精品解析：江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

6学科网命组卷网 丰城中学2024-2025学年上学期初三第三次阶段测试试卷 数学 一.选择题（共6小题，每小题3分） 1.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，则Va+b-Va-b=（) A.26-2a B.-2a C.-2b-2a D.2a 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、化简绝对值、数轴，正确掌握相关的性质内容是解题的关键. 根据数轴判断a、b、a+b、a-b与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案. 【详解】由数轴知，a<0,b>0且a< ∴.a+b>0a-b<0 :V(a+b2-v(a-b2. =a+b+(a-b) =a+b+a-b =2a 故选：D ax+by=c x=1 3ax+2by=3c 2.若方程组a,x+b,y=c,的解是y=2,则方程组13a,x+2b,y=3c,的解是() 第1页/共46页 6学科网 命组卷网 x= 2-3 2-3 B C.x=1 D. x=3 y 2 y=3 y=1 【答案】C 【解析】 a×x+b× 2y 3 x=1 【分析】将方程组变形为 2y ,进而可得到 2y=2' 求解即可. a2×x+b2× =C2 a×x+b× 2y =CI 3 【详解】解：方程组3ax+2by=3G变形为 3ax+2b2y =3c2 a2×x+b2× 2y =C2 3 x=1 由题意知， 2y2: 3 x=1 解得y=3, 故选：C 【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键. 3.如图，正比例函数出=kx(k<0)的图象与反比例函数乃=<0的图象相交于A,B两点，点 B的横坐标为2，当片>乃时，x的取值范围是（) 第2页/共46页 6学科网命组卷网 Ax<-2x>2 或 B-2<x<0x>2 或 c.x<-20<x<2 或 D.-2<x<00<x<2 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为2，利用函数图象即可确定答案. 【详解】解：，正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴.点A与点B关于原点对称， 点B的横坐标为2， ∴.点A的横坐标为2， 由图象可知，当x<-2或0<x<2时，正比例函数乃=kx(k<0)的图象在反比例函数 为-(（k,<0)的图家的上方， 当x<-2或0<x<2时，片>， 故选：C 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题 的关键， 4已知等腰△MBC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程t-2(m+1)r+m+5= 的两个根，则 m的值是() 第3页/共46页 6学科网命组卷网 .2 c210 410 或 D 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， 分7为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键 【详解】解：①当7为底时，由题意得△=[-2(m+]-4×1×(m+5)=0, 解得m=2, 此时一元二次方程为P-6x+9=0 解得5=3 3+3<7, .3,3,7不能构成三角形， .m=2不合，舍去： ②当7为腰时，将=7代入方程得， 49-14(m+1)+m2+5=0 解得m=4或m=10」 当m=4 2-10x+21=0 时，一元二次方程为 解得=35=7 三边长为3,7,7，可以构成三角形： 时，一元二次方程为-22x+105=0 当m=10 第4页/共46页 命学科网命组卷网 解得=7龙=15 .7+7<15, .7,7,15不能构成三角形， .m=10不合，舍去， 综上，m=4, 故选：B 5.平面直角坐标系中有一直线：y=-2x+5,先将其向右平移3个单位得到？，再将？作关于x轴的对称 图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转90°得到，则直线4的解析式为《) 1 -x-11 B.y 2t2 C.y=x+1 2 D.y=)x-8 21 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与x轴交于4，直线与x轴交于B,与y轴交于C,直线与y轴交于D,将△BOD绕 直线点D逆时针旋转90°得到△EFD,由y=-2x+5得A2.5,0), 根据将直线1向右平移3个单位得到 ,可得B(5.5,0,直线解析式为y=-2x+11,即可得C(01),又将作关于x轴的对称图形， 故D(0,-1川)，因将马绕马与y轴的交点逆时针旋转90°得到人，故DF=OD=1山，EF=OB=5.5, 可得E(-1,-5.5) 再利用待定系数法即可求解。 【详解】解：设直线1与x轴交于A,直线与x轴交于B,与y轴交于C,直线3与y轴交于D,将 第5页/共46页 6学科网命组卷网 △BOD 绕直线点D逆时针旋转90得到△EFD 90° ,如图： 4 在少-2x+5 巾，令=0得x=25 :A(2.5,0) “将直线1向右平移3个单位得到， :B(5.5,0),且直线∥4， ·直线解析式为y=-2x+11 在少-2x+11 中，令x=0得)=川 :C(o,11) ”将作关于x轴的对称图形 D(0,-11) :将绕与y轴的交点逆时针旋转90°得到， .DF=OD=11,EF=OB=5.5, ,E到x轴距离为11-5.5=5.5， 第6页/共46页 命学科网命组卷网 E(-1山-5.5) 设直线4的解析式为y=mr-l1 将E(1山-5.5)代入得：-55=-1m-11, 1 m=- 解得 2 六直线的解析式为y=- 2t-11 故选：A 【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的性质，求出E的坐 标. 6.己知关于x的一元二次方程：x2-2x-0,有下列结论： ①当4>1时，方程有两个不相等的实根： ②当4>0时，方程不可能有两个异号的实根： ③当4>1时，方程的两个实根不可能都小于1： ④当>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为() A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可. 【详解】解：·t-2x-a=0 .△=(-2)2-4×1×(-a=4+4a .当>-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确： 当a>0时，两根之积=-<0，故方程的两根异号，故②说法错误； 第7页/共46页 6学科网列组卷网 由一元二次方程的求根公式得x 2±4+4a=1±1+a, 2 a>1,∴.方程的两个实根不可能都小于1，故③正确： 由③知，当>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， ∴.正确的结论有：①③④ 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，抛物线与x轴的交点等知识，理解题 意，熟练运用所学知识是解题的关键。 二.填空题（共6小题，每小题3分） 7.已知a+b+c+3=2a+4vb1+2-2。 ,则a+b+c 的值是 【答案】9 【解析】 【分析】先将原等武变形为a-+(6-2少+(G-2-0=0,再根据平方的非负性可得a-1=0】 √b-1-2=0Vc-2-1=0 由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案. 【详解】解：：a+b+c+3=2a+46-1+2NC-2 :a-2a+1+6-1-46-1+4+c-2-2c-2+1=0 :a-02+(6-1-2y+(We-2-y=0 a-1=0,6-2=0c-2-1=0 :Va=l.b-=2,e-2=1 .a=1,b=5,c=3, ∴.a+b+c=1+5+3=9, 故答案为：9. 第8页/共46页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此 题的关键， 8若实数x满足(+2x-2(r+2x15,则2+2x的值是一 【答案】5 【解析】 【分析】根据方程特点设+2x=y,则原方程可化为广-2y-15=0,接下来解一元二次方程求以， 即为？+2X的值，最后验根即可解答，本思属于换元法解方程的问思，关键是竿握这类问墨的求解方法 【详解】解：方程整理得： (x2+2x)2-2(x2+2x)-15=0 设r+2x=y 则原方程变形为： y2-2y-15=0 (y-5)(y+3)=0 y=5y2=-3 当为3 3时，2+2x=-3 x2+2x+3=0 △=22-4×1×3=-8<0 则r+2x=5 故答案为：5 9.如图①，点P从△ABC的顶点A出发，沿A-B-C方向匀速运动，到达点C停止运动.点P运动时， 线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图②所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 第9页/共46页 6学科网 命组卷网 图① 图② 【答案】12 【解析】 AB,AC BC 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，能够从图象上得出 及 边上的高是解题 的关键， 根据图象可知，点P在AB上运动时，AP逐渐增大，而从B到C运动过程中，AP先变小后变大，从而 AB,AC 可确定 的长度以 BC边上的高，从而利用勾股定理即可求出BC的长度，最后利用三角形的面 积公式即可得出答案. 【详解】解：由图象可知，点P在AB上运动时，AP逐渐增大，运动到点B时最大，所以AB=5, 而点P从B到C运动过程中，AP先变小后变大，当AP⊥BC时，AP最小，此时AP为BC边上的高， 长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以AC=5, 如图，当AP⊥BC时， ,AP⊥BC,AB=5,AP=4, BP=AB2-AP2=3 第10页/共46页 命学科网 命组卷网 .AB=AC=5,AP⊥BC, ∴.BC=2BP=6 :.5=IBC.AP-1x6x4-12 2 2 故答案为：12. 9 0如图，平行四边形OABC的顶点O,B在y轴上，顶点4在少=x上，顶点C在少子 四边形OABC的面积是 y本 B 【答案】11 【解析】 【分折1过点4作1，于点B,过点C作CD上y输于点D,因为四边形O1BC是平行四边形，可证 得△ME02△CDB(1MS),△MEB2aCD0(MS),即S.m=S.Om,S.=S.am,再根据反比例 函数的k的几何意义即可得到答案. 【详解】解：如图所示，过点A作1 C作CD上y轴于点D '于点E,过点C作C 第11页/共46页 6学科网命组卷网 x B D---- A _--E ·四边形 ABC 是平行四边形， ∴.OA=BC,∠AOE=∠CBD .AE⊥y,CD⊥y .∠AEO=∠CDB=90° :△AEO≌aCDB(AAS) SAEO=S.CDB 同理可得： △AEB≌aCDO(AAS).SAFB=SAcO, 2 点A在反比例函数 x上， :.5..o-S.cx=1 9 y= .点C在反比例函数x上， 1.5.w-5.mo 1 1x2+9x2-11 ∴.平行四边形OABC的面积为： 第12页/供46页 命学科网命组卷网 故答案为：11. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这 一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2 且保持不变」 m+4y<3 1.已知关于x的分式方程2-2x2x-2引的解为整数，且关于y的不等式组3y+2>-y+3有解且 至多有2个整数解，则符合条件的整数m积是 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键.先 解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个 整数解确定m的值即可解答. m 【详解1解：2-22x-21, m+4=2-2x 2x=2-4-m x=-1-% 2, m 4 .关于x的分式方程2-2x2x-2的解为整数， 1、m -1-m ≠1 2为整数，且2， .∴.m≠-4 第13页/供46页 命学科网命组卷网 m+4y<3① 3y+2>-y+3② ,3-m y< 解不等式①，得 4, 1 y>- 解不等式②，得4， 1 3-m ·该不等式的解集为4<y 4, 又，该不等式组有解且至多有2个整数解， 13-m≤3 .44 .-9≤m<2 综上所述，符合条件的整数m的值为-8，-6，-2,0， 六符合条件的整数m积是8×(6)×(-2)x0=0 故答案为：0 4 12如图，直线'=3x+8 与x轴、y轴分别交于点B和点A,点C是线段OA上的一点，若将△ABC沿 BC 折叠，点A检好落在x辅上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且△BCP A 是等腰三角形，则P的坐 标为一· 第14页/供46页 6学科网命组卷网 B 0 【容灯@，-)或03-35成（0-9》 【解析】 【分析】先求出点A的坐标为 ,8》,点B的华标为6,0.设OC=m,解得m=3,以下分为三种情湿： 以BC和CP为版，BP为底，则CP=BC=35,以BP和CP为腰，BC为底，以BP和BC为腰， CP CP 为底，点O是的中点，求解即可 4 【详解】解：当x=0时，少 3x+8=8 (0,8) ∴.点A的坐标为 当y=0时，少=3x+8=0 4 3 ,解得：x=-6, (-6,0) 点B的坐标为 :AB=V82+62=10 AB=A'B, ..O4'=A'B-OB=AB-OB=10-6=4. 设OC=m,则AC=A'C=8-m, 第15页/共46页 6学科网命组卷网 在Rt△40C中，C2=A02+0C2,即(8-m)=42+m2 解得m=3, 0C=3. :BC=V0B2+0C=6+3=3W5 :P是y轴负半轴上一动点，且△BCP是等腰三角形， 以BC和CP为腰，BP为底，则CP=BC=35 OP=CP-0C=35-3 P的坐标为(0,3-35)】 以BP和CP为腰，BC为底， 设OP=a, .CP=a+3, 在△BOP中，由勾股定理得，BP=VOB2+OP=V6+a=V36+a, 即V36+a2=a+3 9 解得： a2, ∴P的坐标为 第16页/供46页 6学科网命组卷网 以BP和BC为腰，CP为底，点O是CP的中点， ..OP=OC=3. (0,-3) P的坐标为 综上所达，P的婴标为0，)安Q3-35)威0-别》 放答案为：0-3)政03-35)成0-引 【点睛】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是 解题的关键。 三.解答题（共11小题，13-17题每题6分，18,19,20题每题8分，21,22题每题9分， 23题12分) 13.简答： (1)分解因式： -2x3+12.x2-18x +1、1 x-1 (2)解分式方程：2x-6x-3 3)计第.5-2+(}-(2022-+2os30 第17页/共46页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)-2x(x-3) (2)无解 (3)-2 【解析】 【分析】本题考查了提公因式及公式法分解因式、解分式方程以及实数的运算， (1)先提取公因式-2x,再利用完全平方公式分解因式即可： (2)先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可得出答案： (3)先去绝对值符号、计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即 可 【小问1详解】 解： -2x3+12x2-18x =-2x(x2-6x+9) =-2x(x-3}: 【小问2详解】 x-L+1=1 解：2x-6x-3, 去分母得，x-1+2x-6=2, 解得，x=3, 经检验x=3不是原方程的解， 所以原方程无解； 【小问3详解】 ￥.5-2+-(202-+2os30 第18页/共46页 6学科网 命组卷网 =2-3-3-1+2x5 =-2-V3+V3 =-2. 14.简答： 4(x+1)≤7x+10 (1)解不等式组 x-5<-8 3 (2)先化简，再求值： a-小*4 a-1一，在0<a<4中选一个整数求值. 【答案】(1)-2≤x<3.5 2+a (2)2-a,-5 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识. (1)先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可： (2)先根据分式的混合运算法则将分式化简，再代入值计算即可. 【小问1详解】 4(x+1)≤7x+10① 解： x-5<8@ 3 解不等式①： 4(x+1)≤7x+10 4x+4≤7x+10 4x-7x≤10-4 -3x≤6 x≥-2 第19页/共46页 6学科网列组卷网 解不等式②： x-5<-8 3 3(x-5)<x-8 3x-15<x-8 3x-x<-8+15 2x<7 x<3.5 “该不等式组的解为： -2≤x<3.5 【小问2详解】 a2-4a+4 解： a-1 [品41， 品对 4-a2 a-1 a-1^(a-2)月 _(2-a(2+aa-1 a-1 (a-22 _2+a 2-a .a-1≠0a-2≠0 ∴.a≠1a≠2 .0<a<4ma ,且为整数， 第20页/供46页 6学科网命组卷网 ∴.a 3 取值为， 2+a2+3 =-5 ∴.当a=3时，原式2-a2-3 15.已知关于x的方程mx+(3m-4)x-12=0 (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程的根为整数，求m的值. 【答案】(1) 证明：当m=0时，原方程为一次方程，-4x-12=0, 解得：x=-3, 当m≠0时，△=(3m-4°-4mx(-12）=9m2-24m+16+48m=9m2+24m+16=(3m+4}≥0 m≠0 当 时，方程有实数根， 综上所述：无论m取何值，方程总有实数根： (2)当m=0,-4,-2,-1,1,2,4时，方程的根为整数 【解析】 【分析】(1)当m=0时，原方程为一次方程，通过解方程求出方程的解：当m≠0时，求出 △=(3m+4}≥0，从而即可得证： 4 (2②)当m=0时，原方程为一次方程4x-12=0,解得x=-3,满足题意，当m≠0，解得：七 m. x2=-3 ,从而即可得到m=士山，±2，士4，由此即可得到答案。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第21页/共46页 命学科网命组卷网 解：当m=0时，原方程为一次方程，-4x-12=0, 解得：x=-3, -3 为整数， ∴.m=0符合题意， 当m≠0， :mx2+(3m-4)x-12=0 ∴.（mx-4)(x+3)=0 4 解得： m,x2=-3 ,方程的根为整数， ∴.m=±1，±2，±4 综上所述，当m=0,-4,-2,-1,1,2,4时，方程的根为整数 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程心+bx+C=0(a≠0)的根与 △=-4ac有如下关系：D△>0，方程有两个不相等的实数根，②A=0, ,方程有两个相等的实数根， ③△<0，方程没有实数根，也考查了解一元一次方程和一元二次方程的解，采用分类讨论的思想解题， 是解此题的关键， 16如图.己知正方形ABCD,请仅用无刻度直尺作一个平行四边形. 第22页/共46页 6学科网命组卷网 E 图1 图2 (1)如图1，若点E是AD边上任意一点，请作BEDF (2)如图2，点E是正方形ABCD的对角线AC上不与中点重合的一点，请以BE、DE为边作一个菱 形. 【答案】(1) 画出图如图所示： (2) 画出图如图所示： M 【解析】 【分析】(1)先作出对角线的交点O,连接EO并延长交BC于F,连接DF,则可证明 △ODE≌△OBF,符到DE=BF,可DEAD ,所以四边形BEDF为平行四边形： (2)先作出对角线的交点G,延长BE交AD于M,连接MG,并延长交BC于N,连接DN交AC 第23页/共46页 学科网组卷网 于F,连接BF,通过证明GE=GF,而GB=GD,BD⊥EF,则可判断四边形BEDF为菱形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行四边形的判定、菱形的判定与正方形的性质， 17.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时， 快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止， 两车之间的距离s(k心与慢车行驶的时间t(之间的关系如图： (I)快车的速度为/h,C点的坐标为 (2)慢车出发多少小时候，两车相距200m. A5/km C 480 B 60 34 t/h 【答案】(1)100，(8,480)；(2)1.75h和4.875h 【解析】 【分析】(1)由图像可知，甲乙两地的距离为480m,0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时 快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已 维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横 坐标即可解答； (2)分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可· 【详解】解：(1)由图像可知，甲乙两地的距离为480k 在03小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶 第24页/供46页 6学科网命组卷网 60 则慢车速度为4-3=60a/h 设快车速度为V,则有：(1+60)×3=480，解得1=100k/h 480 .B点的横坐标为100+1=5.8，从坐标为60+(60+100)×(5.8-4)=348，即B(5.8,348) 480 =8 .慢车行驶时间为60 h. .C点的横坐标为8 ∴.C点的坐标为(8,480)： (2)在快车出现故障前，两车相距200k所用时间为：(480-200)÷(100+60)=1.75h; 在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60kL,然后两车共同行驶了200-60=140aL 共同行驶时间为140÷(100+60)=0.875h ∴.两车相距200aL所用时间为4+0.875=4.875h. 答：两车相距200所用时间为1.75h和4.875h 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关 键. 18.如图，直 1y=-2 1 +2 与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C(O,4),动点M从A点 以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动. (1)求AB两点的坐标： (2)求△ABM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； 第25页/供46页 6学科网 命组卷网 (3)当t为何值时△COM≌△AOB,并求此时M点的坐标. A(4,0)B(0,2) 【答案】(1) S=t(t>0 (2) (3) (2,0八(-2,0) 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，动点问题的函数关系，三角形全等的性质，分情况讨论是 解答本题的关键。 (1)由直线1的函数解析式，令y=0 求A点坐标，x=0 求B点坐标： 1 S=三XAM×OB (2)由面积公式2 求出S与t之间的函数关系式； (3)由△COM≌△AOB得OM=OB,则t时间内移动了AM,可算出t值，并得到M点坐标. 【小问1详解】 解：令七=0ay=2 得 .B(0,2) &少s 得术4 .A(4,0) 【小问2详解】 解：，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动， .AM=1×t=t .Sx AM x BO= 1x2=1 第26页/共46页 6学科网命组卷网 即△ABM S=t(t>0) 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为： B 【小问3详解】 A C(0,4) 解：因为 ∴.C0=A0 若△COM≌△AOB,则OM=OB=2, 4-t=2 解得1=2或t=6, 当1=2，M2,0) 当1=6M(-2,0) 当t=2或t=6时△COM≌△AOB, 2,0)(-2,0) 此时M点的坐标 A(3a+2b,4a+b) 19.已知：在平面直角坐标系中，点 在第四象限，且到轴的距离为2，到'轴的距离 为1. B(2a+3b,2a+b) (1)求点 的坐标： AC∥y (2)若 轴，且点C到轴的距离与点A到*轴的距离相等，请直接写出点C的坐标 (3)在坐标轴上是否存在一点M,使△ACM的面积=△ABC的面积的一半？画出图形，若存在，请求 第27页/共46页 6学科网6组卷网 出点M的坐标：若不存在，请说明理由. B(4,0) 【答案】(1) C(1,2) (2) (3) 1 假设存在点M,使得 SMCM-SANC A1,-2)C1,2)B(4,0) :AC=2-(-2)=4 8m4C化-，x4x4--6 SAC4C-3 1 当点M在y轴上时，设M(0,y),则 SA4CM= ACx4=。×4×1=2≠3 2 点M不能在y轴上， Mx0,到 设 C h 的距离为”，如图： M, MB衣 、×4×h=3 则 第28页/供46页 命学科网命组卷网 h= ∴.2， h=1-x=3 1 x=- 当M位于AC左侧时， ,得2： 3 5 h=x-1= x=- 当M位于AC右侧时， 2,得 2: 综上所述： M(2 .0)M(0) 【解析】 ACI∥y 【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当 轴 时，点的坐标特点，三角形面积公式，坐标轴上两点间的距离. (1)根据点A到坐标轴的距离可求出a、b的值，代入即可求出B点坐标； (2)由(1)可知 利用1C/轴，点C到产轴的距离与点到轴的距离相等，可得的横 ,-2刃，利用4C C 坐标为1，纵坐标为2，即可求出点C坐标： (3)当点M在y轴上时，设M@),则Sa =x4×1=2≠3 2 ,所以点M不能在y轴上，设 -1 3 Mx,0,到4C的距离为h,根据5aa,可得S 5×4×h=3h= ，2,进一步可求出 M坐标. 【小问1详解】 A(3a+2b,4a+b) 解：“点 分在第四象限，且到轴的距离为2，到'轴的距离为， 4a+b=-2 .3a+2b=1, 第29页/供46页 学科网 命组卷网 a=-1 解得：b=2, :2a+3b=2×(-)+3×2=4.2a+b=2×(-1)+2=0 .B(4,0) 【小问2详解】 A(1,-2) 解：由(1)可知： AC∥y ，点C到轴的距离与点A到*轴的距离相等， C 2 的横坐标为，纵坐标为， .C1,2) 【小问3详解】 略 图，在矩形中BC0,B=2,BC=4,点D是边4B的中点，反化意方三空 的图像 经过点D,交BC于点E. D (I)求k的值及直线DE的解析式： (2)在x轴上找一点P,使△PDE的周长最小，求此时点P的坐标. 【答案】(1)k=4,y= 2t+3 第30页/共46页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】(1)先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而 求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线DE的解析式即可： (2②)如图所示，作点D关于x轴对称的点G,连接FG交x轴于P,则P(4,-), 由轴对称的性质推出 当PE+PG最小时，△PDE的周长最小，即此时PEG三点共线，求出直线DE的解析式为 s、3 x+5西求出当y0时.x=司即可得霸50 【小问1详解】 解：，在矩形中ABCO,AB=2,BC=4, .OA=BC=4,BCIlOA. :A4.0)B(4,2) :点D是边AB的中点， :D(41) ·反比例函数 =二(x>0) 的图像经过点D, 4, ∴.k=4, ÷反比例函数的解析式为片=￥(x>0) 第31页/共46页 6学科网列组卷网 x=4=2 当y=2时，y， :E(2,2) 设直线DE的解折式为'=c+b, 2k+b=2 .4k+b=1, 1 k=- 2 b=3 1 六直线DE的解析式为少=~2x+3 2 【小问2详解】 解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G,连接FG交x轴于P, :P(4,-1) 由轴对称的性质可知PD=PG, ∴.△PDE的周长=PE+PD+DE=PG+PE+DE, DE是定值， ∴当PE+PG最小时，△PDE的周长最小，即此时P、E、G三点共线， 设直线GE。 y=kx+b 的解析式为 2k+b=2 ∴.4k+b=-1 第32页/共46页 6学科网命组卷网 3 k=- 2 b=5 2t+5 .直线DE的解析式为少≈、J 2 在少 3 10 中，当y=0时，x= 3, E B O P、A G 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称一最短 路线问题，正确的理解题意是解题的关键， 21.1.如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC-8cm,BC=6cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动， 同时点2由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作AQPD,连接 DO,交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0<4).解答下列问题： B B D D 图1 图2 (1)用含有t的代数式表示AE= (2)如图2，当t为何值时，AQPD为菱形. (3)求运动过程中，AQPD的面积的最大值 第33页/共46页 6学科网 命组卷网 25 5 【答案】(1)5-t:(2)当仁13时，口AQPD是菱形；(3)当仁2时，S有最大值，最大值为15cm2 【解析】 【分析】(1)首先利用勾股定理求得AB=10,然后表示出AP,利用平行四边形对角线互相平分表示出线 段AE即可： (2)利用菱形的对角线相互垂直平分解答： (3)如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S,作PM⊥AC于M.利用相似三角形的性质求出PM,根 据S一AQPM根据二次函数即可解决问题. 【详解】(1)如图1， D 图1 ,Rt△ABC中，∠C=90°，AC-8cm,BC=6cm, ∴，由勾股定理得：AB=10cm, ,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cms, .'BP-2tcm, ∴.AP=AB-BP=10-2t, ,四边形AQPD为平行四边形， .'.AE=2 AP=5-t, 故答案是：5-t; (2)如图2中， 第34页/共46页 6学科网 命组卷网 B D O 图2 当AOPD是菱形时，DO⊥AP, AE AC 5-t8 则cos∠BAC-A9AB,即2110， 25 解得：13， 25 ∴.当仁13时，AOPD是菱形： (3)如图3中，设平行四边形AOPD的面积为S,作PMLAC于M, B D A M 图3 .PM∥BC, ∴.△APM∽△ABC, AP PM 10-2t_PM ∴.ABBC,即106， 6 .PM=5(5-t), 6 12 op255.i）.5f+12F5-3 50<K4, 第35页/共46页 6学科网 命组卷网 12 .-5<0, 5 .当仁2时，S有最大值，最大值为15cm. 【点睛】本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了三角函数的定义、相似三角形线段比例关系、菱形 的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值等知识点，综合性较强，题目较难，结合图形以及已知条 件灵活应用相关知识是解题的关键。 22.解答下列问题： (1)【模型建立】 如图1，等 Rt△MBC中，∠ACB=90°，CB=CM,直线ED经过点C,过点4作AD LED于点 中， D,过点B作BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA, 珠 B D OE C D 图1 图2 (2)【模型应用】 如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴， 若OB=2,OC=1,请解答下列问题： ①点C的坐标是 一，点A的坐标是 ②在x轴上存在点M,使得以O,A,B,M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标： (3)如图3，已知直线1：y=2x+ 与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线1绕点B旋转45°至直线 第36页/供46页 6学科网命组卷网 ,求直线的函数表达式。 B A O 图3 备用图 【答案】(I)解：：AD⊥ED,BE⊥ED, ∠D=∠E=90°， :∠ACB=900 :∠ACD=90°-∠BCE=∠CBE 又CA=BC,∠D=∠E=90°. ·.△BEC≌aCDA(AAS) 2)o(1,0).(3,）,②(-1,0)或20)： (3)y=3x+4 【解析】 【分析】(I)利用AAS证明△CDA≌aBEC即可： (2)①根据OC=1即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到AD=CE=1, CD=BE=2 OD=OC+CD=3 ,从而得到 ,即可得到点A的坐标： ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可： (3)过点A作AC1AB交于点C,过点C作CDLx轴，求出OB=4,OA=2,然后证明出 第37页/供46页 命学科网命组卷网 △MCD≌△BA0(AAS),CD=A0=2,AD=0B=4,求出C(-6,2), 然后利用待定系数法求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①：△CDA≌aBEC,OB=2,OC=1, AD=CE=1 CD=BE=2 ·点C的坐标为，0) OD=0C+CD=3 六点A的坐标为(3，) ②如图所示，当M在原点右边时，连接AM,AO,以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S, B O(E) CMD S=SOM+40 m=1OB-OD+1OM:AD 2 -x2x3+0w=3+owx1=4 1 :OM=2 点M的坐标为(2,0）， 第38页/共46页 6学科网列组卷网 如图所示，当点M在原点左侧时，连接BM,OA, B A MO(E) D S=S.4OB+S.OM =0B-OD+OM.OR 2 2x2x3+2x0M×2=3+0M=4 :OM=1 六点M的坐标为1,0)】 综上所述，点M的坐标为(-1,0)或(2,0)， 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作AC L AB交于点C,过点C作CD上x轴， :直线：y=2x+4与x轴交于点4，与y轴交于点B, 当x=0时，y=4 第39页/共46页 6学科网列组卷网 :B(0,4) :OB=4 当’=0时.0=2x+4 解得x=-2, :A(-2,0) :0A=2 “将直线绕点8旋转45”至直线， ∠ABC=45° :AC⊥AB :∠CAB=450 ..AACB 是等腰直角三角形， .AC=AB ·∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠BA0=90° :∠ACD=∠BAO 又：∠CDA=∠AOB=90°， :.△ACD≌aBAO(AAS) :CD=A0=2 AD=OB=4 :D0=DA+A0=6 第40页/供46页 6学科网 组卷网 .C(-6,2) “设直线表达式为y=+b, b=4 .-6k+b=2, [b=4 1 解得k= 心设直线马表达式为y=3x+4. 23.如图，抛物线y=-+hr+C交轴于A,B两点，交'轴于点C,直线BC的表达式为)=-x+3 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的表达式： (2)动点D在直线BC上方的二次函数图像上，连接DC,DB,设四边形ABDC的面积为S,求S的 最大值： (3)当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请求出点的坐标 【答案】(1)y=-x2+2.x+3 75 (2)8 第41页/共46页 6学科网命组卷网 (3)存在， 0的坐标为(0,0)或(9,0) 【解析】 【分析】(1)用待定系数法即可求解： (2由S=Smwm+SDm+Sa0c,即可求解： (3)分△1OC∽aECB、△LACn△ECB△ACQ∽△EC 三种情况，分别求解即可。 【小问1详解】 BC y=-x+3 解：直线的表达式为 当t= 时得：少=3 :C(0,3).0C=3 时，得：0=-x+3 当s0 解得：七=3 :B(3,0),OB=3. :抛物线V=-t+x+C交*轴于人，B两点，交'轴于点C, [-9+3b+c=0 ∴.c=3 b=2 解得：c=3, 心抛物线的表达式为y=-x+2x+3 【小问2详解】 过点D作DF⊥x轴于点F, 设D(x,-x2+2x+3) 第42页/共46页 6学科网列组卷网 :F(x,0),OF=x,BF=3-x, :DF=-x2+2x+3 :抛物线少=-x2+2.x+ 交x轴于A,B两点， 时，得：-x+2x+3=0 当少0 解得：=-】七2=3 :A(-1,0),0A=1, S=S带形cOD+S△rB+SAAOC =23-r+2x+3)+3--2+2x+3+x1x3 3 又：一2<0，即抛物线的图像开口向下， 3 75 “当=2时，S有荒大值，发大值为8. D 【小问3详解】 图1 存在，理由 y=-x2+2x+3=-(x-)2+4 第43页/共46页 6学科网命组卷网 :E1,4. 又C(0,3).B(3,0) .CE=V1-0)2+(4-3)}=V2, BC=V(3-02+(0-32=3W2, BE=V3-1)2+(0-4)2=2V5, :CE2+BC2=(V2+32=20=(25=BE2, .∠ECB=90°」 如图所示，连接AC, 04(-H,0),C(0,3) :.0A=l,0C=3.AC=VA02+Co2=P+3=Vo AO EC 1 .CO BC 3, 又.∠AOC=∠ECB=90° ∴.△AOC∽aECB. :当点的坐标为(0,0)时，△A0 CECB: 过点C作CQ1A ② ,交轴与点 :△ACg 为直角三角形， CO⊥AQ' :∠ACQ=∠A0C=90°∠Ag'C=90-∠CAQ=∠AC0 第44页/供46页 6学科网6组卷网 .△ACQ'∽aAOC 又，△AOC∽△ECB, .△ACQ'∽aECB 、A0 EB AO'2V5 AC=EC,即1o√2， 解得：AQ'=10 (9,0), 9过点A作011C,交'轴与点， ③ ..A4Co 为直角三角形， CA⊥AQ :∠01C=∠40C=90°，∠4Cg=90°-∠c0A=∠0A0 :△0AC∽△40c 又：△40CAECB, :△OAC∽△ECB OC AC ,QC10 EBCB,即2√53互， 解得： QC=10 , o0-) 此时点Q在y轴上，不符合题意，舍去. 第45页/供46页 6学科网命组卷网 综上所述：当在x轴上的点的坐标为(0,0)或9,0)时，以A,C,?为顶点的三角形与△BCE相似. 0(Q) B 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定 和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中(3)的分类 求解是解题的关键. 第46页/共46页 丰城中学2024-2025学年上学期初三第三次阶段测试试卷 数 学 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 2. 若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分） 7. 已知，则的值是_____________． 8. 若实数x满足，则的值是______． 9. 如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是_____． 10. 如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________． 11. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是_________． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为_____． 三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分） 13. 简答： （1）分解因式： （2）解分式方程： （3）计算： 14. 简答： （1）解不等式组． （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 15. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的根为整数，求的值． 16. 如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形． （1）如图1，若点是边上任意一点，请作． （2）如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形． 17. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 18. 如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A､B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t为何值时，并求此时M点的坐标． 19. 已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． （1）求点的坐标； （2）若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标． 21. 1.如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题： （1）用含有t的代数式表示AE=______． （2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形． （3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值． 22. 解答下列问题： （1）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． （2）【模型应用】 如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $