精品解析：山西省三晋卓越联盟2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

2024~2025学年高一12月质量检测卷 数学（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时、请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第五章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，由于位于第三象限，从而得到答案. 【详解】依题意，，由于，位于第三象限， 所以是第三象限角． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选:B． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分式的分母不等于0，列出不等式组，解不等式组即可求出定义域． 【详解】由题意知解得且，所以的定义域为． 故选：D． 4. 已知函数，且的图象恒过点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可得出图象恒过的定点，进而求解. 【详解】令，解得，又， 所以函数，且）的图象恒过点， 即，所以． 故选：B． 5. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断. 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间（1，3）上有零点， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分条件； 若，满足在区间（1，3）上有零点，但是， 所以“”不是“在区间（1，3）上有零点”的必要条件， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件． 故选:A． 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数函数和指数函数性质证明，，，由此比较的大小. 【详解】因为，在上单调递增，在上单调递增， 所以，，， 所以． 故选：D． 7. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若对任意，总存在，使得成立，等价于，利用函数的单调性求得在固定区间的最值，即可求得参数范围. 【详解】若对任意，总存在， 使得成立，即， 又在上单调递减， 所以． 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，解得， 即的取值范围是． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ） A. B. 弧的长为 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，弧长，故B正确； v对于C，，扇形的周长为，故C错误； 对于D，扇形的面积，故D正确． 故选：BD． 9. 若，函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的最小值为0 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算对数式判断A;根据已知范围化简函数再结合函数的单调性判断B,根据函数的单调性得出函数的最小值判断C;应用对数函数的正负去绝对值得出对数式运算即可得出选项D. 【详解】因为，又，所以，故A正确； 当时，，又，所以，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 当时，，所以，故C正确； 当时，，又，所以， 所以函数在区间上单调递减，又函数在区间上单调递增，若，则， 所以，即，所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为6 C. 的最大值为4 D. 的最大值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断ACD，利用不等式的性质判断B． 【详解】因为，当且仅当，即，或，时等号成立，故A错误； 因为，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，当且仅当或时等号成立，故C正确； 因为，当且仅当，或，时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】利用分段函数和指对数运算，按段落求值，即可. 【详解】根据函数 可得， 所以． 故答案为：. 12. 已知函数，给出两个性质：①在上单调递减；②对任意的，都有．写出一个同时满足性质①和性质②的函数_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出符合性质①再根据指数运算律得出符合性质②即可得出函数. 【详解】取函数，由指数函数的单调性可知，函数在上单调递减，满足性质①； 因为，满足性质②；所以符合题意． 故答案为： 13. 已知定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，由，化简得到是奇函数，根据化简可得在上单调递减，进而根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以， 设，则， 所以为奇函数． 因为对任意的，都有， 不妨设，则， 即，所以， 所以在上单调递减，所以在上单调递减， 因为，所以， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可； （2）根据对数运算律计算求值. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，把代入，再利用并集的定义求解. （2）由（1）的信息，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 依题意，， 当时，，所以. 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，得， 因此或，解得或 则，所以的取值范围是. 16. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将的定义域为转化为对任意的恒成立，按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. （2）按照和、分类讨论，当时，利用复合函数单调性法则判断；当和时，结合二次函数的单调性及对数的真数恒为正，利用复合函数单调性法则列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意知对任意的恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得． 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减，符合题意； 当时，若在区间上单调递减，则，所以； 当时，若在区间上单调递减，则，所以． 综上，a的取值范围是. 17. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，， 所以，即，所以在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点的“界函数”． （1）判断函数是否为点的“界函数”?并说明理由； （2）若函数是点的“界函数”，求证：； （3）若函数是点的“界函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是点的“界函数”，理由如下： 当，即时，， 又，所以函数是点的“界函数”． （2） 由函数是点的“界函数”，且函数为增函数， 当时，函数的值域为， 因为，所以， 所以，解得，所以． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“界函数”的定义判断； （2）根据“界函数”的定义得到，然后列不等式得到，即可得到； （3）根据“界函数”的定义得到函数的定义域，然后分、、和四种情况讨论函数的值域，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为函数是点的“界函数”， 所以，都有． 当，即时，在上单调递增， 又当时，； 当时，， 所以在上的值域为， 所以， 所以，解得，又，所以这种情况不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，； 当时，． 若， 即时，在上的值域为， 所以， 所以，解得，又， 所以； 若， 即时，在上的值域为， 所以， 所以，解得，又，所以； 当，即时，在上单调递减， 又当时，； 当时，， 所以在上的值域为， 所以， 所以，解得，又， 所以这种情况不符合题意． 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最小值： ①时， ； ②时，； ③时，. 二次函数在闭区间上的最大值： ①时，； ②时，； ③时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高一12月质量检测卷 数学（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时、请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第五章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且的图象恒过点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ） A. B. 弧的长为 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 9. 若，函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的最小值为0 D. 若，则 10. 已知实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为6 C. 的最大值为4 D. 的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数则_____． 12. 已知函数，给出两个性质：①在上单调递减；②对任意的，都有．写出一个同时满足性质①和性质②的函数_____． 13. 已知定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 求下列各式的值： （1）； （2）． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 17. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点的“界函数”． （1）判断函数是否为点的“界函数”?并说明理由； （2）若函数是点的“界函数”，求证：； （3）若函数是点的“界函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $