预习08 两角和与差的余弦、正弦、正切（十三大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习08 两角和与差的余弦、正弦、正切 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两 角差的余弦公式的意义; 2．能从两角差的余弦公式推导其它公式; 3．掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的正用、逆用、变形用，能利用公式进行求值、计算 知识点一、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点二、两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. ③辅助角公式：，其中，， 知识点三、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 考点一：求两角和与差的余弦值 例1．已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若，，则 . 考点二：和差余弦公式的逆用 例2． （    ） A． B． C． D． 变式2-1． . 变式2-2．若，则 . 变式2-3．化简： (1)； (2)． 考点三：用和差余弦公式凑角求值 例3．已知，则 . 变式3-1．若，，＝，＝，则＝ . 变式3-2．已知，，且，，，，求. 变式3-3．已知为锐角，，则 ． 考点四：用和差余弦公式给值求角 例4．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，，，．判断是第几象限的角． 变式4-3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 考点五：求两角和与差的正弦值 例5．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．计算（    ） A． B． C． D． 变式5-2．角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于轴对称，则 ． 考点六：和差正弦公式的逆用 例6． （    ） A． B． C． D． 变式6-1．的值为 . 变式6-2．化简： . 变式6-3．已知，且，则 . 考点七：用和差正弦公式凑角求值 例7．已知（），则（   ） A． B． C． D． 变式7-1．已知角为锐角，角为钝角，且，，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，则 . 变式7-3．已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 考点八：用和差正弦公式给值求角 例8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 变式8-2．已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中α，β均为锐角，则 ． 变式8-3．已知锐角，且满足.则 . 考点九：辅助角公式的应用 例9．定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 变式9-1．函数的最小值和周期分别是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 . 变式9-3．把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 考点十：求两角和与差的正切值 例10．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 变式10-1．若，，则（    ） A． B． C． D． 变式10-2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式10-3．的值为 ． 考点十一：和差正切公式的逆用 例11． （    ） A． B． C．1 D． 变式11-1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2． ． 变式11-3．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 考点十二：用和差正切公式凑角求值 例12．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式12-1．已知为第一象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 变式12-2．已知，则的值为 ． 变式12-3．若，则 考点十三：用和差正切公式给值求角 例13．已知，，，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D．或 变式13-1．已知，且，，则的值为 . 变式13-2．已知、为锐角，，，则 . 变式13-3．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．化简等于（    ） A． B． C．3 D．1 5．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，，则的值为 . 10．若α和β都为锐角，，则 ． 11．已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ． 四、解答题 12．化简求值： (1)； (2). 13．若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 14．在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 15．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习08 两角和与差的余弦、正弦、正切 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两 角差的余弦公式的意义; 2．能从两角差的余弦公式推导其它公式; 3．掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的正用、逆用、变形用，能利用公式进行求值、计算 知识点一、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点二、两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. ③辅助角公式：，其中，， 知识点三、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 考点一：求两角和与差的余弦值 例1．已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 则． 故选：A 变式1-1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 故选：A. 变式1-2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则， 所以. 故选：D 变式1-3．若，，则 . 【答案】 【详解】因为，， 所以. 所以. 故答案为：. 考点二：和差余弦公式的逆用 例2． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C 变式2-1． . 【答案】0 【详解】 . 故答案为：0. 变式2-2．若，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 因为， 所以，即. 故答案为：. 变式2-3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式． 考点三：用和差余弦公式凑角求值 例3．已知，则 . 【答案】 【详解】， ， 又，， . 故答案为：. 变式3-1．若，，＝，＝，则＝ . 【答案】/ 【详解】∵，∴，故由， 得. 又∵，∴，＝， ∴， 则 ， 故答案为：. 变式3-2．已知，，且，，，，求. 【答案】 【详解】由，得，又，， 则， 因此，， 由，，得， 所以. 变式3-3．已知为锐角，，则 ． 【答案】 【详解】因为为锐角，所以. 若，则，这与矛盾， 故为钝角，故， 则 . 故答案为：. 考点四：用和差余弦公式给值求角 例4．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，并且，均为锐角，且， 则有，， 得，， 则 ， 又因为，所以. 故选：C 变式4-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得， 解得 ， ， ， ， 故选：D． 变式4-2．已知，，，．判断是第几象限的角． 【答案】第二象限的角 【详解】，， ， ，， ， ， ， 是第二象限的角． 变式4-3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得，又， 则，， 所以 . （2）由（1）知，而，则， 因此， 又，所以. 考点五：求两角和与差的正弦值 例5．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由角的终边上一点， 则，， 则， 故选：C. 变式5-1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D． 变式5-2．角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意角的终边上有一点，则， 故， 故 ， 故选：A 变式5-3．在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于轴对称，则 ． 【答案】/ 【详解】因为角的终边过点， 所以，， 又角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，， 所以. 故答案为：. 考点六：和差正弦公式的逆用 例6． （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D 变式6-1．的值为 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 变式6-2．化简： . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 变式6-3．已知，且，则 . 【答案】 【详解】因为， 由题意可得，即， 且，可知. 故答案为：. 考点七：用和差正弦公式凑角求值 例7．已知（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 又，则， 故 . 故选：B. 变式7-1．已知角为锐角，角为钝角，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为锐角，，所以， 因为为钝角，所以. 若， 则，不符合题意， 所以，而， 又，所以，所以. 故选：D. 变式7-2．已知，则 . 【答案】 【详解】由可得：， 又，联立得：， 解得：，又，， 所以， 故答案为： 变式7-3．已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为均为锐角，所以． 又，所以． 所以． （2）根据第（1）问可知. 考点八：用和差正弦公式给值求角 例8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得， 解得，∴， ∵，，.故， 故选：C. 变式8-1．已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故选：B 变式8-2．已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中α，β均为锐角，则 ． 【答案】 【详解】由图，结合初中锐角三角函数和同角三角函数关系式可知， 因为，所以， 因为，所以， ， 因为，，所以， 所以. 故答案为：. 变式8-3．已知锐角，且满足.则 . 【答案】/ 【详解】解：，且为锐角，得， 由为锐角，得，而， 得， 则 ， 故答案为： 考点九：辅助角公式的应用 例9．定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由行列式运算可得 ， 当时，原式取得最大值为2． 故选：D 变式9-1．函数的最小值和周期分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 所以函数的最小值为，周期为. 故选：B 变式9-2．将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 . 【答案】/ 【详解】， 将函数的图象向左平移个单位后， 解析为，而的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数， 因此有， 因为，所以，即， 故答案为： 变式9-3．把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)其中 【详解】（1） ； （2） （其中，） 考点十：求两角和与差的正切值 例10．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 变式10-1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 所以. 故选：C. 变式10-2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得， 所以，. 故选：B. 变式10-3．的值为 ． 【答案】/ 【详解】 . 故答案为：. 考点十一：和差正切公式的逆用 例11． （    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】， ， 所以， 所以 故选：A 变式11-1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 即，所以， 又因为，所以，于是， 故选：B． 变式11-2． ． 【答案】 【详解】， 故原式． 故答案为： 变式11-3．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 故选：D 考点十二：用和差正切公式凑角求值 例12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B. 变式12-1．已知为第一象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为第一象限角，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：A. 变式12-2．已知，则的值为 ． 【答案】3 【详解】因. 故答案为：3. 变式12-3．若，则 【答案】 【详解】. 故答案为：. 考点十三：用和差正切公式给值求角 例13．已知，，，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，，所以， 因为，，所以，， 因为，所以. 故选：B. 变式13-1．已知，且，，则的值为 . 【答案】 【详解】解：因为，且， 所以. 又因为，所以， 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故答案为：. 变式13-2．已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【详解】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 变式13-3．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以 故选：C 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 因此，由，得， 又余弦函数在上递减，则，所以. 故选：C 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， ． 故． 故选：B. 4．化简等于（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【详解】原式． 故选：B 5．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以，因为， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】故， 因此 故选：C 二、多选题 7．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由则 所以，故D正确． 故选：AD． 8．已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，由，得， 因为，所以， 又，其中， 若，则，则，与矛盾， 所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 9．已知，，则的值为 . 【答案】 【详解】，，故， 所以. 故答案为： 10．若α和β都为锐角，，则 ． 【答案】 【详解】因为α和β都为锐角，则， 又，所以，即， 所以，而，则， 所以. 故答案为： 11．已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ． 【答案】 【详解】由于在单位圆上，所以， 由于是锐角，所以，则， 所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题 12．化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式. （2）原式 13．若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 【答案】 【详解】因为，所以， 又是第二象限角，所以， 因为，且是第三象限角，所以， 所以. 14．在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，，，，， 所以，， ； （2）， ， ， 由，得，，则， 所以. 15．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，，得，而， 则， 又，则， 所以 . （2）由，得，即， 由，得， 解得，则， 而，所以. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$