精品解析：江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期初三第三次阶段测试试卷 数 学 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、化简绝对值、数轴，正确掌握相关的性质内容是解题的关键． 根据数轴判断a、b、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】由数轴知，，且 ，， ， ， ， ． 故选：D 2. 若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程组变形为，进而可得到，求解即可． 【详解】解：方程组变形为， ∴由题意知，， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键． 3. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 4. 已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 5. 平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与x轴交于A，直线与x轴交于B，与y轴交于C，直线与y轴交于D，将绕直线点D逆时针旋转得到，由得，根据将直线向右平移3个单位得到，可得，直线解析式为，即可得，又将作关于x轴的对称图形，故，因将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，故，，可得，再利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设直线与x轴交于A，直线与x轴交于B，与y轴交于C，直线与y轴交于D，将绕直线点D逆时针旋转得到，如图： 在中，令得， ∴， ∵将直线向右平移3个单位得到， ∴，且直线， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵将作关于x轴的对称图形， ∴， ∵将绕与y轴的交点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E到x轴距离为， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的性质，求出E的坐标． 6. 已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确； 当a＞0时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误； 由一元二次方程的求根公式得， ∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确； 由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， ∴正确的结论有：①③④ 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，抛物线与轴的交点等知识，理解题意，熟练运用所学知识是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 7. 已知，则的值是_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键． 8. 若实数x满足，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法． 【详解】解：方程整理得：， 设， 则原方程变形为：， ， ，， 当时，， ， ， 则， 故答案为：5 9. 如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，能够从图象上得出及边上的高是解题的关键． 根据图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，而从B到C运动过程中，先变小后变大，从而可确定的长度以及边上的高，从而利用勾股定理即可求出的长度，最后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，运动到点B时最大，所以 ， 而点P从B到C运动过程中，先变小后变大，当时，最小，此时为边上的高，长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以． 如图，当时， ∵，，， ∴ ． ∵，， ， ， 故答案为：12． 10. 如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 点在反比例函数上， ， 点在反比例函数上， ， 平行四边形的面积为：， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 11. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有个整数解确定的值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 关于的分式方程的解为整数， 为整数，且， ， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式的解集为， 又该不等式组有解且至多有个整数解， ， ， 综上所述，符合条件的整数的值为，，，， 符合条件的整数积是． 故答案为：． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形， 以和为腰，为底，则， ∴， ∴P的坐标为； 以和为腰，为底， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴， ∴P的坐标为， 以和为腰，为底，点O是的中点， ∴， ∴P的坐标为， 综上所述，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分） 13. 简答： （1）分解因式： （2）解分式方程： （3）计算： 【答案】（1） （2）无解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式及公式法分解因式、解分式方程以及实数的运算． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可得出答案； （3）先去绝对值符号、计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 解得，， 经检验不是原方程的解， 所以原方程无解； 【小问3详解】 解： ． 14. 简答： （1）解不等式组． （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先根据分式的混合运算法则将分式化简，再代入值计算即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①： 解不等式②： ， 该 不 等 式 组 的 解 为：； 【小问2详解】 解： ，， ，， ，且为整数， 取值为， 当时，原式． 15. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的根为整数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）当，，，，1，2，4时，方程的根为整数 【解析】 【分析】（1）当时，原方程为一次方程，通过解方程求出方程的解；当时，求出，从而即可得证； （2）当时，原方程为一次方程，解得，满足题意，当，解得：，，从而即可得到，由此即可得到答案． 【小问1详解】 证明：当时，原方程为一次方程，， 解得：， 当时， 当时，方程有实数根， 综上所述：无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当时，原方程为一次方程，， 解得：， 为整数， 符合题意， 当， ， ， 解得：，， 方程的根为整数， ， 综上所述，当，，，，1，2，4时，方程的根为整数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，也考查了解一元一次方程和一元二次方程的解，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 16. 如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形． （1）如图1，若点是边上任意一点，请作． （2）如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）先作出对角线的交点，连接并延长交于，连接，则可证明，得到，而，所以四边形为平行四边形； （2）先作出对角线的交点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，通过证明，而，，则可判断四边形为菱形． 【小问1详解】 解：画出图如图所示： 连接相交于点，连接并延长交于，连接，四边形即为所作； 【小问2详解】 解：画出图如图所示： 连接与交于点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，四边形即为所作． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行四边形的判定、菱形的判定与正方形的性质． 17. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h． 【解析】 【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答； （2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可． 【详解】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km 在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶 则慢车速度为=60km/h 设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h ∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348） ∴慢车行驶时间为h， ∴C点的横坐标为8 ∴C点的坐标为（8,480）； （2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h； 在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km 共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h ∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h． 答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键． 18. 如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A､B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，动点问题的函数关系，三角形全等的性质，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式； （3）由得，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标． 【小问1详解】 解：令得， ； 令得， ． 【小问2详解】 解：∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动， ， ， 即的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为：． 【小问3详解】 解：因为， ． 若，则， ， 解得或． 当； 当． 当或时， 此时M点的坐标． 19. 已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． （1）求点的坐标； （2）若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）图见解析，轴上不存在，理由见解析，轴上或 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，点的坐标特点，三角形面积公式，坐标轴上两点间的距离． （1）根据点到坐标轴的距离可求出、的值，代入即可求出点坐标； （2）由（1）可知，利用轴，点到轴的距离与点到轴的距离相等，可得的横坐标为，纵坐标为，即可求出点坐标； （3）当点在轴上时，设，则，所以点不能在轴上，设，到的距离为，根据，可得，，进一步可求出坐标． 【小问1详解】 解：点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为， ， 解得：， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 轴，点到轴的距离与点到轴的距离相等， 的横坐标为，纵坐标为， ； 【小问3详解】 解：假设存在点，使得， ，，， ， ， ， 当点在轴上时，设，则， 点不能在轴上， 设，到的距离为，如图： 则， ， 当位于左侧时，，得； 当位于右侧时，，得； 综上所述：，． 20. 如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，则，由轴对称的性质推出当最小时，的周长最小，即此时三点共线，求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得到． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点D， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P， ∴， 由轴对称的性质可知， ∴的周长， ∵是定值， ∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 21. 1.如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题： （1）用含有t的代数式表示AE=______． （2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形． （3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值． 【答案】（1）5﹣t；（2）当t=时，□AQPD是菱形；（3）当t=时，S有最大值，最大值为15cm2． 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可； （2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答； （3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M．利用相似三角形的性质求出PM，根据S=AQ•PM根据二次函数即可解决问题． 【详解】（1）如图1， ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理得：AB=10cm， ∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s， ∴BP=2tcm， ∴AP=AB﹣BP=10﹣2t， ∵四边形AQPD为平行四边形， ∴AE=AP=5﹣t， 故答案是：5﹣t； （2）如图2中， 当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP， 则cos∠BAC=，即， 解得：t=， ∴当t=时，□AQPD是菱形； （3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M， ∵PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∴，即， ∴PM=(5﹣t）， ∴S=AQ•PM=2t•（5﹣t）=﹣t2+12t=（0＜t≤4）， ∵﹣＜0， ∴当t=时，S有最大值，最大值为15cm2． 【点睛】本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了三角函数的定义、相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值等知识点，综合性较强，题目较难，结合图形以及已知条件灵活应用相关知识是解题的关键． 22. 【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线的表达式为， 当时，得：， ∴，， 当时，得：，解得：， ∴，， ∵抛物线交轴于，两点，交轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴于点， 设， ∴，，， ∴， ∵抛物线交轴于，两点， 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∵ ， 又∵，即抛物线的图像开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 存在，理由： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ， ∴， ∴， 如图所示，连接， ①，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴当点的坐标为时，； 过点作，交轴与点， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 过点作，交轴与点， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 此时点在轴上，不符合题意，舍去． 综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年上学期初三第三次阶段测试试卷 数 学 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 2. 若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分） 7. 已知，则的值是_____________． 8. 若实数x满足，则的值是______． 9. 如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是_____． 10. 如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________． 11. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是_________． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为_____． 三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分） 13. 简答： （1）分解因式： （2）解分式方程： （3）计算： 14. 简答： （1）解不等式组． （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 15. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的根为整数，求的值． 16. 如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形． （1）如图1，若点是边上任意一点，请作． （2）如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形． 17. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 18. 如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A､B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t为何值时，并求此时M点的坐标． 19. 已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． （1）求点的坐标； （2）若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标． 21. 1.如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题： （1）用含有t的代数式表示AE=______． （2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形． （3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值． 22. 【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $