精品解析：山东省菏泽市第一中学（八一路校区）2024-2025学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

菏泽一中八一路高二上学期第三次月考 数学试题 一､单选题 1. 已知是等差数列，且，则的值是（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 2. 在数列中，，则等于（ ） A. 4 B. C. 13 D. 3. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列，则“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（ ） A. B. 14 C. 15 D. 16 二､多选题 9. 等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的（ ） A. 直线与所成的角不可能是 B. 当时，点到平面的距离为 C. 当时， D. 若，则二面角的平面角的正弦值为 11. 已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为： B. P，A，B不共线时，面积的最大值为 C. 存在点P，使得 D. 为坐标原点，的最小值为4 三､填空题 12. 已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________． 13. 记等差数列的前项和分别为．若，则__________． 14. 已知数列中，，则__________． 四､解答题 15. 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求. 16. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围． 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 18. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求出通项公式. （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽一中八一路高二上学期第三次月考 数学试题 一､单选题 1. 已知是等差数列，且，则的值是（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 2. 在数列中，，则等于（ ） A. 4 B. C. 13 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用累加法结合对数运算计算求出通项公式. 【详解】依题意，在数列中，， 即， 所以 ． 故选：A. 3. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 4. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长. 【详解】由已知可得，与的夹角为， 且，，不共面， 以，，为空间向量基底， 则， 即 ， 所以， 故选：B. 5. 已知等差数列，则“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 6. 已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的定义即可求解； 【详解】在基底下的坐标为， 在基底下的坐标为． 故选：A． 7. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 8. 过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（ ） A. B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出，从而可得直线AB的方程为，并与抛物线联立方程组，韦达定理得到，从而可得抛物线的焦点弦. 【详解】记抛物线的焦点为，则.记切点为， 因为圆的圆心为， 所以，，所以， 由对称性，不妨设切点在第一象限，则直线AB的方程为. 设，，联立方程组得， 所以， 所以. 故选：D. 二､多选题 9. 等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，作差法得到，A正确；B、C选项，由等差数列求和公式和性质得到，从而得到，；D选项，举出反例，D错误. 【详解】A选项，， 由于， 所以是递增数列，A正确； B选项，， 令得，所以，B正确； C选项，由B选项，令得，故，C错误； D选项，当时，，D错误． 故选：AB 10. 在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的（ ） A. 直线与所成的角不可能是 B. 当时，点到平面的距离为 C. 当时， D. 若，则二面角的平面角的正弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC后可判断它们的正误， 利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D的正误. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，，， 设， 故，， 设直线与所成的角为， 则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，故A正确； 对于B，当时，结合A中分析可得，故， 故，而， 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 又，故到平面的距离为，故B正确； 对于C，当时，又B的分析可得，故， 故，故C正确； 对于D，当时，结合B的分析可得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则，即，取，得， 又，， 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为： B. P，A，B不共线时，面积的最大值为 C. 存在点P，使得 D. 为坐标原点，的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】设，用坐标表示出题设条件化简即得轨迹方程，从而判断A，由椭圆的性质确定三角形面积最大值判断B，利用以为直径的圆与椭圆是否相交判断C，把转化为到直线的距离后，当共线时取得最小值，从而判断D． 【详解】选项A，设，则，平方整理得，即为点轨迹方程，A错； 选项B，由轨迹方程知点轨迹是椭圆，，由于，椭圆的焦点是， 当点为椭圆短轴顶点时，面积最大，此时面积为，B正确； 选项C，由于，因此以为直径的圆与椭圆没有交点，因此不存在，使得，C错； 选项D，如图，作，为垂足，则，， 当且仅当共线时，取得最小值4，即的最小值为4，D正确． 故选：BD. 三､填空题 12. 已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________． 【答案】（答案不唯一，且不全相等均可）． 【解析】 【分析】依据投影向量定义，表示出向量在上的投影向量，根据投影向量为得到即可． 【详解】由点，可得， 又向量在上的投影向量为， ， 则，即， 又向量与向量不共线，则不成立， 则可令，即， 故答案为：．（答案不唯一，且不全相等均可）． 13. 记等差数列的前项和分别为．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，在根据得出的关系，进而求得. 【详解】设， 则． 故，则,且． 故， 则． 故答案为：． 14. 已知数列中，，则__________． 【答案】8097 【解析】 【分析】根据题设中的递推关系可得，进而根据等差数列通项公式求解即可. 【详解】由题设可得，又， 所以，所以，，即， 所以为等差数列，公差为4，首项为5， 所以． 故答案为：8097． 四､解答题 15. 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的定义证明； （2）设的公差为，由，求得公差为，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【小问1详解】 证明：设等差数列的公差为d， 则， ∴， ∴， 又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则， 又∵， ∴. 16. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆标准方程为：，根据及点在椭圆上，可求椭圆的标准方程. （2）按直线是否垂直于坐标轴分类，求出，，进而表示出三角形面积，再借助二次函数求出范围即可. 【小问1详解】 设椭圆标准方程为：， 由题意：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 如图： 若直线的斜率不存在，则可取，因为，可取，此时. 若直线的斜率为0，同理可得. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由，得，则， 用代替，得，则. 所以. 设， 则. 因为，所以，， 所以，所以. 综上， 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 【小问1详解】 如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以当时，故、为、上的中点， 所以，，，故，， 若为平面的法向量，则，令，故， 又面的法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为. 18. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求出通项公式. （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2）存在最小值，最小值为－9，此时 【解析】 【分析】（1）证明出相邻两项的差为常数，即可得到结果； （2）根据数列的单调性以及最值可求得结果. 【小问1详解】 证明：因为，所以． 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 所以． 【小问2详解】 根据等差数列的前项和公式，得． 对于二次函数，其图象的对称轴为直线， 所以当时，取得最小值．因为， 所以存在最小值，最小值为－9，此时． 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式， 利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量， 设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. 【小问3详解】 设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $