 已知函数（，）的图象经过点，. （1）求的解析式； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）求关于的不等式的解集. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； （3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二次月考质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助终边相同的角的定义计算即可得. 【详解】由，故与角终边相同的角是. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集的概念计算即可. 【详解】由题意可得，，， ∴，∴. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的范围代入相应的解析式后可得函数值. 【详解】由题意可得. 故选：A. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得,再结合零点存在定理,可选出答案. 【详解】是上的增函数, 又函数是上的增函数, 故是上的增函数. , , 因为,所以函数的零点所在区间是. 故选:B. 5. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可确定，进而计算可得结果. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，符合题意， 所以. 故选：A. 6. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求时的值，由此可得，再求其比值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故；故， 所以. 故选：A. 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，为方程的两根，由此求出的解析式，进而求出函数的值域，从而得解. 【详解】由关于的不等式的解集为，得，为方程的两根， 即， 整理得， 所以函数的值域为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】AC选项，可利用不等式的性质进行判断；BD选项，可利用作差法比较大小. 【详解】A选项，两边同乘以，，A为真命题； B选项，，则，故， 所以，B为真命题； C选项，两边同乘以得，两边同乘以得， 所以，C为假命题； D选项，，则，，故， 所以，D为假命题. 故选：CD 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A选项；由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故A错； 对于B选项，由A知函数的定义域为， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故B对； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故C对； 对于D选项，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，故D错. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先求得扇形半径，然后由面积公式，即可得到结果. 【详解】设扇形的半径为，则，所以， 所以扇形面积为． 故答案为：． 13. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合解析式，代入即可. 【详解】由是定义域为的奇函数，所以，得， ，所以 故答案为： 14. 已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的性质可得，，根据可得代入求解. 【详解】由于的图象恒过定点，所以，且，故且， 由于，所以， 又，即，故， 因此，故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边经过点. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)先求出，再由三角函数定义求解即可； (2)根据诱导公式将化简为，再将分子分母同时除以化为，将代入求值即可. 【小问1详解】 由题意，角的终边经过点，设， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 由诱导公式可知，， 将上式分子分母同时除以可得. 16. 已知函数. x 0 2 0 0 （1）填写上表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）解不等式. 【答案】（1）表格见解析，图象见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据五点法求相应点，完善表格，进而可得图象； （2）由不等式可得，结合正弦函数性质列式求解即可. 【小问1详解】 列表： x 0 0 2 0 0 描点，连线得到函数在一个周期上的图象如下. 【小问2详解】 由得，即， 则，或，， 解得，或，， 所以的解集为. 17. 已知函数. （1）证明：的图象关于原点对称； （2）若，求使的图象在函数图象上方的实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即得； （2）由题可得，然后分和讨论结合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为， 对于，都有. 且 ， 所以是奇函数，故的图象关于原点对称. 【小问2详解】 若的图象恒在函数图象的上方，则有， 即， 当时，，即， 所以，所以； 当时，，即， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 18. 已知函数（，）的图象经过点，. （1）求的解析式； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 因为，， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式计算，即可得到结果； （2）根据题意，通过计算即可证明； （3）结合的单调性及对称性将不等式化简，再讨论的区间位置得到结果. 【小问1详解】 由题意可知，， 解得，或，， 因为，，所以，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得. 综上可知， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； （3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. 【小问2详解】 方程即，设， 由题意知，解得. 【小问3详解】 因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $