精品解析：广东省惠州市华罗庚中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

惠州市华罗庚中学2024—2025学年高一第一学期12月考 数 学 试 题 试卷分数：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（　　） A. 3， B. 4， C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，= 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用必要不充分条件的定义判断即可． 【详解】等价于或 等价于 则“”是“”的必要不充分条件 故选：B 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以. 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据所在象限，得到，从而得到点所在象限. 【详解】，所以是第三象限角，故， 故在第二象限. 故选：B 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得到函数定义域和单调性，且，结合零点存在性定理进行求解. 【详解】定义域为， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增， ，， 故的零点所在的区间是. 故选：B 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 7. 若函数在上R单调递增，则a的取值范围为（ ） A. （0,1] B. [1,3] C. [1,+∞） D. （3,+∞） 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数，指数函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】由题意得，即，解得. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，，都有若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于对称，且在上单调递减，则不等式等价于，求解即可. 【详解】因为函数满足：，都有， 所以函数为偶函数， 则函数的图象关于对称， 因为对任意，，都有， 所以函数在上单调递减， 则， 解得，则实数的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若，但没有意义，所以A选项错误. B选项，由于，所以B选项正确. C选项，若，则， 但，所以C选项错误. D选项，由于，则，所以，D选项正确. 故选：BD 10. 地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（ ）． A. 若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B. 若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍 C. 若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 D. 若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 【答案】AD 【解析】 【分析】利用度指数、对数的运算性质逐一判断即可得出选项. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以B错误； 因为，，所以C错误，D正确． 故选：AD 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为20，圆心角的弧度数是3，则该扇形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据条件先求解出扇形的半径，再由扇形的面积公式求得结果. 【详解】设扇形的半径为，所以扇形的弧长， 因为扇形的周长为，所以，所以， 所以扇形的面积为， 故答案为：. 13. 已知角α以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算即可. 【详解】由题意，（为坐标原点）， 则，，则. 故答案为：. 14. 已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，解得或，结合函数的图象即可得解. 【详解】令， 解得或. 函数的图象如下： 要使有3个不同的零点，则函数的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当，即时，函数的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂和对数运算化简求值； （2）利用对数运算求解. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式． 16. （1）计算: （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）化弦为切，代入求值即可. 【详解】（1） ； （2），故. 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）证明：由题意，解得，所以函数的定义域为． 因为对任意都有，， 所以是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义即可证明； （2）利用对数有意义的条件和对数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原不等式可化为， 又函数在内单调递增， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为． 18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与肥料费（单位：元）满足如下关系： 其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）. 已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当投入的肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元. 【解析】 【分析】（1）由单株产量乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式； （2）利用二次函数的单调性求出当时，的最大值，由基本不等式求出当时，的最大值，即可得出答案. 【小问1详解】 （1）由题意可得. 故的函数关系式为. 【小问2详解】 （2）由（1）, 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立． . 因为，所以当时，. 当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 ， 在上单调递增， 故，解得； 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或， 解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市华罗庚中学2024—2025学年高一第一学期12月考 数 学 试 题 试卷分数：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（　　） A. 3， B. 4， C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上R单调递增，则a的取值范围为（ ） A. （0,1] B. [1,3] C. [1,+∞） D. （3,+∞） 8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，，都有若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（ ）． A. 若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B. 若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍 C. 若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 D. 若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为20，圆心角的弧度数是3，则该扇形的面积为______． 13. 已知角α以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点，则______. 14. 已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1） （2） 16. （1）计算: （2）已知，求的值. 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）解关于x的不等式． 18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与肥料费（单位：元）满足如下关系： 其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）. 已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $