精品解析：江苏省徐州市丰县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学情调研 九年级数学试题 注意事项 1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0．5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. 3 B. C. D. 4 3. 若的半径为6，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不能确定 4. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 在中，则弦与弦的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程的解是_____． 10. 函数的最大值是________． 11. 如图，点、、在上，，则_______°． 12. 如图是函数的部分图象，对称轴是直线，该函数图象与x轴正半轴的交点坐标是________． 13. 如图，把直角三角板的直角顶点放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、．量得，，则该圆玻璃镜的半径是__________． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为________（结果保留）． 15. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____． 16. 如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19. 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°， 求∠AOC的度数． 20. 已知抛物线． （1）在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象（不用列表、直接描点、连线）； （2）结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为________； ②当时，y的取值范围为________； （3）将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为________（化为一般式）． 21. 如图，是圆O的切线，切点为B，交圆O于点C，且． （1）求的度数； （2）设圆O的半径为6，求图中阴影部分面积（结果保留与根号）． 22. 如图，在长为、宽为的矩形场地的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？ 23. 书店销售某系列儿童书刊，每套进价90元，销售定价为130元，一天可以销售20套．为了扩大销售，尽快减少库存且确保盈利，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求出y与x的函数关系式； （2）若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为多少元最合适？ （3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 24. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． （3）若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 25. 【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学情调研 九年级数学试题 注意事项 1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0．5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．题目给出了抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 3. 若的半径为6，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外． 根据的半径为，点到圆心的距离为，即可求解． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点在圆内， 故选：A． 4. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 5. 在中，则弦与弦的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦之间的关系及三角形的三边关系，根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解： 取的中点E，连接、，则， ， 在中，，即， 则， 故选：C． 6. 一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积、一元二次方程，学会利用圆和正方形的面积公式找到等量关系列出方程是解题的关键．由题意得，圆面积是正方形面积的9倍，即可列出方程． 【详解】解：设圆的半径为x cm，则圆面积是， 由题意得，． 故选：D． 7. 如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形．根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形可得到，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：正六边形的任一内角为， （如图）， ， ． 故选：A． 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对B选项进行判断；利用二次函数的增减性对C进行判断．把，和代入抛物解析式可对D选项进行判断．本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的解．也考查了二次函数的性质． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故A选项的结论错误； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间， 抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间， 一元二次方程的正实数根在2和3之间，故B选项的结论错误； 点，在抛物线上， 当点、都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，， 此时且，即， 当时，，故C选项的结论错误． 把，代入抛物线得，， 而， ， ，故D选项的结论正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程的解是_____． 【答案】x=±5 【解析】 【分析】移项得x2=25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解． 【详解】解：∵x2-25=0， 移项，得 x2=25， ∴x=±5． 故答案为：x=±5． 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 10. 函数的最大值是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， 函数的最大值是7， 故答案为：7． 11. 如图，点、、在上，，则_______°． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键． 直接根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 如图是函数的部分图象，对称轴是直线，该函数图象与x轴正半轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线与x轴交点坐标为及抛物线的对称轴求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线对称轴为直线， 另一交点的横坐标为， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，把直角三角板的直角顶点放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、．量得，，则该圆玻璃镜的半径是__________． 【答案】5． 【解析】 【详解】解：∵∠MON=90°，∴为圆玻璃镜的直径，，∴半径为．故答案为5． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的弧长，根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆周长为， 故答案为：． 15. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____． 【答案】x1＝0，x2＝﹣4 【解析】 【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解． 【详解】解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2， 根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2． 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．　 故答案为：x1＝0，x2＝−4． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键． 16. 如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程变形为：， ． 【小问2详解】 ，，， ， ， ，． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程。则可求得的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，得， ， ； 【小问2详解】 是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 19. 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°， 求∠AOC的度数． 【答案】65°. 【解析】 【分析】连接OE，由弧CE的度数为50°，得到∠COE＝50°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°－50°）÷2＝65°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝65°． 【详解】解：连接OE，如图， ∵ 的度数为50°， ∴∠COE=50°， ∵OC=OE， ∴∠OCE=∠OEC， ∴∠OCE=（180°﹣50°）÷2=65°， ∵CE∥AB， ∴∠AOC=∠OCE=65°． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理． 20. 已知抛物线． （1）在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象（不用列表、直接描点、连线）； （2）结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为________； ②当时，y的取值范围为________； （3）将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为________（化为一般式）． 【答案】（1） 在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象如下： ． （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数的图象、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可得； （2）①结合函数图象，找出函数图象位于轴上方时，的取值范围即可； ②先求出和时，的值；以及顶点坐标，再根据二次函数的增减性求解即可得； （3）根据二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”求解即可得． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 【小问2详解】 解：①∵当和时，， ∴结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． ②二次函数的顶点坐标是，对称轴是直线， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵当时，；当时，， ∴当时，， 故答案为：． 【小问3详解】 解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为，即为， 故答案为：． 21. 如图，是圆O的切线，切点为B，交圆O于点C，且． （1）求的度数； （2）设圆O的半径为6，求图中阴影部分面积（结果保留与根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式、切线的性质、勾股定理等知识 ，得出阴影部分的面积为是解题关键． （1）如图：连接，直接利用切线的性质得到，然后推导是等边三角形，得到的度数即可解答； （2）利用勾股定理得，再根据即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接． 是圆O的切线，切点为B， ， 又， ． ， ， ， 是等边三角形， ， 的度数为． 【小问2详解】 解∶圆O的半径为6，， ， 中，， ， ． 22. 如图，在长为、宽为的矩形场地的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？ 【答案】道路的宽应为2米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设路宽为x米，根据草坪的面积为列方程求解即可． 【详解】解：设路宽为x米， 根据题意得：， 解得或（舍） 答：道路的宽应为2米． 23. 书店销售某系列儿童书刊，每套进价90元，销售定价为130元，一天可以销售20套．为了扩大销售，尽快减少库存且确保盈利，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求出y与x的函数关系式； （2）若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为多少元最合适？ （3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为105元 （3）当每套书销售定价为115元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用． （1）依据题意，由一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．且每套书降价x元，利用利润=（售价-进价）×销量，求解析式得解； （2）依据题意可得，当时，即，计算即可判断得解； （3）依据题意，由（1）可知：，故当时，y有最大值，最大值为1250，进而可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得 与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，当时，即， 解得：，， ∵尽快减少库存且确保盈利， ∴， （元）， 答：若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为105元； 【小问3详解】 解：由（1）可知：， 当时，y有最大值，最大值为1250， 此时售价：（元） 答：当每套书销售定价为115元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元． 24. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． （3）若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b、c； （2）由（1）可得：，设，作，交于E，则，则，得出面积，即可解答； （3）平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点，则，即可求解；此外当抛物线过原点时，也符合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，； 当时，， ∴，， 把，代入得 ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得函数表达式为， 设，作，交于E． 则， ∴， 则， ∴当时，的面积的最大值为8； 【小问3详解】 解：设抛物线平移的距离为t， 则平移后的抛物线表达式为：， ∵平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点， ∴与轴有一个交点，与轴只有一个交点，或者抛物线过原点且与轴有两个交点， 当与轴只有一个交点时，， 解得：， 则平移后的抛物线表达式为：， 当抛物线过原点时，，即， 此时抛物线的表达式为：， 综上，或． 25. 【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】 （1）如图， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）30；（4）；（5） 【解析】 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $