精品解析：　北京五十五中学2024-2025学年上学期12月九年级调研数学试卷　

2024-2025学年北京五十五中九年级（上） 调研数学试卷（12月份） 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 【答案】A 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 3. 一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：在方程2x2+x﹣3=0中，△=12﹣4×2×（﹣3）=25＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 考点：根的判别式 4. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角等于度得，再根据直角三角形的两锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：为直径， ， ， ， ， 故选：A． 5. 如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由，利用垂径定理可得为的中点，于是可求出的长，设圆的半径为，由可表示出，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为的中点， ， 设圆的半径为， 在中， ， 根据勾股定理，得： ， 即：， 整理，得：， 解得：， 该管道的直径长为， 故选：． 6. 不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 4 5 6 4 （4，5） （4，6） 5 （5，4） （5，6） 6 （6，4） （6，5） 共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：（5，4），（6，4），（6，5），共3种， ∴第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是． 故选：A． 7. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ， ， 故选：D． 8. 线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段运动至点A，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，根据题意可得出S与t，y与t的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴的面积，属于二次函数关系， 正方形周长，属于一次函数关系， 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 10. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为5，点在内， ∴． 故答案为：． 11. 抛物线与y轴交点是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．求二次函数与y轴的交点， 令，求出y的值．再根据在y轴上的点的坐标特征写出交点坐标即可． 【详解】解：令，得． 抛物线与y轴交点是． 故答案为：． 12. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点______（填，，，之—） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，分别作两组对应点连线段的垂直平分线，它们的交点就是旋转中心． 【详解】解：如图，A、为一组对应点，线段的垂直平分线为直线，C、为一组对应点，线段的垂直平分线与直线交于， ∴旋转中心是． 故答案为：． 13. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由表可知合格的产品频率都在左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为， 故答案为：． 14. 如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于A、C两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质等判断式子的符号，待定系数法，图象法解一元二次不等式等；①由图象得，即可判断；②由图象得，即可判断； ③由函数的对称性得与轴的另一个交点为，可得当时，，当时，即可判断； ④由交点式得可设，求出、、，即可判断；能熟练利用二次函数的性质等判断式子的符号是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， 故此项错误； ②由图象得： ， ； 故此项正确； ③由图象得：， 与轴的另一个交点为， 当时，， 当时， ； 故此项正确； ④抛物线与轴的交点坐标为，， 可设， 经过， ， 解得：， ， ，， ， 的解集为是； 故此项正确； 故答案：②③④． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 【答案】 ①. ① ②. 1010 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 三．解答题（本题共68分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法和配方法，并正确计算． （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 18. 若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得，由即可求解； 【详解】解：将代入得， ∴， 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键. 19. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键． （1）再利用描点法画函数图象； （2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可， （3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线图象如图， 【小问2详解】 解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴ ∵时，，当时，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时， 当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，． 20. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O. 求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC. 作法：如图， ①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC= ． ∵AB是直径, ∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角 【解析】 【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可； （2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可． 【详解】（1）①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. （2）证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC=BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角． 【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，点与点关于原点对称． （1）点的坐标是______； （2）在图中画出绕着点顺时针旋转后的； （3）在轴上是否存在点，使得的面积等于的面积．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接利用关于原点对称的点的坐标特点，可得点的坐标； （2）先确定，旋转后的对应点，，即可画出旋转后的； （3）先求解的面积，结合的面积等于的面积，进而得到，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点与点关于原点对称． 点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：所画如图所示： 【小问3详解】 解：根据题意画图如下： 由图知，， 点在轴上，使得的面积等于的面积． ， 点， 点的坐标为或. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点，，画旋转图形，求解网格三角形的面积，坐标与图形，掌握“利用旋转的性质画图”是解本题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，，由该方程恰有一个实数根为非负数，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程恰有一个实数根为非负数， ∴，解得，， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． 23. 如图，四边形内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，交CD的延长线于点E． （1）求证：DA平分； （2）若，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明即可解决问题； （2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【小问1详解】 证明： ， ． 是的切线， ， ， ， 又， ， ， 平分， 【小问2详解】 解：如图，取中点，连接，则， ∵，， 四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， 在中，，， ， 的长是． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 24. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系． 此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)． 设这条抛物线的解析式为 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，) 可得 解得． ∴． 顶点坐标是（0，200） ∴ 拱门的最大高度为200米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式． 25. 圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 x（） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（） 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y（） 3.36 n 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中______，______； （2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，请你比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）3.84，2.52 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线，根据对称性即可求得的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将代入即可求解; （2）根据题意设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解; （3）令，即，得出，设抛物线解析式为，将点代入，得出，令，即，得出，即可求解． 【小问1详解】 由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：； 在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设这条直线的解析式为，把代入， 得，解得：， ∴这条直线的解析式为， 当时，， 表格2中，； 故答案为：3.84，2.52； 【小问2详解】 由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知： “直发式“模式下，抛物线的顶点为， ∴设此抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为； 【小问3详解】 当时，， 解得（舍去），， ∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为； “间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线， 由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【小问1详解】 ①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； 【小问2详解】 由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 27. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． （1）如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示） （2）如图2，当时，作角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）①见解析，；②，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； ②由等腰三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点A逆时针旋转α得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图所示： ∵， ∴， ， ∴； ②，理由如下： 如图2，过点C作于H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】（1）和 （2） （3）最大值为12，最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时有最小值，当抛物线过点时有最大值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， 如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”； 【小问2详解】 解：∵， ∴在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”； ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴， 设直线的解析式为：，则： ， 解得：， ∴， 当在上时，，解得：； 当在上时，，解得：； ∴当时，点是关于原点O的“伴随点”； 【小问3详解】 解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中． ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过，即， 解得：， n的最小值为； 同理，当过，得到n的最大值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京五十五中九年级（上） 调研数学试卷（12月份） 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 3. 一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 8. 线段，动点P以每秒1个单位长度速度从点B出发，沿线段运动至点A，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 二次函数关系，正比例函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 11. 抛物线与y轴交点是________． 12. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点______（填，，，之—） 13. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 14. 如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______． 15. 若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 三．解答题（本题共68分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 19. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 20. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O. 求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC. 作法：如图， ①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明. 证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC= ． ∵AB是直径, ∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，点与点关于原点对称． （1）点坐标是______； （2）在图中画出绕着点顺时针旋转后的； （3）在轴上是否存在点，使得的面积等于的面积．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围． 23. 如图，四边形内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，交CD的延长线于点E． （1）求证：DA平分； （2）若，求AD的长． 24. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 25. 圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 x（） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（） 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y（） 3.36 n 1.68 084 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中______，______； （2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，请你比较和的大小，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 27. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． （1）如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示） （2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $