精品解析：辽宁省鞍山市育英学校2024-2025学年高三上学期期末考试（12月）数学试题

辽宁省鞍山市育英学校20242024-2025学年高三上学期期末考试（12月）数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ·山东烟台高三第二次模拟） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. （2024·广东茂名高三模拟） 2. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以恒成立，所以， 解得， 故实数的取值范围是． 故选：B． （2024·江苏苏锡常镇四市高三调研） 3. 青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ） A. 150人 B. 300人 C. 600人 D. 900人 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，计算出和即可求解. 【详解】因为，，所以 则，所以样本中身高不低于的约有人. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】因为，所以由， ， 故选：A 5. 在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积． 【详解】在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形， 四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点， ∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°， OB＝OC＝OD，BO⊥AD，BO⊥OC， ∴BO⊥平面ACD， ∴四面体ABCD的体积为： VB﹣ACD． 故选：B 【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题． 6. “赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ ） A. 15种 B. 18种 C. 19种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C 7. 已知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为，设点，，求出的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解. 【详解】如图所示，以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则， 所以直线的方程为， 设点，，所以， 所以， 当时，取到最小值. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究. 8. 若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线求出实半轴、虚半轴和和焦距,根据图像的对称性得出,又根据双曲线的定义得到,得到,将其设为关于的函数,利用导数求出函数的极值即可得出取值范围. 【详解】解：由得,,, 则左焦点,右焦点, 因为题中给出为双曲线的左焦点, 则,, 又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称, 所以, 又根据双曲线的定义, 所以, 设 所以, 设,, 令,解得或,（）, 所以在单调递减,在单调递增, , , 所以的取值范围为, 则的取值范围是, 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的定义及其基本性质,利用导数求得双曲线与直线的交点间的取值范围,利用双曲线定义可使数据简化. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. （2024•浙江台州高三第二次教学质量评估） 9. 某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ） A. 成绩的第60百分位数为122 B. 成绩的极差为36 C. 成绩的平均数为125 D. 若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式即可判断A；由极差，平均数的计算公式即可判断BC；由方差的计算公式即可判断D. 【详解】将成绩从低到高排序为，且， 所以成绩的第60百分位数为第四个数，即为，故A错误； 极差为，故B正确； 平均数为，故C正确； 未增加成绩之前的方差为， 若增加一个成绩125，则成绩的平均数为， 则其方差为 ，即成绩的方差变小，故D正确； 故选：BCD （2024•江苏南通高三第二次适应性考试） 10. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数值，求出离心率即可判断A，先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B，利用椭圆的定义得到边相等，证明是等腰三角形判断C，求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可. 【详解】对于A，连接，，， ，， ， 在中，， 故有，解得，则， 而在中，，，故A正确， 对于B，而的倾斜角为，而， 则，故B错误. 对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确， 对于D，因为，则，故， 易知的方程为，设， 联立方程组，解得或， 故，又，即， 由两点距离公式得， 而，，故D正确. 故选：ACD. （2024•河北邯郸高三第四次调研监测） 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合， ，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解. 【详解】对于A中，设函数的图象关于对称， 则关于对称，可得关于对称， 因为函数的图像关于点对称，可得，解得， 所以函数的图象关于对称，所以A正确； 对于B中，由函数的图象关于对称，可得， 因为，可得， 则， 两式相减得，即，所以B不正确； 对于C中，令， 可得， 因为，所以， 所以函数是以4为周期的周期函数， 由，可得，所以， 因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数， 所以， 由，可得， 即，令，可得，所以， 所以，所以，所以C正确； 对于D中，因为，且函数关于对称，可得， 又因为，令，可得，所以， 再令，可得，所以， 由，可得， 可得 又由函数是以4为周期的周期函数，且， 所以 ，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论 （1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数）， 则①；②；③. （2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数）， 则①；②；③. （3）对于函数，若其图象关于点对称， 则①；②；③. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （2024·山东德州高三第二次模拟） 12. 已知集合，若，则实数的值为______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】由题意可得，由此可求出的值，代入检验即可得出答案. 【详解】因为集合，若， 所以，所以或或或，或或或或， 解得：或或或或或或或， 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 综上：实数的值为1或2. 故答案为：1或2. （2024•江苏宿迁高三调研） 13. 已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的范围，考虑其右边界的取值范围即可. 【详解】因为，所以， 其中， 相邻的后面一个使得成立的值为：， 且，当且仅当，解得：． 故答案是：. （2024·辽宁葫芦岛高三第二次模拟） 14. 已知实数，，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得. 【详解】因为， 又因为，，所以可由平方均值不等式得：， 取等号条件是，即， 所以上式可变为：， 取等号条件是：，即，结合， 可得取到最大值的条件是：. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2024·云南昆明高三第二次模拟） 15. 已知是等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求出公差，即可求得答案； （2）由累加法可求出，即可求得，利用裂项相消法求和，即得答案. 【小问1详解】 因为成等比数列， 所以，解得． 又是等差数列，，所以公差， 故. 【小问2详解】 由，得， 所以,又, 当时， , 又也适合上式，所以, 则, 所以. 16. 如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，. （1）求证：平面； （2）下列条件任选其一，求二面角的余弦值. ①与平面所成的角为； ②到平面的距离为. 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形中的几何关系可得再根据勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明结果； （2）选①，取中点为，连接，根据几何关系可得，根据（1）可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，则与平面所成的角为，由此计算出，进而计算得，可得为等边三角形； 选②，取中点为，连接，计算长度及根据等体积法可求得，即可得为等边三角形，建立合适的空间直角坐标系，求得各个点的坐标，进而求得平面的法向量及平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值绝对值即可求得结果. 【小问1详解】 证明：因为，且，故， 在中，， 由余弦定理可得：， 解得，在中，， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 选①，取中点为，连接，如图所示： 因为，故，由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，所以为与平面所成的角， 即，因为，， 所以为等边三角形，且边长为1，所以，， 由可得， 因为，， 所以，所以为等边三角形， 以为原点，为在轴正方向建立如图所示空间直角坐标系： 所以， ， 设是平面的法向量， 则，即， 取，可得， 设为平面的法向量， 则，即， 取，可得， 设二面角所成的角为，则， 所以二面角的余弦值为. 选②， 取中点为，连接，如图所示： 因为，故，由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 设到平面的距离为， 因为，，所以等边三角形， 所以，，设，则， 因为，所以， 因为，为中点，所以， 所以，由，， 平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，即， 所以，因为， 即， 即， 解得，即，所以，所以为等边三角形， 以为原点，为在轴正方向建立如图所示空间直角坐标系： 所以， ， 设是平面的法向量， 则，即， 取，可得， 设为平面的法向量， 则，即， 取，可得， 设所成的角为，则， 所以二面角的余弦值为. （2024·辽宁沈阳高三教学质量监测（三）） 17. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率； （2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小. 【答案】（1） （2）乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望 【解析】 【分析】（1）记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，利用全概率公式计算可得； （2）设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，设表示丙同学答题得分，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望，从而判断. 【小问1详解】 记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，即，， 由得，，， 设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项， 则，， 则. 【小问2详解】 由得，，， 设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，， 所以， ， ， 所以， 设表示丙同学答题得分，则的可能取值为，，， 所以， ， ， 所以，即， 故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望． （2024·甘肃兰州高三诊断） 18. 已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点. （1）求圆和抛物线的方程； （2）过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由． 【答案】（1）圆：，抛物线： （2）是定点， 【解析】 【分析】（1）依题意可知圆心在直线上，设圆心为，半径为，再由圆过点，即可得到，，从而求出圆的方程，再令求出点坐标，即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，，过，点的抛物线的切线的斜率分别为、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出过、点的切线方程，再联立即可求出点坐标，即可得到直线的方程，最后与圆的方程联立求出交点坐标. 【小问1详解】 因为圆过点和， 所以圆心在直线上，设圆心为，半径为， 又圆过点，所以，， 则圆的方程为， 令，解得，所以，则，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 依题意直线的斜率必存在，不妨设为，则直线的方程为， 即，由整理得， 其中，解得或，则，， 设，，过，点的抛物线的切线的斜率分别为、， 又，所以，则、， 所以过点的切线方程为，即， 同理可得过点的切线方程为， 由，解得，即， 所以点在直线上，而点也在直线上， 所以直线与圆的另一个交点就是直线与圆的交点， 由，解得或， 所以直线与圆的另一个交点为定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. （2024•山东滨州高三第二次模拟） 19. 定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． （1）若，判断是否为上的“2类函数”； （2）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，． 【答案】（1）为上的“2类函数” （2） （3）证明：（i）当，可得，符合题意； （ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设， ①若，则； ②若，则 ； 综上所述：，，. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合“类函数”定义分析判断； （2）根据题意分析可知，均恒成立，根据函数单调性结合导数可知在内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解； （3）分类讨论的大小关系，根据“类函数”定义结合绝对值不等式分析证明. 【小问1详解】 对于任意不同的，不妨设，即， 则， 所以为上的“2类函数”. 【小问2详解】 因为为上的“3类函数”， 对于任意不同的，不妨设， 则恒成立， 可得， 即，均恒成立， 构建，，则， 由可知在内单调递增， 可知在内恒成立，即在内恒成立； 同理可得：内恒成立； 即在内恒成立， 又因为，即， 整理得，可得， 即在内恒成立， 令， 因为在内单调递增，则在内单调递增， 当，；当，；可知， 可得在内恒成立， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递减，则； 可得，所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省鞍山市育英学校20242024-2025学年高三上学期期末考试（12月）数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ·山东烟台高三第二次模拟） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2024·广东茂名高三模拟） 2. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. （2024·江苏苏锡常镇四市高三调研） 3. 青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ） A. 150人 B. 300人 C. 600人 D. 900人 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为 A. B. C. D. 6. “赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ ） A. 15种 B. 18种 C. 19种 D. 36种 7. 已知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（） A. B. C. D. 8. 若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. （2024•浙江台州高三第二次教学质量评估） 9. 某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ） A. 成绩的第60百分位数为122 B. 成绩的极差为36 C. 成绩的平均数为125 D. 若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 （2024•江苏南通高三第二次适应性考试） 10. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D. （2024•河北邯郸高三第四次调研监测） 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （2024·山东德州高三第二次模拟） 12. 已知集合，若，则实数的值为______． （2024•江苏宿迁高三调研） 13. 已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为_________． （2024·辽宁葫芦岛高三第二次模拟） 14. 已知实数，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2024·云南昆明高三第二次模拟） 15. 已知是等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且，求的前项和． 16. 如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，. （1）求证：平面； （2）下列条件任选其一，求二面角的余弦值. ①与平面所成的角为； ②到平面的距离为. 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分. （2024·辽宁沈阳高三教学质量监测（三）） 17. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率； （2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小. （2024·甘肃兰州高三诊断） 18. 已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点. （1）求圆和抛物线的方程； （2）过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由． （2024•山东滨州高三第二次模拟） 19. 定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． （1）若，判断是否为上的“2类函数”； （2）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $