精品解析： 辽宁省大连市嘉汇集团2024-2025学年上学期学情测试 九年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期学情测试 九年级数学试卷 本试卷共3页，三大题，23小题，满分120分． 考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义即可判断出答案． 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选： 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，逐项判定即可． 【详解】解：A． ，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意； B．，抛物线对称轴直线，故该选项不符合题意； C．，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意； D．，抛物线对称轴为直线，故该选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 5. 下面各式中，表示和成反比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题属于根据正、反比例的意义， 熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此依次判断即可． 【详解】解：A．，则和不成反比例，故不符合题意； B．由得，则和不成反比例，故不符合题意； C．，则和成正比例，故不符合题意； D．由得：，则和成反比例，故符合题意． 故选：D． 6. 若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟记弧长公式：（n是弧所对的圆心角度数），代入计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 7. 关于x的二次函数 的图象过原点，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：将代入二次函数解析式，可得， 解得， 当时，，，不是二次函数，不合题意，舍去； 当时，，是二次函数，符合题意； 故a的值为， 故选：A． 8. 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象经过第一、三象限 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用， 设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆则可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x， 根据题意有： 故选：D． 10. 如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，， 由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 已知 是方程的两个不相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是方程两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题(本题共8小题，共75分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用因式分解法求解即可； （2）用提公因式法分解因式后解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：； ， ， 或， ∴，． 17. 如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交干点C．若，求的半径． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用．掌握垂径定理推论和勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 设的半径为r，根据点D是的中点，是过圆心O的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设的半径为r， 则，． ∵点D是的中点，是过圆心O的直线， ∴，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． ∴的半径为：5． 18. 如图，等腰三角形中，，．作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转角后得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据旋转的性质找到相等的角和边，证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等找到线段的长度，再利用勾股定理求出边的长度． （1）根据旋转的性质可证、，根据可证，根据全等三角形对应角相等可得； （2）根据全等三角形对应边相等可知，所以可以得到，利用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 解：线段绕点逆时针旋转角得到线段， ，， ， ， ， 在与中 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】（1）20 （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． 【小问2详解】 解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 20. 如图，在中，，是的平分线，交于点． （1）在斜边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，相似三角形的性质，勾股定理， （1）按要求作过点D的垂线，交于点，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，求得的长，再利用勾股定理即可解答，根据中边的对应作出正确的图形，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【小问1详解】 解：（1）如图，点即为所求； 【小问2详解】 ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中． 21. 如图，在中，，为的中点，以为直径作，交边于点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握三角形中位线性质是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出最后由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， 为直径， ． 即， ∵在中，，为的中点， ． 点是的中点， ∵点是的中点， 是的中位线， ． ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：是斜边中线，， ，． ， ， 点是的中点， ． 在中，，， ， ，即， ． 在中，，， ． 22. 如图1， 在 中， ， 点在上， 于点， 且， 点在上， 连接，， （1）试判断线段的数量关系， 并证明； （2）如图2， 连接， 若， 求 的值 【答案】（1），证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，由角的和差计算可得，，如图所示，在上取，连接，可证，得到，再运用三角形内角和定理可得，，由此即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，可证，得到，在中运用直角三角形两锐角互余可得，在中运用三角形内角和定理可得，则有，得到，设，可得，，由（1）可得，，在中，运用勾股定理可得或（不符合题意，舍去），由此即可求解． 【小问1详解】 解：，证明如下， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，延长到点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 设， ∴，即， ∴， 由（1）可得，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，因式分解法求一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值． 已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴． （1）如图， 若点坐标为， ． ①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由． （2）若点坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”． ①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ； ②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值． 【答案】（1）①是，理由见解析；2② （2）①②． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，新定义“勾股函数”和的“”值，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． （1）①根据“勾股函数”， “”值的定义即可求得答案； ②运用待定系数法即可求得答案； （2）①运用待定系数法可得，得出抛物线的对称轴为：直线，再结合题目条件列出不等式组即可求得答案； ②分两种情况：点B在点A上方，即，点B在点A下方，即，分别讨论即可． 【小问1详解】 解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； 【小问2详解】 解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， ∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∵二次函数与的边有第三个交点， ∴点B上方，对称轴在点A、C之间， ∴， ∴； 故答案为：； ②由，可得其顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， ∵， ∴都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），，； 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，新定义“勾股函数”和的“”值，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期学情测试 九年级数学试卷 本试卷共3页，三大题，23小题，满分120分． 考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 下面各式中，表示和成反比例的是（ ） A. B. C. D. 6. 若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的二次函数 的图象过原点，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 8. 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 9. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（    ） A. B. C D. 10. 如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 已知 是方程的两个不相等的实数根，则的值为_______． 12. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 三、解答题(本题共8小题，共75分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交干点C．若，求的半径． 18. 如图，等腰三角形中，，．作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转角后得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 20. 如图，在中，，是的平分线，交于点． （1）在斜边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 21. 如图，在中，，为的中点，以为直径作，交边于点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图1， 在 中， ， 点在上， 于点， 且， 点在上， 连接，， （1）试判断线段的数量关系， 并证明； （2）如图2， 连接， 若， 求 值 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值． 已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴． （1）如图， 若点坐标为， ． ①一次函数 是 “勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由． （2）若点的坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”． ①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ； ②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$